2025年山西省太原市高考数学模拟试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年山西省太原市高考数学模拟试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.计算1+ii的结果是(

)A.−1−i B.1−i C.1+i D.−1+i2.已知集合A={x||x|<1}，B={x|x2−2x<0}，则A∪B=A.(−1,0) B.(0,1) C.(−1,2) D.(−2,1)3.已知向量a=(2,1),b=(m,−1)，且a//(a−A.1 B.−1 C.2 D.−24.已知a=32，b=log23，A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b5.已知△ABC的三条边长分别为3，4，5，△ABC的两个顶点是椭圆E的焦点，其另一个顶点在椭圆E上，则E的离心率的最大值为(

)A.13 B.12 C.576.将函数f(x)=sin(2x+θ)(−π2<θ<π2)的图象先向左平移π6A.−π6 B.π6 C.−7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=4a4A.a5=10 B.S5=15 C.8.已知函数f(x)=|x3−m|+(x−1)x2有三个零点，则实数A.(−127,0)∪(0,1) B.(−127,0)∪(0,1)∪(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知样本数据x1，x2，…，x5的平均数为3，方差为3，样本数据y1，y2，…，y10的平均数为3A.数据2x1+1，2x2+1B.数据2y1−1，2y2−1，…，2y10−1的方差为11

C.数据x1，x2，…，x5，y1，y2，…，y10的平均数为3

D.数据x110.已知函数f(x)=lnx2−x+(x−1)3，若0<A.f(x1)<f(x2) B.f(11.已知动点P(x,y)到点F(0,1)和直线y=4的距离和为5，记其轨迹为曲线C.点M(x1,y1)，N(x2A.曲线C的方程为y=−116x2+5

B.对于任意a∈R，都存在点M，N，使得|AM|=|AN|成立

C.当y1≠y2时，若点M，N关于点A对称，则a∈[52,4)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x−2y)5的展开式中x2y13.已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球O与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球O的表面积为______．14.对于数列{an}称{Δan}为数列{an}的1阶商分数列，其中Δan=an+1an；称{Δkan}为数列{an}四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且(a+b)(a−b)=c(a−c)．

(1)求B；

(2)若D是边AC上一点，且AD=2DC，cosC=35，求tan∠CBD16.(本小题15分)

已知函数f(x)=x−alnx，a∈R．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当x∈(0,+∞)时，若f(x)≥cos(x−1)恒成立，求a17.(本小题15分)

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，DE⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，△BCF是等边三角形．

(1)求证：AD⊥EF；

(2)若DE=23，点G是线段BF上一点，二面角D−AG−E的余弦值为15，求18.(本小题17分)

已知圆O：x2+y2=1，点F(2,0)，动点M(x,y)，以MF为直径的圆与圆O相外切，记点M的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)设点A(2,3)，P(t,0)，Q(2−t,0)(12<t<1)直线AP，AQ分别与曲线C交于点S，T(点S异于点A)．

①求证：直线ST过定点；

②19.(本小题17分)

某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：

①顾客在该商场内的消费额每满100元，可获得1张奖券；

②每张奖券可以进行1次抽奖活动，即从装有4个白球、2个红球的盒子中，随机摸取1个球(每个球被摸到的可能性相同).奖励规则：若摸出白球，则没有中奖，摸出的白球放回原盒子中，本张奖券抽奖活动结束；若摸出红球，则中奖，获得礼品1份，且摸出的红球不放回原盒子中，同时得到一次额外的抽奖机会(该抽奖机会无需使用新的奖券)，继续从当前盒子中随机摸取1个球，其奖励规则不变；

③从第二张奖券开始，使用每张奖券抽奖时均在前一张奖券抽奖活动的基础上进行；

④若顾客获得2份礼品(即该顾客将2个红球都摸出)或使用完所获奖券，则该顾客本次购物的抽奖活动结束．

(1)顾客甲通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“甲使用第2张奖券抽奖，中奖”的概率；

(2)顾客乙通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“乙获得第2份礼品时，共使用了3张奖券”的概率；

(3)顾客丙消费了1000元，设X表示顾客丙在这次抽奖活动中所使用奖券的数量，求X的分布列及其期望E(X)．

参考答案1.B

2.C

3.D

4.B

5.C

6.C

7.B

8.A

9.ACD

10.AB

11.BCD

12.−80

13.12π

14.2nn+115.解：(1)由(a+b)(a−b)=c(a−c)得a2+c2−b2=ac，

由余弦定理得a2+c2−b2=2accosB，

所以cosB=12，

在△ABC中，0°<B<180°，

所以B=60°；

(2)设∠CBD=α，cosC=35，所以sinC=45，

所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=32×35+116.解：(1)f′(x)=1−ax，

当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a>0时，由f′(x)<0，得0<x<a，f(x)单调递减；由f′(x)>0，得x>a，f(x)单调递增，

所以当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a>0时，函数f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增．

(2)令g(x)=f(x)−cos(x−1)=x−alnx−cos(x−1)，x>0，

则g′(x)=1−ax+sin(x−1)，

当x∈(0,+∞)时，f(x)≥cos(x−1)恒成立，得∀x∈(0,+∞)，g(x)≥0恒成立，而g(1)=0，因此g(1)是函数g(x)的最小值，

又g(x)在(0,+∞)可导，则1是g(x)的极小值点，g′(1)=1−a=0，解得a=1，

当a=1时，g(x)=x−lnx−cos(x−1)，x>0，

令ℎ(x)=x−1−lnx，x>0，求导得ℎ′(x)=1−1x，

由ℎ′(x)<0，得0<x<1；由ℎ′(x)>0，得x>1，

函数ℎ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，则ℎ(x)≥ℎ(1)=0，即x−lnx≥1，

因此g(x)=x−lnx−cos(x−1)≥1−cos(x−1)≥0，当且仅当x=1时取等号，

所以a=1．

17.解：(1)证明：设H是BC的中点，连结DH，FH，

∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，

∵△BCF是等边三角形，∴FH⊥BC，

∵平面BCF⊥平面ABCD，

∴FH⊥平面ABCD，

∴DE//FH，∴D，E，F，H共面，

∵四边形ABCD边长为2的菱形，∠BAD=60°，BH=CH=1，

在△CDH中，DH2=CD2+CH2−2CD⋅CH⋅cos∠BCD=3，

∴CD2=CH2+DH2=4，∴DH⊥BC，

∵四边形ABCD为菱形，∴AD//BC，∴DH⊥AD，

∵DE∩DH=D，∴AD⊥平面DEFH，∴AD⊥EF．

(2)由(1)得AD⊥DE，AD⊥DH，∵DE⊥平面ABCD，

∴DE⊥DH，以D为原点，DA，DH，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图，所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，B(1,3,0)，E(0,0,23)，F(0,3,3)，

设BG=λBF(0≤λ≤1)，则AG=AB+BG=(−λ−1,18.解：(1)设N是MF的中点，F1(−2,0)，连接ON，MF1，

因为以MF为直径的圆与圆O相外切，

可得ON//MF1且|MF1|=2|ON|，

∴|MF1|−|MF|=2(|ON|−|NF|)=2<|F1F|=4，

故点M的轨迹是以F1，F为焦点，实轴长为2的双曲线的右支曲线，

则2a=2c=2，

所以a=1，b=c2−a2=3，

∴曲线C的方程为x2−y23=1(x>0)．

(2)①证明：设S(x1,y1)，T(x2,y2)，直线ST的方程为x=my+n，

由x=my+n,x2−y23=1

得(3m2−1)y2+6mny+3(n2−1)=0，

∴y1+y2=−6mn3m2−1，y1y2=3(n2−1)3m2−1，

直线AS的方程为y=y1−3x1−2(x−2)+3，令y=0，则x=2−3(x1−2)y1−3=t，

直线AT的方程为y=y2−3x2−2(x−2)+3，令y=0，则x=2−3(x2−2)y2−319.解：(1)设事件Aij为“甲使用第i张奖券抽奖，中j次奖”(i=1,2,j=0,1,2)，

所以“甲使用第2张奖券抽奖，中奖”的概率P(A10A21+A10A22+A11A21)

=P(A10A21)+P(A10A22)+P(A11A21)=23×13×45+23×13×15+13