福建省莆田市莆田第五中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（含答案）

莆田五中2024-2025下学期高二数学第一次月考2025.3.12一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）1．已知，若，则实数的值为（

）A．B．C．D．22．在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝()A．2B．4C．D．3．下列求导运算正确的是（

）A．B．C．D．4．已知函数的导函数图像如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．是极大值点C．在区间内一定有个极值点D．的图像在点处的切线斜率等于5．若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（

）A．B．C．1D．6．已知是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，是圆柱的母线，是线的中点，．则点到平面的距离为（

）A．1B．2C．D．7．在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（

）A．B．C．D．8．设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（

）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．数列的前n项和为，则下列说法正确的是（

）A．若，则数列的前5项和最大B．若等比数列是递减数列，则公比q满足C．已知等差数列的前n项和为，若，则D．已知为等差数列，则数列也是等差数列10.下列正确的命题有（）A.已知函数f(x)=x2fB.若a=ln22，b=1c，c=C.函数f(x)=13x3D.点P是曲线y=ex上任意一点，则P到y=x的距离为11．意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为，则（

）A．B．C．是奇函数D．当与和共有3个交点时，三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．A同学为参加《古诗词大赛》进行古诗词巩固训练，她第1天复习10首古诗词，从第2天起，每一天复习的古诗词数量比前一天多2首，每首古诗词只复习一天，则10天后A同学复习的古诗词总数量为13、函数是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集是14、已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是_________．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知函数若函数在处取得极小值(1)求实数a，b的值；(2)求的单调区间和极大值；（15分）已知an的前n项和为Sn，且满足Sn求数列an若bn=2n（an-1），求数列b17.（15分）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直．(1)求b；(2)讨论函数的单调性；(3)若函数在上单调递减，求a的取值范围．18．（17分）如图，在以为顶点的多面体中，平面平面，为的中点

(1)证明：平面；(2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.19．（17分）已知函数．(1)若，证明：在上存在唯一的零点；(2)若，证明：当时，．

参考答案一、单选题题号12345678答案CBDCBCBA二、多选题题号91011答案ACDABAC三、填空题12.19013.(-1,0)U(1,+∞)14.（32四、解答题15、【详解】（1）因为，所以，因为函数在处取得极小值，所以，解得，此时，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，取到极小值，符合题意.所以.（2），令，则或，当时，，所以在上单调递增；当，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.所以的单调递增区间为，；单调递减区间为；当，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.所以的单调递增区间为，；单调递减区间为.当，的单调递增区间为，；单调递减区间为，当时，函数取到极大值，即【答案】（1）当n>1时，a1=S当n≥2时，an=Sn-Sn−1a1=1也满足上式，则an（2）Tn=8+（n-2）17、【详解】（1），故，又斜率为1，故，解得.（2）因为，故，则，当时，，故在上，，单调递增；在上，，单调递减；当时，令有，，且，故在上，，单调递减；在上，，单调递增；在上，，单调递减.当时，，在单调递减；当时，在上，，单调递减；在上，，单调递增；在上，，单调递减.（3），由题意在上恒成立，即在上恒成立，因为，故，即.所以a的取值范围为.18、【详解】（1）连接交于点，连接，因为，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，又因为为的中点，所以，因为平面平面，所以平面.（2）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，以为坐标原点，在平面内，以过点垂直于的方向为轴正方向，以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，所以，设平面的一个法向量为，则，可得，令，则，假设在棱上存在一点，使得直线与平而所成角的大小为，设，因为，则，又因为，所以，则，化简得，解得，因为，所以，所以在棱上存在一点，使得直线与平面所成角的大小为，此时.19、【详解】（1）