2024-2025学年广东省江门市鹤山市高二下册第一次月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年广东省江门市鹤山市高二下学期第一次月考数学检测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在数列中，，且，则（）A. B. C.2 D.1【正确答案】A【分析】根据数列的递推公式，发现规律，即数列为周期数列，然后求出即可.【详解】；则;;数列为周期数列，周期为3.当时，当时..故选：A.2.已知函数在处可导，且则（）A. B. C. D.2【正确答案】A【分析】根据导数的定义计算可得.【详解】因为函数在处可导，且，所以.故选：A3.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.12 B.16 C.20 D.22【正确答案】D【分析】由等差数列及前项和的性质即可求解；【详解】由，可得：，所以，又，故选：D4.已知数列满足，，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据得，由题意，故为等比数列，可得，进而可得.【详解】由得，又，故数列是以首项为1，公比为2的等比数列，故，得，故，故选：C5.已知数列通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据单调性的定义即可列不等式求解.【详解】为单调递增的数列，故，解得，故选：C6.已知函数（是的导函数），则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】对于原函数和导函数，分别取，代入运算求解即可.【详解】因为，则，又因为，当时，，解得，所以.故选：D.7.已知等差数列的前项和为，则（）A.36 B.28 C.24 D.30【正确答案】D【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，由题意可得，解得，又因为，所以，所以，故选：D8.若点是曲线上任意一点，则点到直线距离最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由题知过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可.【详解】解：过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.设切点为，，所以，切线斜率为，由题知得或（舍），所以，，此时点到直线距离.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】AC【分析】根据导数运算法则及复合函数导数的求法逐项判断可得结果.【详解】令，，因为，，所以，故A正确；因为为常数，所以，故B错误；令，，因为，，所以，故C正确；因为，所以，故D错误.故选：AC.10.已知数列是等比数列，则下列命题中正确的是（）A.数列是等比数列B.若，，则C.若数列的前项和，则D.若，公比，则数列是递增数列【正确答案】AD【分析】对于A，根据条件，利用等比数列的定义，即可求解；对于B，根据选项条件，直接求出，即可求解；对于B，利用，求接求出，再利用等比数列的性，即可求解，对于D，根据通项公式，结合选项条件及指数函数的性质，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，首项为，对于选项A，因为为常数，所以数列是等比数列，故选项A正确，对于选项B，因为，，则，解得，所以，故选项B错误，对于选项C，因为，令，得到，令，得到，所以，令，得到，所以，由题有，解得，所以选项C错误，对于选项D，因为，又，公比，所以数列是递增数列，故选项D正确，故选：AD.11.已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（）A.数列为等差数列 B.数列为等比数列C. D.【正确答案】BCD【分析】根据递推式可得、，再根据等差、等比数列的定义判断A、B；应用累加法求数列通项公式判断C；应用分组求和及等比数列前n项和公式求判断D.【详解】因为，所以，则是首项为，公比为2的等比数列，故A错误；根据题意得，，所以数列为首项为1，公比为1的等比数列，则

，故B正确；所以，故C正确；，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为______．【正确答案】80【分析】由瞬时变化速度计算公式可求当时，物体的瞬时速度.【详解】因为.所以该物体时，物体的瞬时速度为.故8013.若数列满足，，则_______．【正确答案】【分析】根据题意得到，结合累乘法即可求解.【详解】由，得．所以，又满足上式，所以．故答案为.14.已知,分别是等差数列的前项和，且，则________【正确答案】【分析】根据条件，利用等差数列的性质得，再结合条件，即可求解.【详解】因为是等差数列，所以，又，所以，故答案为.四、解答题：本题5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数的图象在点处的切线为．（1）求函数的解析式;（2）若曲线在点P处的切线与直线垂直，求点P的横坐标．【正确答案】（1）（2）2【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再利用切线方程求出即可；（2）由两直线垂直得到斜率关系，再利用导数的意义求解即可；【小问1详解】函数，，在点处的切线为，解得，所以【小问2详解】设，则由题可知，即，所以P的横坐标为2．16.记为数列的前n项和，已知（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）由的关系求的通项公式；（2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求【小问1详解】当时，，当时，满足上式，所以.【小问2详解】由题知，所以，，两式相减得所以17.数列中，（1）求数列通项公式；（2）设记数列的前项和为，证明.【正确答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）由累加法求解数列的通项公式即可；（2）由裂项相消法求解数列的前项和为，然后证明即可.【小问1详解】因为，即，所以当时，，将以上各式相加，得，则，当时也符合上式，故【小问2详解】由题意，.18.已知函数.（1）求在区间上的平均变化率；（2）求曲线在点处的切线方程；（3）求曲线过点的切线方程.【正确答案】（1）（2）（3）或【分析】（1）由平均变化率的公式即可求解；（2）依次求出的值，利用导数的几何意义即可求切线方程；（3）首先设出切点坐标，利用可求出切点坐标，可得切线方程．【小问1详解】因为，所以在区间上的平均变化率为．【小问2详解】由，有，从而，，则切点坐标为，切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即．小问3详解】易知直线与曲线不相切，故设切点为，则由，可得，即，解得或，当时，切点为，，此时满足题意的切线方程为，显然它过点，当时，切点为，，此时满足题意的切线方程为，即，显然它过点，综上所述，满足题意的切线方程为或．19.在数列中，，.（1）证明：数列是等差数列.（2）求的通项公式.（3）若，求数列的前项和.【正确答案】（1）证明见解析（2）（3