2024-2025学年上学期高一数学苏教版期中必刷常考题之复数的几何意义

第17页（共17页）2024-2025学年上学期高一数学苏教版（2019）期中必刷常考题之复数的几何意义一．选择题（共5小题）1．（2025•雁江区校级模拟）已知复数z=2i1-iA．1 B．2 C．2 D．22．（2024秋•下月考）复数z=A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2025春•渝中区校级月考）已知复数z满足z2z+1=i，则zA．35 B．25 C．55 4．（2025•顺德区模拟）已知复数z1＝1-3i与z2＝a+bi（a，b∈R）在复平面内对应的点关于直线x+y＝0对称，则复数zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2025•广东一模）设复数z满足（2﹣i）z＝3i，则z的共轭复数z=A．-35-65i B．-35二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•锦州期末）已知复数z1，z2，则下列说法不正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z1B．若z1﹣z2＞0，则z1＞z2 C．z1z2∈R是z1=D．|z1|＝1，|z2|＝1，|z1﹣z2|＝1，则|（多选）7．（2025•文昌校级一模）已知复数z=A．|zB．z的虚部为﹣2i C．z在复平面内对应的点在第四象限 D．z的共轭复数为3+2i（多选）8．（2024秋•商水县期末）已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是（）A．2z1-B．|z1﹣z2|≤|z1|+|z2| C．若|z1|﹣|z2|＝0，则z1D．若|2z1|+|3z2|＝0，则z1＝z2＝0三．填空题（共4小题）9．（2025•玉林模拟）复数z＝i（2+i）（其中i为虚数单位）的共轭复数为10．（2025•宜春校级开学）已知复数z与复平面内的点（1，2）对应，则z-11-i=11．（2024秋•江西期末）若复数z=1+i1-i，则|2•z2023+z2024|＝12．（2025春•新余校级月考）请写出一个非0复数z满足zz=|z|：四．解答题（共3小题）13．（2024秋•唐县校级期末）对于z0，z1，z2∈C，记k=|z1-z0z2-z0|为z1，z2关于z0的“差比模”．若取遍|z0|＝r（r＞0），记z1，z2关于|z0|＝r的“差比模”的最大值为kmax，最小值为kmin，若kmax+k（1）若z0=12+32i，z（2）若z1=1+3i，z2=1-3i，是否存在r＜2，使得（3）若z1＝a，z2＝bi，a，b∈R且a，b＞r，若z1，z2关于r的“差比模”是协调的，求b214．（2024春•涵江区校级期中）已知复数z＝m2+m﹣6+（m2+5m+6）i（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值．（1）z为实数；（2）z为虚数；（3）z为纯虚数．（4）若z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．15．（2024春•科左中旗校级期中）已知复数z满足z⋅（1）求z；（2）若复数|ω﹣z|≤|z+i|，求ω在复平面内对应点的集合构成的图形的面积．

2024-2025学年上学期高一数学苏教版（2019）期中必刷常考题之复数的几何意义参考答案与试题解析题号12345答案CBCAA一．选择题（共5小题）1．（2025•雁江区校级模拟）已知复数z=2i1-iA．1 B．2 C．2 D．2【考点】复数的模．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】利用复数的运算化简复数z，利用复数的模长公式可求得|z|．【解答】解：∵z=2i∴|z|＝2．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2．（2024秋•下月考）复数z=A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数对应复平面中的点；复数的除法运算．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】由复数的四则运算化简复数z，结合复数的几何意义即可得解．【解答】解：z=复数z在复平面内对应的点的坐标为(-所以复平面内z对应的点位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（2025春•渝中区校级月考）已知复数z满足z2z+1=i，则zA．35 B．25 C．55 【考点】复数的模；复数的除法运算．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】利用复数的四则运算和相等的条件解出a，b，代入复数的模长公式即可求解．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则a+bi＝[2（a+bi）+1]i＝﹣2b+（2a+1）i，可得a=-2则z的模为|z|=4故选：C．【点评】本题考查复数的模长，属于基础题．4．（2025•顺德区模拟）已知复数z1＝1-3i与z2＝a+bi（a，b∈R）在复平面内对应的点关于直线x+y＝0对称，则复数zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数对应复平面中的点．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】写出复数对应点的坐标即可得到答案．【解答】解：由复数z1＝1-3i，可知z1在复平面内对应的点的坐标为(1其关于直线x+y＝0的对称点的坐标为(3所以z2=3-i故选：A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．5．（2025•广东一模）设复数z满足（2﹣i）z＝3i，则z的共轭复数z=A．-35-65i B．-35【考点】共轭复数；复数的除法运算．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】利用复数的除法运算法则可求得z，进而根据共轭复数的定义可求得z．【解答】解：由复数z满足（2﹣i）z＝3i，可得z=故z=-3故选：A．【点评】本题主要考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•锦州期末）已知复数z1，z2，则下列说法不正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z1B．若z1﹣z2＞0，则z1＞z2 C．z1z2∈R是z1=D．|z1|＝1，|z2|＝1，|z1﹣z2|＝1，则|【考点】复数的模．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ABC【分析】通过特例即可判断ABC；对于D，由复数模的几何意义判断D正确．【解答】解：令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，显然z12=令z1＝2+i，z2＝1+i，满足z1﹣z2＞0，显然z1＞z2不成立，故B错误；令z1＝1，z2＝﹣1，满足z1z2∈R，此时z1=z由|z1|＝1，|z2|＝1，|z1﹣z2|＝1，可知在复平面内复数z1，z2对应的点与坐标原点的连线构成边长为1的等边三角形，则|z1+z2|是以OZ1，OZ2为邻边的菱形的另一条对角线长，等于3，故D正确．故选：ABC．【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的几何意义，是基础题．（多选）7．（2025•文昌校级一模）已知复数z=A．|zB．z的虚部为﹣2i C．z在复平面内对应的点在第四象限 D．z的共轭复数为3+2i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ACD【分析】根据复数的除法和乘法化简判断B，D，根据复数对应的点判断C，求出模长判断A．【解答】解：z=|z|=3z的虚部为﹣2，故B错误；z在复平面内对应的点的坐标为（3，﹣2），在第四象限，故C正确；z=3+2i，故故选：ACD．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．（多选）8．（2024秋•商水县期末）已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是（）A．2z1-B．|z1﹣z2|≤|z1|+|z2| C．若|z1|﹣|z2|＝0，则z1D．若|2z1|+|3z2|＝0，则z1＝z2＝0【考点】复数的模；共轭复数．【专题】转化思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ABD【分析】对于A，设z1＝a+biz2＝m+ni，由共轭复数定义可判断选项正误；对于B，由复数的向量定义结合三角形三边关系可判断各选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由复数模长定义可判断选项正误．【解答】解：对于A，设z1＝a+bi，z2＝m+ni，a，b，m，n∈R．则2z2z1-z2对于B，平移向量z1，z2，使两复数在复平面对应向量起点相同，则z1﹣z2对应向量为由z2对应向量终点指向z1对应向量终点所形成的向量，若z1z2对应的向量不共线，则向量z1，z2，z1﹣z2对应图形可组成三角形，由三角形三边关系可得：|z1﹣z2|＜|z1|+|z2|，若z1z2对应的向量共线，且方向相反，则|z1﹣z2|＝|z1|+|z2|，若z1，z2对应的向量共线同向，则|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|，综上，|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|，故B正确；对于C，令z1＝i，z2＝1，则|z1|＝|z2|＝1⇒|z1|﹣|z2|＝0，但z12=-1，z22对于D，因|2z1|≥0|3z2|≥0，|2z1|+|3z2|＝0，则|2z1|＝|3z2|＝0⇒z1＝z2＝0．故D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查共轭复数的概念及计算、复数的向量表示、复数模的求解等知识，通过对各选项进行分析判断来考查对复数性质的理解与运用．属于中等难度题．三．填空题（共4小题）9．（2025•玉林模拟）复数z＝i（2+i）（其中i为虚数单位）的共轭复数为﹣1﹣2i【考点】共轭复数；复数的运算．【专题】解题思想；定义法；数系的扩充和复数．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝i（2+i）＝﹣1+2i，∴z=-1-2故答案为：﹣1﹣2i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．（2025•宜春校级开学）已知复数z与复平面内的点（1，2）对应，则z-11-i=【考点】由复平面中的点确定复数；复数的除法运算．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】﹣1+i．【分析】由点坐标写出复数，再由复数的除法化简即可．【解答】解：∵复数z与复平面内的点（1，2）对应，∴z＝1+2i，则z-故答案为：﹣1+i．【点评】本题考查复数的几何意义，属于基础题．11．（2024秋•江西期末）若复数z=1+i1-i，则|2•z2023+z2024|＝【考点】复数的模；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】5．【分析】应用复数除法求复数，再由复数乘方运算及模长求法求结果．【解答】解：由z=所以|2•z2023+z2024|＝|2•i2023+i2024|＝|1﹣2i|=1+4故答案为：5．【点评】本题主要考查复数乘方运算及模长求法，属于基础题．12．（2025春•新余校级月考）请写出一个非0复数z满足zz=|z|：1【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】12【分析】先设复数，再根据共轭复数及复数的乘法运算得出a2【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R，a，b不同时为0），则zz=a由于z≠0，所以a2故答案为：12+3【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•唐县校级期末）对于z0，z1，z2∈C，记k=|z1-z0z2-z0|为z1，z2关于z0的“差比模”．若取遍|z0|＝r（r＞0），记z1，z2关于|z0|＝r的“差比模”的最大值为kmax，最小值为kmin，若kmax+k（1）若z0=12+32i，z（2）若z1=1+3i，z2=1-3i，是否存在r＜2，使得（3）若z1＝a，z2＝bi，a，b∈R且a，b＞r，若z1，z2关于r的“差比模”是协调的，求b2【考点】复数的模；复数的三角表示．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解；新定义类．【答案】（1）z1，z2关于z0的“差比模”为33（2）不存在r＜2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的，证明详见解析；（3）b2【分析】（1）根据“差比模”的定义进行运算；（2）根据“差比模”协调的定义以及共轭复数的性质、复数的模的性质，可推出kmax+kmin＞2，故不存在r＜2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的；（3）根据“差比模”协调的定义结合复数的三角表示，根据三角函数的有界性将问题以及韦达定理对所求式子进行转化和求解．【解答】解：（1）由题意得：k=|1-z0-1-z＝|1-3i-3-3i|＝|(1-3i)(-3+3i)(-3-3i)(-3+3i（2）不存在r＜2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的．理由如下：先证明共轭复数有如下性质：若任意z1，z2∈C，则z1±z2=证明：设z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R），则z1+z2=a+bi±(而z1±z2=a﹣bi±（c﹣di）＝a±c﹣（b±d）i，故zz1(z=ac+bd综上，共轭复数性质z1±z2=记当“差比模”取最大值kmax时的复数z0为zmax，即kmax由已知z1=1+3i，z2=1-3i，所以|z由已证明共轭复数的性质与复数模的性质|z|＝|z|可得，因为|z所以当z0＝zmax时取得kmax，则z0=zmax时取得kmin，故可知kmax•kmin＝由取遍|z0|＝r（r＞0），k＝|1+3i-z01-3i-故由基本不等式可得kmax+kmin＞2，故不存在r＜2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的；（3）z1＝a，z2＝bi，a，b∈R且a，b＞r，设z0＝r（cosθ+isinθ），则k＝|a-rcosθ-平方整理得：（a2+r2）﹣（b2+r2）k2＝2arcosθ﹣2brk2sinθ=4所以|sin[（a2+r2）﹣（b2+r2）k2]2≤4a2r2+4b2r2k4，整理得：（b2﹣r2）2k4﹣2（a2+r2）（b2+r2）k2+（a2﹣r2）2≤0，令t＝k2，设方程（b2﹣r2）2t2﹣2（a2+r2）（b2+r2）t+（a2﹣r2）2＝0，则Δ＝[2（a2+r2）（b2+r2）]2﹣4[（b2﹣r2）（a2﹣r2）]2＝16（a2b2+r4）（a2+b2）r2＞0，故方程有两个不等的实数根，设为m，n，不妨设m＜n，由题意知a＞r＞0，b＞r＞0，a2﹣r2＞0，b2﹣r2＞0，则m+n=2(a2+故方程（b2﹣r2）2t2﹣2（a2+r2）（b2+r2）t+（a2﹣r2）2＝0有两不等的正实数根m，n，由关于k2的不等式（b2﹣r2）2k4﹣2（a2+r2）（b2+r2）k2+（a2﹣r2）2≤0，解得k2∈[m，n]，则kmax=n，k由已知z1，z2关于r的”差比模”是协调的，则m+n=2利用韦达定理，2(a则有2（a2+r2）（b2+r2）+2（a2﹣r2）（b2﹣r2）＝4（b2﹣r2）2，化简可得a2＝b2﹣2r2，故b2【点评】本题主要考查复数的模和复数的三角表示，属于较难题．14．（2024春•涵江区校级期中）已知复数z＝m2+m﹣6+（m2+5m+6）i（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值．（1）z为实数；（2）z为虚数；（3）z为纯虚数．（4）若z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；纯虚数．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）m＝﹣3或m＝﹣2；（2）m≠﹣3且m≠﹣2；（3）m＝2；（4）（﹣2，2）．【分析】（1）根据虚部为0得到方程，求解即可；（2）根据虚部不为0得到方程，解出即可；（3）根据实部为0，虚部不为0得到方程，求解即可；（4）根据复数与对应点关系得到不等式组，解出即可．【解答】解：复数z＝m2+m﹣6+（m2+5m+6）i．（1）若z为实数，则m2+5m+6＝0，解得m＝﹣3或m＝﹣2；（2）若z为虚数，则m2+5m+6≠0，解得m≠﹣3且m≠﹣2；（3）若z为纯虚数，则m2+m-6=0（4）若z在复平面内对应的点在第二象限，则m2+m-6＜0即m的取值范围为（﹣2，2）．【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．15．（2024春•科左中旗校级期中）已知复数z满足z⋅（1）求z；（2）若复数|ω﹣z|≤|z+i|，求ω在复平面内对应点的集合构成的图形的面积．【考点】共轭复数；复数的模；复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）z=（2）7π．【分析】（1）利用复数的乘法与除法能求出z，进而能求出z．（2）设ω＝x+yi（x，y∈R），利用复数的模长公式可得出（x-3）2+（y﹣1）2≤7，确定复数ω在复平面内的对应点的轨迹，能求出ω【解答】解：（1）∵z•i＝2（12+32i）2＝2（∴z=3∴z=（2）设ω＝x+yi（x，y∈R），则ω﹣z＝（x-3）+（y﹣1）i，z+i=3+∴|z+i|=3+由|ω﹣z|≤|z+i|，得（x-3）2+（y﹣1）2≤7∴ω在复平面内对应点形成以点（3，1）为圆心，半径为7的圆及其内部，∴ω在复平面内对应点的集合构成的图形的面积为S=π×(【点评】本题考查复数的运算，考查共轭复数、复数的运算法则、复数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

考点卡片1．纯虚数【知识点的认识】形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．【解题方法点拨】复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．【命题方向】纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．2．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z=z（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z-z=2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+z=0且3．复数对应复平面中的点【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．【解题方法点拨】﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．【命题方向】﹣复平面的几何表示：考查复数在复平面中的点表示及其几何意义．﹣复数的几何应用：如何在复平面中使用复数解决几何问题．4．由复平面中的点确定复数【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．【解题方法点拨】﹣从点到复数：通过点的坐标（x，y），直接确定复数x+yi．﹣几何解释：理解复数的几何意义并应用于实际问题中．【命题方向】﹣点与复数的关系：考查如何根据复平面上的点确定对应的复数．﹣复数的几何应用：如何利用复平面中的点解决实际问题．5．共轭复数【知识点的认识】实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数Z