人教版初二八年级下册数学详细教案

16.1.1二次根式

教案序号：1时间：

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用&(a>0)的意义解答具体题目.

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

教学重难点关键

1.重点：形如G(a>0)的式子叫做二次根式的概念；

2.难点与关键：利用“JZ(a>0)”解决具体问题.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题：

二、探索新知

很明显6、而、J|，都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根

的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如右(a>0)的式子叫做二

次根式，“、厂”称为二次根号.

(学生活动)议一议：

1.-1有算术平方根吗？

2.()的算术平方根是多少？

3.当a<0,&有意义吗?

老师点评：(略)

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：6、冷、>、五(x>0)>

x

x/0>蚯、-&、一!—、A/X+y(xNO,y20).

x+y

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“«”：第二，被开方数是正数

或0.

解：二次根式有：6、4x(x>0)、而、-也、yjx+y(x20,y20)；不是二

次根式的有：过、啦、—

xx+y

例2.当又是多少时，1在实数范围内有意义?

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3X-120,V3X-1

才能有意义.

解：由3x-120,得：X2，

3

当X21时，后二I在实数范围内有意义.

3

三、巩固练习

教材P5练习1、2、3.

四、应用拓展

例3.当x是多少时，，2丁+3+」一在实数范围内有意义?

x+1

分析：要使J2汗+3+」一在实数范围内有意义,必须同时满足j2x+3中的20和

x+\

」一中的x+lWO.

X+1

[2x+3>0

解；依题意，得

x+1工0

3

由①得：x2--

2

由②得:xW・l

当x2.一且xW・l时，V2x+3+——在实数范围内有意义.

2x+1

例4（1）已知y=J2-X+Jx-2+5,求三的值.（答案:2）

.V

⑵若求22叫4?侬的值.（答案:：）

五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节课要掌握：

1.形如&（a20）的式子叫做二次根式，“、厂”称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范I制内有意义，必须满足被开方数是非负数.

六、布置作业

1.教材P51,2,3,4

2.选用课时作业设计.

第一课时作业设计

一、选择题

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.-V?B.i/lC.4xD.x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）

A.>/4B.716C.A/8D.-

x

3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）

A.5B.\[5C.-D.以上皆不对

5

二、填空题

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面积为a的正方形的边长为.

3.负数平方根.

三、综合提高题

1.某工厂要制作一批体积为Inf的产品包装盒，其高为0.2m,按设计需要，底面应

做成正方形，试问底面边长应是多少？

2.当x是多少时，"2x+3+x?在实数范围内有意义?

x

3.若+有意义，则.

4使式子」-（。-5尸有意义的未知数x有（）个.

A.0B.1C.2D.无数

5.已知a、b为实数，且Ja-5+2J10—2a=b+4,求a、b的值.

第一课时作业设计答案：

一、1.A2.D3.B

二、1.Ja（a20）2.Ja3.没有

三、1.设底面边长为x,则62x2=1,解答：x=JL

2x+3>0

2.依题意得:2

xw()

.・.当x>.|且xWO时，,2：+3+乂2在实数范围内没有意义.

1

3.-

3

4.B

5.a=5,b=-4

16.1.2二次根式⑵

教案序号：2时间:

教学内容

1.4a（a>0）是一个非负数;

2.（\[a）2=a（a20）.

教学目标

理解右（a，0）是一个非负数和（右）2=a（a20）,并利用它们进行计算和化简.

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出右（ae（））是一个非负数，用具体

数据结合算术平方根的意义导出（JZ）2=a（a20）；最后运用结论严谨解题.

教学重难点关键

1.重点：4a（a20）是一个非负数；（G）（a20）及其运用.

2.难点、关键：用分类思想的方法导出G（a^O）是一个非负数；用探究的方法导

出（G）2=a（a20）.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）口答

1.什么叫二次根式？

2.当a20时，右叫什么？当a<0时，右有意义吗？

老师点评（略）.

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

yfa（a^O）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

&（a20）是一个非负数.

做--做：根据算术平方根的意义填空：

（4）2=；（V2）2=；（M）2=；（6）2=：

（卜（岛2=——；心之一一.

老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，血是一个平方等于4的

非负数，因此有（4）

同理可得：(&)2=2,(囱)2=9,(石)2=3,(J-)2=-(vl)2=l

V33

(>/0)2=(),所以

(\[a)2=a(a20)

例1计算

1.(C)22.(3x/5)23.(4)24.(斗)2

分析：我们可以宜接利用（JZ）2=@（a20）的结论解题.

解：(.—)2=—,(3A/5)2=32,(>/5)2=32,5=45»

V22

、2,£?

V662224

三、巩固练习

计算下列各式的值：

（V18）2（\日）2（也）2

(C)2

V34

（3府-（5后

四、应用拓展

例2计算

2

1.（Vx+T）（x20）2.（病）3.(\la~+2。+1)

4.(>/4x2-12x+9)

分析：(I)因为x20,所以x+l>0；(2)a2>0；(3)a2+2a+l=(a+1)20；

(4)4X2-12X+9=(2X)2-2・2x-3+32=(2x-3)2^0.

所以上面的4题都可以运用（4）2=a（a>0）的重要结论解题.

解：(1)因为x20,所以x+l>0

(\/x+\)2=x+1

(2)Va2^0,:.(V?)2=a2

(3)Va2+2a+l=(a-1)2

又•・•(a+1)220,.-.a2+2a+l>0,/.>/«2+2f/4-1=a2+2a+1

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2•2x-3+32=(2x-3)2

又•・•(2x-3)220

A4X2-12X+9^0,J(>/4x2-12x+9)2=4X2-I2X+9

例3在实数范围内分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：

1.\[a(a20)是一个非负数；

2.(Ja)2=a(a20);反之:a=(>[a)2(a20).

六、布置作业

1.教材P55,6,7,8

2.选用课时作业设计.

第二课时作业设计

一、选择题

1.下列各式中后、技、扬一1、J/+-2、，毋+20、7-144,二次根式

的个数是().

A.4B.3C.2D.1

2.数a没有算术平方根，则a的取值范围是().

A.a>0B.a》0C.a<0D.a=0

二、填空题

1.(-x/3)2=.

2.已知JTTT有意义，那么是一个数.

三、综合提高题

1.计算

(1)(V9)2(2)-(V3)2(3)(-x/6)2(4)(-3.P)2

2V3

(5)(2行+3^)(2百一30)

2.把下列非负数写成一个数的平方的形式：

(1)5(2)3.4(3)-(4)x(x20)

6

3.己知"x-y+l+\lx-3=0,求X、'的值.

4.在实数范围内分解下列因式：

(1)X2-2(2)X4-93X2-5

第二课时作业设计答案：

一、1.B2.C

二、1.32.非负数

I]3

三、1.(1)(痴)2=9(2)-(>/3)2=-3(3)(-x/6)2=-X6=-

242

[22

(4)(-3J-)2=9X^-=6(5)-6

2.(1)5=(石尸(2)3.4=(734)2

(3)-=(J-)2(4)x=(Vx)2(x20)

6V6

x-y+1=0x=3

xyu=34=81

|x-3=0v=4

4.(1)X2-2=(x+x/2)(x-5/2)

(2)X4-9=(X2+3)(X2-3)=(X2+3)(x+百)(x-\/3)

⑶略

16.1二次根式(3)

教案总序号：3时间：

教学内容

=a(a20)

教学目标

理解J/=a(a>0)并利用它进行计算和化简.

通过具体数据的解答，探究值=a(a20),并利用这个结论解决具体问题.

教学重难点关键

1.重点：\[a^=a(a20).

2.难点：探究结论.

3.关键：讲清a20时，>//=@才成立.

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1.形如&(a20)的式子叫做二次根式；

2.(a>0)是一•个非负数;

3.(&)2=2(a20).

那么，我们猜想当a'O时，J/=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.

二、探究新知

(学生活动)填空：

V?=；A/O.012=

(老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到:

V?=2;Vo.012=001;yj(-^)2Jc|)2=j；Vtf=0:Jc|)2

因此，一般地：=a(a>0)

例1化简

(1)郎(2)J(-4尸(3)x/25(4)J(-3)2

分析：因为(为9=02,(2)(-4)2=42,(3)25=52,

(4)(・3)2=32,所以都可运用J/』(a20)去化简.

解：(1)X/9=A/F=3(2)d(-4f=历=4

(3)后=后=5(4)3¥=启=3

三、巩固练习

教材P7练习2.

四、应用拓展

例2填空：当a20时，x[a^=_____；当a<0时，,并根据这一性质

回答F列问题.

(1)若后=a,则a可以是什么数？

(2)若"=-a,则a可以是什么数？

(3)J/>a,则a可以是什么数？

分析：・・・J7=a(aNO),・••要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，

应变形，使“()2”中的数是正数，因为，当a/0时，病=J(F)2,那么・a20.

(1)根据结论求条件：(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)

可知C=Ia|,而|a|要大于a,只有什么时候才能保证呢？a<0.

解：(1)因为后"二a,所以a20；

(2)因为必=-a,所以a<0；

(3)因为当aNO时、//=a，要使J/>a,即使a>a所以a不存在；当a<0时，J/=-a,

要使J/>a,即使-a>a,a<0综上，a<0

例3当心2,化简J(.t-2)2-J(l-2/)2.

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：J/=a(a20)及其运用，同时理解当a<0时，J/=-a的应用拓

展.

六、布置作业

1.教材P5习题16.13、4、6、8.

2.选作课时作业设计.

第三课时作业设计

一、选择题

1.旧7+J(-26的值是().

22

A.0B.—C.4—D.以上都不对

33

2.a20时，C、"(-32、・",比较它们的结果，下面四个选项中正确的是().

A.\[a^=B.>-\fa^

C.J(-a)2<-后D.>\[a^=y](-a)2

二、填空题

1.-V0.(XX)4=.

2.若7砺是一个正整数，则正整数m的最小值是.

三、综合提高题

1.先化简再求值：当a=9时，求a+Jl-2a+〃2的值,甲乙两人的解答如下:

甲的解答为：原式=a+J(l—a)2=a+(1-a)=1；

乙的解答为：原式=a+-a)?=a+(a-1)=2a-l=17.

两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是.

2.若|1995-a|+J〃-2000=a,求a-19952的值.

(提示：先由a-200020,判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值)

3.若-34W2时，试化简|x-2|+7(-V+3)2+>/X2-10X+25.

答案：

一、1.C2.A

二、1.-0.022.5

三、1.甲甲没有先判定1-a是正数还是负数

2.由已知得a-200020,a22000

所以a-1995+<a-2(X)0=a,7^2000=1995,a-2000=19952,

所以a-19952=2000.

3.10-x

16.2二次根式的乘除

教案总序号：4时间：

教学内容

\fa•\[b=4ab(a20,b20),反之=«•4b(a20,b20)及其运用.

教学目标

理解&,\[b=\[ab(a20,b20),\fab=yfa•\[b(a20,b20),并利用它

们进行计算和化简

由具体数据，发现规律，导出&-血=J%(a20,b20)并运用它进行计算；

利用逆向思维，得出，石=6-4b(a>0,b20)并运用它进行解题和化简.

教学重难点关键

重点：\[a,4b—4cib(a20,b20),>[ab=\fa,4b(a20,b20)及它们的

运用.

难点：发现规律，导出6,4b=\fab(a20,b20).

关键：要讲清\[ab(a<0,b<0)=加,如J(-2)x(-3=J-(-2)x-(-3)或

7(-2)x(-3)=x/2^3=5/2X73.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成卜列各题.

1.填空

(1)4X囱=,14x9=_____；

(2)716x725=,716x25=.

(3)7100x736=,Vl(X)x36=.

参考上面的结果，用“>、<或="填空.

V4X79____74^9,V16x>/25_____J16x25,VlOOx

底Vl(X)x36

2.利用计算器计算填空

(1)夜X6V6,(2)及X逐回,

(3)75Xx/6同，(4)74X75V20,

（5）V7xVio屈.

老师点评（纠正学生练习中的错误）

二、探索新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.

老师点评：（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作

为等号另一边二次根式中的被开方数.

一般地，对二次根式的乘法规定为

4a•\[b=\fab.（a20,b20）

反过来：>[ab=\[a•>[b（a20,b20）

例1.计算

（1）>/5xV7⑵gx的（3）>/9Xx/27⑷£X&

分析：直接利用6-y[b=4^b（a20,b20）计算即可.

解：（1）x/5X77=735

(3)y/9Xx/27=V9x27=V92X3=9>/3

(4)XV6=^xZ=V3

例2化简

(1)J9xl6(2)716x81(3),81xl(X)

(4)J942y2(5)回

分析：利用，^=右•Jb(a>0,b^O)直接化简即可.

解：(1)79x76=79X716=3X4=12

(2)716x81=V16XV81=4X9=36

(3)V81X1OO=\/8TXV100=9X10=90

(4)=后又后于二后X后又后=3xy

(5)=彘X>/6=3>/6

三、巩固练习

(1)计算(学生练习，老师点评)

①V16X78②3#X25/10③\[5a•Ray

(2)化简：V20;V18；V24;屈；yj\2a2h2

教材P”练习全部

四、应用拓展

例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:

(1)J(T)x(-9)=Cx"

(2)XV25=4Xx后m旧X岳=4厄=8百

解：(I)不正确.

改正：J(Y)x(—9)=7^="X内=2X3=6

(2)不正确.

改正:X725=XV25=J—x25=VH2=V16x7=4S

25

五、归纳小结

本节课应掌握：(1)\[a,\fb=\[ab=(a20,b20),\!ab=\fa,4b(a20,b

20)及其运用.

六、布置作业

1.课本Pu1,4,5,6.(1)(2).

2.选用课时作业设计.

第一课时作业设计

一、选择题

「［的结果是(

1.化简).

A.y/-aB.y[aC.-\f-aD.-\[a

2.等式jn=一1成立的条件是()

A.x2lB.x2-lC.-IWXWID.x21或xW-1

3.下列各等式成立的是().

A.4x/5X2石=By/5B.5cX4应=206

C.40义3五二7旧D.5GX4a二20«

二、填空题

1.Viob4=.

2.自由落体的公式为S二;gl2（g为重力加速度，它的值为lOm/s?）,若物体下落的高

度为720m,则下落的时间是.

三、综合提高题

1.一个底面为30cmX30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为

正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm,铁桶的底面边

长是多少厘米？

2.探究过程：观察下列各式及其验证过程.

同理可得：4舟21

通过上述探究你能猜测出:（a>0）,并验证你的结论.

答案：

一、1.B2.C3.A4.D

二、1.13\/62.12s

三、1.设：底面正方形铁桶的底面边长为X,

则x2X10=30X30X20,X2=3()X30X2,

X=V30X30XVI=3072.

16.2二次根式的乘除⑵

教案总序号：5时间:

教学内容

号=亨（a20,b>0）及利用它们进行计算和化

（a20,b>0）,反过来

简.

教学目标

理解坐芈（a>0,b>0）和，口二平（a20,b>0）及利用它们进行运算.

MNb4b

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆

向等式及利用它们进行计算和化简.

教学重难点关键

1.重点：理解李二百（a^O,b>0）,《二苧（a>O,b>0）及利用它们进行计

算和化简.

2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题：

1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.

2.填空

(1)

Vl6

V16

(2)

736

(3)

3.利用计算器计算填空:

百五五万

⑴二二_________,⑵一二_________，(3)V=______,(4)—

V4V3V5V8

每组推荐一名学生上台阐述运算结果.

(老师点评)

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我

们可以得到:

一般地,对二次根式的除法规定:

a、、

反过来,.—=—^=(a20,b>0)

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

分析：上面4小题利用(a20,b>0)便可直接得出答案.

解：⑴

X=2X/3

J；x16="=2

(3)口

\416

分析:直接利用(a>0,b>0)就可以达到化简之目的.

⑴区6一石

解:⑴W=>=T

64〃J64b28b

3〃

(3)

5x

(4)2

169y169j

三、巩固练习教材P14练习1.

四、应用拓展

,且x为偶数，求（1+x）「一一5工+4的值

例3.已知

Vx2-l

分析：式子］|=%，只有a、。，b>0时才能成立.

因此得到9-x20旦x-6>0,即6<xW9,乂因为x为偶数，所以x=8.

9-x>0x<9

解：由题意得《即《

x-6>0x>6

・・.6<xW9

Vx为偶数

x=8

，原式二“X)

lx-4

=(1+x)Vx+T

=(1+X)

当x=8时，原式的值二—4x9=6.

五、归纳小结

本节课要掌握亨=《（a20,b>0）和-=^(a20,b>0)及其运用.

b4b

六、布置作业

1.习题16.22、7、8、9.

2.选用课时作业设计.

第二课时作业设计

一、选择题

A.-x/5B.-C.&D.—

777

2.阅读下列运算过程：

1_x/3_V32_26_2&

&-氐下T3'行一石x石一5

2

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”那么，化简的结果是

76

).

A.2B.6C.-D.x/6

3

二、填空题

1.分母有理化:(1)-U=_______;(2)」==—

3V2V12

2.已知x=3,y=4,z=5,那么J五+的最后结果是•

三、综合提高题

1.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为J5：1,现用直径为

3V15cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面枳是多少？

答案：一、I.A2.C

二「⑴白为名⑶牛=叵*=与

662V52V523

三、1.设：矩形房梁的宽为x(cm),则长为gxcm,依题意,

得：(&)2+x2=(3厉)2,

3/

4X2=9X15,x=—(cm),

2

x/3x,X=A/3X2=-^-A/3(cm2).

⑵原式陛坐匕*生二人

V2a“7724-77，〃一〃V2

16.2二次根式的乘除⑶

教案总序号：6时间：

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.

教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果

是否满足最简二次根式的要求.

重难点关键

1.重点：最简二次根式的运用.

2.难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

L计算⑴！⑵%，⑶M

V5V27

老师点评:5叵,电巫,导巫

V55y/273y/2aa

2.现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h|km,h2km,那么

它们的传播半径的比是.

它们的比是瑞.

二、探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:

1.被开方数不含分母；

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式.

学生分组讨论，推荐3〜4个人到黑板上板书.

老师点评：不是.

12M

〃2

+凸'2限学

例1.⑴：(2);(3)

例2.如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.

A

解：因为AB:ACN+BC?

所以AB=J2.52+6?=J(?)2+36==£=6.5(cm)

因此AB的长为6.5cin.

三、巩固练习

练习2、3

四、应用拓展

例3.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:

1_1X(0-1)8-1_r-

V2+l-(V2+l)(>/2-l)-2-1-，

I_1x(73->/2)>/3-V2_仄位

1

同理可得:=\[i->/3,

4+G

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

(-^―+广1厂+/厂+…….1.)(7^+1)的值.

V2+1V3+V2V4+V3V2002+V2001

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以

达到化简的目的.

解：原式=(&-1+石-收+”・石+……+J2OO2・J2OO1)X(V2002+1J

=(V2002-1)(72002+1)

=2002-1=2001

五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用.

六、布置作业

1.习题16.23、7、1().

2.选用课时作业设L.

第三课时作业设计

一、选择题

1.如果寺（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）.

A.—（y>0）B.（xy（y>0）C.'（y>0）D.以上都不对

yjyy

2.把（a-1）J--—中根号外的（a-l）移入根号内得（）.

Va-\

A.yja-lB.\j\-aC.-da—1D.

3.在下列各式中，化简正确的是（）

A.=3>/15B.

42

C.\jab=a\!bD.y/x3-x2=xVx-1

4.化简二更的结吴是（

)

V27

2C正

A.------B・--产D.-y/2

3>/33

二、填空题

1.化简J7777三(x20)

2.a化简二次根式号后的结果是

三、综合提高题

1.已知a为实数，化简:，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若

不正确，请写出正确的解答过程:

解:

......_4+>/4-工2+]/-------/,,

2.若x、y为头数，且丫=--------------------,求Jx+yJx-y的值.

xI2

答案：

一、1.C2.D3.C4.C

+y~2.-—1

三、1.不正确，正确解答：

-6?>0

因为|1

,所以a<0,

——>0

.a

2-a•J'=\[^a•\fa^-a•=-a+V—

原式=\j—aa

2/、

2.•・“、.*.x-4=0,/.x=±2,但•.,x+2N0,x=2,y=—

4一厂>04

\jx+yy]x^y=k=K=4-

16.3二次根式的加减⑴

教案总序号：7时间：

教学内容

二次根式的加减

教学目标

理解和掌握二次根式加减的方法.

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总

结经验，用它来指导根式的计算和化简.

重难点关键

1.重点：二次根式化简为最简根式.

2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

学生活动：计算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3

教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合并就是字

母不变，系数相加减.

二、探索新知

学生活动：计算下列各式.

(1)2&+3&(2)278-378+578

(3)A/7+2X/7+379^7(4)3G二岛五

老师点评：

(1)如果我们把血当成x,不就转化为上面的问题吗？

25/2+3x/2=(2+3)V2=5V2

(2)把血当成y；

2次・3次+5龙=(2-3+5)瓜=4瓜

(3)把不当成z；

近+26+囱不

=277+2近+3行=(1+2+3)5/7=65/7

(4)看为x,、伤看为y.

3X/3-2A/3+V2

=(3-2)G+逝

=V3+V2

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2也与人表面上看是不相同的，

但它们可以合并吗？可以的.

(板书)3叵+瓜=3叵+2叵=5叵

36+a=3石+36=6右

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的

二次根式进行合并.

例1.计算

(1)>/8+8(2)Ji6尤+J64x

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二

次根式进行合并.

解：(1)x/8+V18=2>/2+3V2=(2+3)6=50

(2)J16x+，64x=46+8>/7=(4+8)Vx=12>/x

例2.计算

(1)3-48-9+3-\/12

(2)(V48+V20)+(712-\/5)

解：(1)3748-9^-+3>/12=12>/3-3V3+6>/3=(12-3+6)0=\50

(2)(回+而)+(疵-6)=闻+而+厄-6

=4>/3+2X/5+2A/3->/5=6X/3+^

三、巩固练习

教材P19练习1、2.

四、应用拓展

例3.4x2+y2-4x-6y+10=0,求(x\/9x+y2)-(x2^^-5x^^)的值.

分析：本题首先将已扣等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-l)2+(y-3)2=0,

BPX=1,y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同

2

类二次根式，最后代入求值.

解：V4x2+y2-4x-6y+IO=O

V4x2-4x+l+y2-6y+9=0

・•・(2x-l)2+(y-3)I。

1

2

=2xA/X+yjxy-xy/x-5

=xx[x+6Jxy

当x=；,y=3时,

原式=1xI-+6、日+3"

2V2

五、归纳小结

本节深应掌握：（I）不是最他二次根式的，应化成最徇二次根式；（2）相同的最简二

次根式进行合并.

六、布置作业

1.习题16.31、2、3、5.

2.选作课时作业设计.

第一课时作业设计

一、选择题

1.以下二次根式：。/；②"；；④厉中，与G是同类二次根式的

是().

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

④篝=2&,

2.下列各式：①36+3=6&；②，近=1；③&+遥=次=2&；

7

其中错误的有（）.

A.3个B.2个C.1个D.0个

二、填空题

1.在龙、说、诟、j运、2J彳、3血5、-2上中,与岛是同类

33aV8

二次根式的有.

2.计算二次根式5&-3扬-76+9妍的最后结果是.

三、综合提高题

1.已知石.2.236,求（疯j-旧）-（出+:后）的值.（结果精确到0.01）

2.先化简，再求值.

答案：

一、1.C2.A

二、1.—Ji5a—，3优2.6\fb-2

3a

々A1oii

二、1.原式=4y/5—--y/5-—\fs=-s/S——X2.236=0.45

55555

2.y/^+3yfxy-+6yjxy)=(6+346)y[xy=-y/xy>

当x=；,y=27时，原式=-J.x27=-y叵

16.3二次根式的加减⑵

教案总序号：8时间：

教学内容

利用二次根式化简的数学思想解应用题.

教学目标

运用二次根式、化简解应用题.

通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题.

重难点关键

讲清如何解答应用题些是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.

教学过程

一、复习引入

上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先

将二次根式化成最简二次根式：第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们

讲三道例题以做巩固.

二、探索新知

例1.如图所示的RlZXABC中，NB=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的

速度向点A移动：同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问：

几秒后4PBQ的面积为35平方厘米？（结果用最他二次根式表示）

分析：设x秒后4PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根据三角形面积

公式就可以求出x的值.

解：设x后4PBQ的面积为35平方厘米.

贝IJ有PB=x,BQ=2x

依题意，得：—x,2x=35

2

X2=35

x=>/35

所以后秒后4PBQ的面积为35平方厘米.

答：病秒后4PBQ的面积为35平方厘米.

例2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）?

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段

的长度.

B

解：由勾股定理，得

AB=dAI^+Bb2=V42+22=J20=2J5

BC=^BDr+CDr=722+12=石

所需钢材长度为

AB+BC+AC+BD

=2石+石+5+2=3旧+7^3X2.24+7^13.7(m)

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材.

三、巩固练习

教材练习3

四、应用拓展

例3.若最简根式*弋4a+3b与根式耳庐-6+的是同类二次根式，求a、b的值.(

同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式)

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同：事实上,

根式。2abjUbb不是最简二次根式，因此把d2ab?-求+6片化简成

|b|•，2。-2+6,才由同类二次根式的定义得3a-b=2,2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式J2?/?一从+6从化为最简二次根式:

hab?-1」+6从=升(2a-1+6)=|b|-+6

4。+3〃=2。一人+6

由题意得

3a-b=2

(