反比例函数的图象与性质课件九年级数学上册2

1.2.3反比例函数的图象与性质第1章反比例函数北师大版数学九年级上册【公开课精品课件】授课教师：********班级：********时间：********问题1：当路程\(s\)一定时，速度\(v\)与时间\(t\)之间的关系。问题2：矩形的面积\(S\)一定时，长\(a\)与宽\(b\)之间的关系。问题3：一个游泳池的容积为\(V\)，注满游泳池所需的时间\(t\)与注水速度\(v\)之间的关系。引导学生分析这些问题中两个变量之间的关系，列出相应的函数表达式：对于问题1，由\(s=vt\)，可得\(v=\frac{s}{t}\)（\(s\)为常数）。对于问题2，由\(S=ab\)，可得\(a=\frac{S}{b}\)（\(S\)为常数）。对于问题3，由\(V=vt\)，可得\(t=\frac{V}{v}\)（\(V\)为常数）。观察这些函数表达式的特点，引出本节课的主题——反比例函数。（二）探究新知（20分钟）反比例函数的概念给出反比例函数的定义：一般地，形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k\neq0\)）的函数，叫做反比例函数。其中\(x\)是自变量，\(y\)是函数，自变量\(x\)的取值范围是不等于\(0\)的一切实数。强调反比例函数的三个特征：等号左边是函数\(y\)，等号右边是一个分式，分子是不为\(0\)的常数\(k\)，分母中含有自变量\(x\)，且\(x\)的次数为\(1\)。\(k\neq0\)，因为当\(k=0\)时，\(y=\frac{k}{x}=0\)，此时\(y\)是一个常数，不是反比例函数。自变量\(x\)的取值范围是\(x\neq0\)，因为分母不能为\(0\)。让学生判断一些函数是否为反比例函数，如\(y=\frac{2}{x}\)，\(y=3x^{-1}\)，\(y=\frac{1}{x+1}\)等，加深对反比例函数概念的理解。反比例函数表达式的确定例1：已知\(y\)与\(x\)成反比例，当\(x=2\)时，\(y=-3\)，求\(y\)与\(x\)之间的函数表达式。分析：因为\(y\)与\(x\)成反比例，所以设\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)），再将\(x=2\)，\(y=-3\)代入表达式中，求出\(k\)的值。解答：设\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)），把\(x=2\)，\(y=-3\)代入得\(-3=\frac{k}{2}\)，解得\(k=-6\)，所以\(y\)与\(x\)之间的函数表达式为\(y=-\frac{6}{x}\)。总结用待定系数法求反比例函数表达式的步骤：设反比例函数表达式为\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）。把已知条件代入表达式中，得到关于\(k\)的方程。解方程，求出\(k\)的值。将\(k\)的值代入所设表达式中，得到反比例函数的表达式。反比例函数的图象和性质用描点法画反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)的图象：列表：选取一些\(x\)的值（\(x\neq0\)），计算出对应的\(y\)值。例如，当\(x=-6\)时，\(y=-1\)；当\(x=-3\)时，\(y=-2\)；当\(x=-2\)时，\(y=-3\)；当\(x=-1\)时，\(y=-6\)；当\(x=1\)时，\(y=6\)；当\(x=2\)时，\(y=3\)；当\(x=3\)时，\(y=2\)；当\(x=6\)时，\(y=1\)。描点：在平面直角坐标系中，根据列表中的坐标值，描出相应的点。连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)的图象。让学生观察图象，分组讨论反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)的图象特征和性质：图象是由两条曲线组成，分别位于第一、三象限。当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。即反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\gt0\)）在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小。再画反比例函数\(y=-\frac{6}{x}\)的图象，对比分析其图象特征和性质：图象同样由两条曲线组成，分别位于第二、四象限。当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。即反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\lt0\)）在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而增大。总结反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）的图象和性质：当\(k\gt0\)时，图象位于第一、三象限，在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小。当\(k\lt0\)时，图象位于第二、四象限，在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而增大。（三）例题讲解（15分钟）例2：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((-2,3)\)，求\(k\)的值，并判断点\((1,-6)\)是否在该函数图象上。分析：将点\((-2,3)\)代入反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)中，可求出\(k\)的值，得到函数表达式，再把点\((1,-6)\)代入表达式中，判断等式是否成立，从而确定该点是否在函数图象上。解答：把\((-2,3)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)得\(3=\frac{k}{-2}\)，解得\(k=-6\)，所以反比例函数表达式为\(y=-\frac{6}{x}\)。当\(x=1\)时，\(y=-\frac{6}{1}=-6\)，所以点\((1,-6)\)在该函数图象上。例3：已知反比例函数\(y=\frac{m-2}{x}\)，当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大，求\(m\)的取值范围。分析：根据反比例函数的性质，当\(k\lt0\)时，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大。在函数\(y=\frac{m-2}{x}\)中，\(k=m-2\)，所以\(m-2\lt0\)。解答：因为当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大，所以\(m-2\lt0\)，解得\(m\lt2\)。例4：某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压\(P\)（\(kPa\)）是气体体积\(V\)（\(m^3\)）的反比例函数，其图象如图所示。（1）求这一函数的表达式。（2）当气体体积为\(1m^3\)时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于\(140kPa\)时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于多少？分析：（1）设反比例函数表达式为\(P=\frac{k}{V}\)（\(k\neq0\)），从图象上选取一点坐标代入表达式，求出\(k\)的值。（2）把\(V=1m^3\)代入已求出的函数表达式中，求出\(P\)的值。（3）把\(P=140kPa\)代入函数表达式中，求出\(V\)的值，再根据函数性质确定\(V\)的取值范围。解答：（1）设\(P=\frac{k}{V}\)（\(k\neq0\)），由图象可知，当\(V=1.6m^3\)时，\(P=60kPa\)，把\(V=1.6\)，\(P=60\)代入得\(60=\frac{k}{1.6}\)，解得\(k=96\)，所以函数表达式为\(P=\frac{96}{V}\)。（2）当\(V=1m^3\)时，\(P=\frac{96}{1}=96kPa\)。（3）当\(P=140kPa\)时，\(140=\frac{96}{V}\)，解得\(V=\frac{96}{140}=\frac{24}{35}m^3\)。因为\(P=\frac{96}{V}\)，\(k=96\gt0\)，当\(V\gt0\)时，\(P\)随\(V\)的增大而减小，所以为了安全起见，气体体积应不小于\(\frac{24}{35}m^3\)。（四）巩固练习（10分钟）下列函数中，哪些是反比例函数？5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理9布置作业学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解上节课我们学习了反比例函数的图象，本节课我们将从函数图象在平面直角坐标系中所处的位置和函数值随自变量的变化而变化的情况两个方面来进一步研究反比例函数的图象与性质。[动脑筋]已知反比例函数的图象经过点P（2，4）。（1）求k的值，并写出该函数的表达式；（2）判断点A（－2，－4），B（3，5）是否在这个函数的图象上；（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？解：（1）∵过P（2，4）∴k=×4=8∴反比例函数表达式为：（2）当x=－2时，；当x=3时，∴点A在反比例函数图象上，点B不在反比例函数图象上。（3）∵k=8>0，∴这个反比例函数的图象位于第一、三象限；在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小。例2如图是某反比例函数

的图象。根据图象，回答下列问题：（1）

k的取值范围是k>0还是k<0？说明理由；（2）如果点A（－3，y1），B（－2，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小。举例解：（1）由图可知：反比例函数的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，∴

k

＞0。（2）∵k

＞0又∵－3＜－2，∴y1＞y2。因此，，解得：例3已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P（－3，4）。试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象。举例解：设正比例函数、反比例函数