初中数学自主招生难度讲义-9年级专题26分而治之

专题26分而治之

——分类讨论

阅读与思考

在解决某些数学问题的时候，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类

讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法．

运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类．正确分类的标准是：对所讨论的全体分类要“既

不重复，又不遗漏”；在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；对于多级讨论，应逐级进行．

初中数学分类讨论问题的常见形式有：

1．一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制，在使用过程中必须讨论；

2．题设条件中含有变量或参数时，必须根据变量或参数的不同取值进行讨论；

3．一些问题的图形位置或形状不确定时，只有通过讨论，才能保证结论的完整性；

4．一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时，只有通过讨论，才能保证解答的严密性；

5．对于自然数问题，有时须按剩余类分类讨论．

例题与求解

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜

边AB只有一个公共点，则R的取值范围是．（北京市宣武区中考试题）

解题思路：圆与斜边只有一个公共点，则圆与斜边相切或圆与斜边相交．

【例2】解方程：｜x－2｜+｜x+3｜=x+10．

解题思路：解绝对值方程的关键是去方程左边的绝对值符号，这就要对x的取值范围进行分类讨

论．需分下列三种情况：①x≤－3；②－3＜x≤2；③x＞2．

【例3】若关于x的方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数k的

值有___________．（全国初中数学竞赛试题）

解题思路：用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方

程两种情形讨论，这样确定k的值才能全面而准确．

【例4】如图，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与点A，C不重合），

Q在BC上．

(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；

(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；

(3)试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；

若存在，请求出PQ的长．（福州市中考试题）

解题思路：对于(3)，使△PQM为等腰直角三角形有两种情况：一是以PQ为直角边，二是以PQ

为斜边．

【例5】证明：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．（全国初中数学

联赛试题）

解题思路：由于自然数可分为奇数、偶数两大类，因此，很容易考虑到按奇数、偶数分类讨论．

【例6】设a和b是相异实数，证明：存在整数m和n，使得ambn0，bman0．（加

拿大中学生竞赛试题）

解题思路：a，b为相异实数，则必有a－b>0或a－b<0两种情况．

能力训练

ba

1．已知a+b=－8，ab=8，化简ba=．（内江市中考试题）

ab

ba

2．已知实数a，b满足以a2－7a+2=0，a2－7b+2=0，则的值为．（淮阴市中考

ab

试题）

3．在△ABC中过A作△ABC的高，垂足为D．若∠BAD=55°，∠CAD=25°，则∠BAC=．

4．在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B（2，－3），点P在y轴上，且△APB为直角三角形，

则点P的个数为．（河南省竞赛诚题）

5．平面上A，B两点到直线l的距离分别是2－3与2+3，则线段中点C到直线l的距离

是．

6．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆圆周上的一点，且OC2=AC·BC，则

∠CAB=．（全国初中数学联赛试题）

7．如图，在两直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6，AD=2．当AB=时，这两个

直角三角形相似．

第7题图第10题图第11题图

8．已知方程m2x2－(2m－3)x+1=0的两个实数根的倒数和是S，则S的取值范围

是．（天津市中考试题）

9．关于x的方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)x+m2=0中，至少有一个方程有实数根，则m

的取值范围是()

3131

A．－＜m＜－B．m≤－或m≥－

2424

1131

C．－＜m＜D．m≤－或m≥

4222

（四川省选拔赛试题）

10．如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两个点之间的距离都是1个单

位．定义：由点阵中4个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形，图中以A，B为顶点，面积为2的

阵点平行四边形的个数为()

A．3个B．6个C．7个D．9个

（武汉市四月调考试题）

11．如图，矩形ABCD中，AB=7，AD=3，BE=2EC，若F是AB上的点，使以F，A，D为顶点的

三角形和以F，B，E为顶点的三角形相似，则这样的点F有()（绍兴市竞赛试题）

A．1个B．2个C．3个D．4个

12．下面是某同学在一次测验中解答的填空题：

①若x2=a2，则x=a．

②方程2x(x－1)=x－1的解为x=0．

③若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边长为5．

其中答题完全正确的题目个数为()

A．0个B．1个C．2个D．3个

（重庆市中考试题）

13．在半径为5cm的圆内有长为53cm的弦，则此弦所对的圆周角为()

A．60°或120°B．30°或120°C．60°D．120°

14．如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3．如果边AB上的点P使得以P，A，D为

顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

第14题图第15题图

15．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程

x2+(2m－1)x+m2+3=0的根，则m的值为()

A．－3B．5或－3C．5D．－5或3

（吉林省中考试题）

1

16．已知：关于x的函数ya23a2x2a1x的图象与x轴总有交点，求a的取值范

4

围．

（十堰市中考试题）

17．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y

k

轴上，点B的坐标为(2，2)，反比例函数y（x>0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D．

x

(1)求k的值；

(2)若点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC

所在直线于点Q，记四边形COPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围．

18．已知△ABC中，BC=6cm，CA=8cm，∠C=90°，动点P从点C出发，以每秒1cm的速度沿

CA，AB运动到B点．

(1)设P从C开始运动的距离为xcm，△BCP的面积为ycm2，把y表示成x的函数；

1

(2)从C出发几秒时，S△BCP=S△ABC?（荆州市中考试题）

4

19．如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点O，以直线O1O2为x轴，点O为坐标原点建立直角坐标系，

直线AB切⊙O1于点B，切⊙O2于点A，交y轴于点C(0，2)，交x轴于点M；BO的延长线交⊙O2于点

D，且OB：OD=1：3．

(1)求⊙O2的半径长；

(2)求直线AB的解析式；

(3)在直线AB上是否存在点P，使△MO2P与△MOB相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，

说明理由．

（吉林省中考试题）

22

20．已知抛物线l1：y=ax－2amx+am+2m+1(a>0，m>0)的顶点为A，抛物线l2的顶点B在y轴上，

且抛物线l1和抛物线l2关于点P(1，3)成中心对称．

(1)当a=1时，求l2的解析式和m的值；

(2)设l2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．

（浙江省竞赛试题）

21．已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数，”

试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论．

（全国初中数学联赛试题）

22．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c都是平方数（即整数的平方），证明：

(1)2a，2b都是整数；

(2)a，b，c都是整数，并且c是平方数．

反过来，如果(2)成立，是否对一切x的整数值，ax2+bx+c的值都是平方数？

（全国初中数学竞赛试题）

23．2007个质点均匀分布在半径为R的圆周上，依次记为P1，P2，P3，…，P2007．小明用红色按

如下规则去涂这些点：设某次涂第i个质点，则下次就涂第i个质点后面的第i个质点．按此规则，小

明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂色方案；若不能，请说明理由，、

（浙江省竞赛试题）

24．甲、乙、丙三支乒乓球队，人数都不相同，每队不少于2人，甲队最少，丙队最多．同一球队

的队员互相不比赛，不同球队的队员之间都要比赛一场．统计员作了记录：参加比赛的共有13人，进

行的比赛共有54场．求甲、乙、丙三支球队的队员数，并说明理由．（江苏省竞赛试题）

专题26分而治之

——分类讨论

例1R＝2.4cm或3cm＜R≤4cm

例2分三种情况讨论：

1111

①当x≤－3时，方程为－2x－1＝x＋10解得x，符合x≤－3，故x是一解；②当－3＜x≤2

33

时，方程为5＝x＋10解得x＝－5，不符合－3＜x≤2，故舍去；

③当x＞2时，方程为2x＋1＝x＋10解得x＝9，符合x＞2，故x＝9也是一解．

11

综合①②③可得原方程的解为x或x＝9．

3

例3当k＝6时，得x＝2；当k＝9时，得x＝－3；

96

当k≠6且k≠9时，解得x，x；

16k29k

当6－k＝±1，±3，±9时，x1是整数，这时k＝7，5，3，－3，15；

当9－k＝±1，±2，±3，±6时，x2是整数，这时k＝10，8，11，7，12，15，3．

综上所述，k＝3，6，7，9，15时，原方程的解是整数．

24

例4（1）CP22；（2）CP；

7

（3）①如图1所示，设PM⊥PQ且PM＝PQ，点M在AB上，令

12

x

x60

PQ＝x，∵△CPQ∽△CAB，∴5，解得x．②

51237

5

如图2所示，当∠PMQ＝90°，且PM＝MQ，点M在AB上，令PQ＝y，

121

y

y120

∵△CPQ∽△CAB，∴52，解得y．

51249

5

例5①若n为奇数，设n＝2k＋1，k为大于2的整数，则可写成n＝k＋(k＋1)，显然符合要求．②若n

为偶数，则可设n＝4k，或n＝4k＋2，k为大于1的自然数．当n＝4k时，n＝(2k－1)＋(2k＋1)，且易知

2k－1与2k＋1互质，假如它们有公因子d≥2，则d＝2，但2k－1，2k＋1均为奇数，此为不可能；当n

＝4k＋2时，n＝(2k－1)＋(2k＋3)，且易知2k－1与2k＋3互质，事实上假如它们有公因子d≥2，设2k

－1＝nd，2k＋3＝md，m，n均为自然数，则有(m－n)d＝4，可见d＝4，矛盾．

例6当a－b＞0时，取m＝1，n＝－1，则am＋bn＝a－b＞0成立，bm＋an＝b－a＜0成立，验证知

满足所给不等式．当a－b＜0时，取m＝－1，n＝1，则am＋bn＝－a＋b＞0成立，bm＋an＝－b＋a＜

0成立，也验证知满足所给不等式．

能力训练1.1222.2或22.53.80°或30°提示：分高AD在△ABC内部或外

部两种情况．4.4个提示：先在坐标平面内描出A，B两点，连接AB，因题设中未指明△PAB

的哪个角是直角，故应分别就∠A，∠B，∠P是直角来讨论．设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方

2222

程．若∠A＝90°，则P1(0，2)；若∠B＝90°，则P2(0，－3)；若∠P＝90°，则PA＋PB＝AB，而PA

＝(2－x)2＋22，PB2＝(x＋3)2＋22，AB2＝(2＋3)2，∴(2－x)2＋22＋(x＋3)2＋22＝52，∴x＝1或x＝－2，

即P3(0，1)或(0，－2)．

5.2或3提示：分A,B位于l同侧或异侧两种情况讨论．

6.75°或15°提示：运用圆的对称性．7.3或32．

33

8.S≤－且S≠－3提示：S＝2m－3，≥0，m≤且m≠0．

24

9.B．10.D．提示：以A,B为顶点的平行四边形可以分为两类：①以AB为边的，且面积为2

的平行四边形共6个；②以AB为对角线，且面积为2的平行四边形共3个.故满足条件的阵点平行四边

形的个数为9个.11.C12.A13.A14.C提示：分△PAD∽△PBC及△PAD∽△CBP两种情况讨论.15.A

16.提示：当函数是一次函数，即且时，图像与x轴有交点；当

22

且时，图像与x轴有交�点+，3�综+上2知=0a的�取+值1≠范0围为a<-1.17.(1)在正方形�O+A3B�C+中2，≠

C0B=∆OC≥=0OA=AB=2，又点D是BC的中点，∴CD=1，即D（1,2）.而点D（1,2）在上，∴.

��

�1

∴k=2.（2）（і）当0<x<1时，如图1，过点P作PE⊥x轴交CB于点Q，交x轴于点�E=，过点P2作=PR

⊥y轴于点R.∵点P坐标为（x，y），且由（1）题知，点P在函数的图像上.∵PR=OE=x，

2

�=��>0

PE=RO=y=.∴PQ=PE-EQ=.∵S=PRPQ=.综上，当0<x<1时，S=2-2x；当x>1时，

222

�2−�∙�2−�=2�−2

S=2x-2.18.提示：（1）当P在CA边上时，x=2，即从点C出发2秒时，；当点P运

1

△BCP=4△ABC

动在AB边上时，x=15.5，即从点C出发15.5秒时，.19（.1）（2）M（，），

1

△BCP=4△ABC23−230

直线AB解析式为.（3）△MOB是等腰三角形，且顶角∠MBO=120°.假设满足条件的点P

3

存在，只需∠�==1230°�+，2得P点坐标为（4，）.20.（1）当a=1时，

��2�.∵顶点A的坐标为（m，32m6+1）.∵P点坐标为（1,3），折直线AB的解析式是

2

y�==kx+�b−，把�点+A2，�P+的1坐标代入，得①-②得2m-3=(m-1)k.∵(若m=1，则A，

2�+1=��+�①

�≠1

B，P三点重合，不合题意)，∴k=2，b=13.∴=直�线+A�②B的解析式是y=2x+1，得的顶点B的坐标为（0,1）.

2

∵与关于点P成中心对称，∴抛物线的开口大小相同，方向相反，得的�解析式是.∵点

2

A，�2B关�1于点P（1,3）成中心对称，如图1所示，作PE⊥y轴于点E，作�2AF⊥y轴于点�=F，−则�△+B1PE∽

△BAF，∴AF=2PE，即m=2.（2）在Rt△ABF中，∵AB=，∴当△ABC为等腰三

22

角形时，只有以下两种情况：①如图2所示，若BC=AB=22，+则4OC==25<5=，得C点坐标

22

为（，）.∵C（，）在，∴a=.②如5图3所示，若𝐵AC−=B�C�，设1点9C坐标为（x，

21

19

0），作1A9D⊥0x轴于点D1.9在R0t△OByC=中−，��+1.在Rt△ADC中，，由

22222

，得x=7，得点C的坐标为�（�7,=0）�，∵+C1（7,0）在𝐵=上�，−2∴a=+2.综5上，�满+足1使=

221

�−2+25y=−��+149

△ABC是等腰三角形的a值有两个：，.

11

�1=19�2=49

21.a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b)，∴a+b+c是3的倍数.设a，b被3除后的余数分别为和，则，

，则，或者，.此时2a+5b必为3的倍数，即c为合数，矛盾.故，

������≠0

则，或者，此时a+2b必为3的倍数，从而a+b+C是9的倍数.∵2×11+5×5=47

��≠0