重庆八中2024-2025学年高三（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页重庆八中2024-2025学年高三（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈ZA.{0,1,3} B.{2.设z=a+bi(A.a≠0且b=0 B.a≠0且b≠03.已知直线l：3x+4y−16=0，点P为圆C：(A.1 B.2 C.3 D.44.已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1=A.47 B.53 C.57 D.645.如图所示，点O为正八边形的中心，已知|OA|=1，点P为线段BC，CDA.[1,2]

B.[2−

6.锐角△ABC中的角A，B，C满足6coA.π6 B.π4 C.π37.小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为14，不下雨的概率均为34，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为(

)A.316 B.15128 C.391288.如图所示，正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均为2，点P，M，N分别为棱AA1，AA.直线C1Q与直线CP始终异面

B.直线C1Q与直线CP可能垂直

C.直线C1Q与直线B二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=axA.f(x)=−x+1x+1 B.∀x∈10.已知点F1、F2分别为双曲线C：x24−yA.双曲线C与双曲线y22−x24=1有相同的渐近线

B.若|PF1|=2|PF2|，则△P11.已知数列{an}满足a1=0,ean+1=A.an+an+1≥ln2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若(x−1)6=a13.若直线y=kx+b是曲线f(x)=14.设A(x1,y1)，B(x2,y2)为平面上两点，定义d(A,四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，B1C⊥平面ABC且AC=BC=B16.(本小题15分)

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(b−3c)⋅sin(A+C)=(a−c)⋅(sinA+17.(本小题15分)

已知F1、F2是离心率e=32的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，B为椭圆C上一点，且BF1⋅BF2的最小值为−2．

(1)求椭圆C的方程；

18.(本小题17分)

信息熵是信息论中的一个重要概念，它刻画了随机试验结果的不确定性的大小.一般地，当信息熵越大时，不确定性越大.设随机试验A的所有可能结果为a1,a2,……,an(n∈N*)，且P(ai)=pi>0(i=1,2,⋯,n)，19.(本小题17分)

已知函数f(x)=lnx+a(x2−1)x2+bx+1．

(1)当a=−3，b=4，x>1答案和解析1.【答案】B

【解析】解：因为52x−1∈Z，

所以2x−1=1或2x−1=−1或2x−1=5或2x−1=−5，

解得x=1或x=0或x=2.【答案】C

【解析】解：z=a+bi(a,b∈R)，则z为纯虚数的充要条件是a=0b≠0，

因此3.【答案】A

【解析】解：根据题意，圆C：(x−2)2+y2=1，其圆心C(2,0)，半径r=1，

圆心C到直线l的距离d=|3×4.【答案】C

【解析】解：因为数列{an}满足a1=4，an+1=11−an，

所以a2=11−a1=11−4=−13，

a3=115.【答案】D

【解析】解：如图所示，点O为正八边形的中心，已知|OA|=1，点P为线段BC，CD上一动点，

由点O为正八边形的中心，可得|OA|=1，故AB=BC=1，∠AOB=360°÷8=45°，

取AB的中点T，连接OT，则OT⊥AB，∠AOT=∠BOT=22.5°，

利用二倍角的余弦公式可得sin22.5°=1−cos45°2=2−22，

在Rt△ATO中，可得AT=OAsin22.5°=2−22，AB=2AT=2−2，

6.【答案】C

【解析】解：因为6cosA+3tanB+3tanC=6cosAtanBtanC，

所以6cosA+3(sinBcosB+s7.【答案】C

【解析】解：假设每天上班和下班时下雨的概率均为14，不下雨的概率均为34，

且与过去情况相互独立．

“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有4次．

(1)4次均不下雨，概率为(34)4=81256；

(2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为2×14×(34)3=54256；

(3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况：

①同一天上下班均下雨；

②两天上班时下雨，下班时不下雨；

③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨，

概率为2×8.【答案】B

【解析】解：在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1/​/BB1且AA1=BB1，∴四边形AA1B1B为平行四边形，

∴AB//A1B1且AB=A1B1，

∵点M，N分别为棱AB，A1B1的中点，∴AM//A1N且AM=A1N，

∴四边形AA1NM为平行四边形，∴MN//AA1，

∵MN⊄平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1C1C，∴MN/​/平面AA1C1C，

∵C1，P，C，Q四点不共面，∴直线C1Q与CP始终异面，故A正确；

∵△ABC为等边三角形，M为AB的中点，∴CM⊥AB，

又∵AA1⊥平面ABC，∴MN⊥平面ABC，

如图，以M为坐标原点，MB、MC、MN的方向分别为x、y、z轴，建系如图：

则M(9.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=ax+1x+1的图象关于直线y=x对称，

对于A，f(0)=1，故点(0,1)在函数y=f(x)的图象上，

由f(x)的图象关于直线y=x对称，则(1,0)也在函数y=f(x)的图象上，

故f(1)=a+12=0，得a=−1，f(x)=−x+1x+110.【答案】AB【解析】解：对于选项A：双曲线y22−x24=1，a′=2，b′=2，故渐近线方程为y=±a′b′x，即y=±22x，

双曲线C：x24−y22=1，则a=2，b=2，故渐近线方程为y=±bax，即y=±22x，

A选项正确；

对于选项B：由题意得，c=a2+b2=6，|F1F2|=26，

由双曲线的定义得，||PF1|−|PF2||=11.【答案】AC【解析】解：数列{an}满足a1=0,ean+1=1ean+1(n∈N*)，前n项和为Sn，

对于A：令bn=ean，即an=lnbn，

则bn+1=1+1bn，由a1=0，b1=1，

所以bn+1∈(1,2]，bn∈[1,2]，bn+1bn=1+bn∈[2,3]，

所以an+an+1=lnbn+lnbn+1=lnbnbn+1=ln(1+bn)∈[ln2,ln3]，故A正确；

对于B12.【答案】−20【解析】解：二项式展开式的通项公式为Tk+1=C6kx6−k(−1)k(k=0,13.【答案】2

【解析】解：因为f(x)=ex−1，g(x)=ex−2，

所以f′(x)=ex−1，g′(x)=ex，

设f(x)=ex−1上点A(x0,ex0−1)处的切线和g(x)=ex−2在点B(x14.【答案】154【解析】解：联立x2=12yy=2(x−4)，消去y并整理得x2−x+4=0，

此时Δ=(−1)2−16<0，

所以直线l与抛物线C无交点，

因为点P为抛物线C上一动点，点Q是直线l：y=2(x−4)上一动点，

过点P作PN/​/x轴交l于点N，过点Q作QE⊥PN交PN于点E，

刺死d(P,Q)=|PE|+|EQ|≥|P15.【答案】证明见解析；

358【解析】解：(1)证明：取A1B1的中点M，连接ME，AM，

在三棱柱ABC−A1B1C1，AA1/​/CC1且AA1=CC1，

∴四边形AA1C1C为平行四边形，

∴AC/​/A1C1且AC=A1C1，

∵D，E分别为AC，B1C1的中点，

∴ME//A1C1且ME=12A1C1，AD//A1C1且AD=12A1C1，

∴ME/​/AD且ME=AD，

∴四边形ADEM为平行四边形，∴DE//AM，

∵DE⊄面ABB1A1，AM⊂面ABB1A1，

∴DE/​/平面ABB1A1．

(2)∵B1C⊥平面ABC，AC⊥CB，AC=16.【答案】A=π6；

【解析】解：(1)由(b−3c)⋅sin(A+C)=(a−c)⋅(sinA+sinC)，

即(b−3c)sinB=(a−c)(sinA+sinC)，

由正弦定理可得：(b−3c)⋅b=(a−c)⋅(a+c)，

整理可得：b2+c2−a2=3bc，

由余弦定理可得b2+c2−a2=2bccosA，

所以cosA=32，

因为0<A<π17.【答案】x24+y2=1；

【解析】解：(1)易知F1(−c,0)，F2(c,0)，

此时BF1⋅BF2=(BO+OF1)⋅(BO+OF2)

=(BO+OF1)⋅(BO−OF1)=|BO|2−c2≥b2−c2，

当且仅当B为短轴顶点时，等号成立，

因为BF1⋅BF2的最小值为−2，

所以b2−c2=−2，①

因为椭圆C的离心率e=32，

所以ca=32，②

又a2=b2+c2，③

联立①②③，

解得a=2，b=1，

则椭圆C的方程为x24+y2=1；

(2)(18.【答案】答案见解析；

证明见解析．

【解析】解：(1)设随机试验A的所有可能结果为a1,a2,……,an(n∈N*)，

且P(ai)=pi>0(i=1,2,⋯,n)，i=1npi=1，

定义随机试验A的信息熵H(A)=−i=1npilog2pi.：H(A)=−12log212−12log212=1，

设质地不均匀的硬币正面朝上的概率为p(0<p<1,p≠12)，

则H(B)=−plog2p−(1−p)log2(19.【答案】证明见解析；

(i)

{a|a【解析】解：(1)当a=−3，b=4时，f(x)=lnx−3(x2−1)x2+4x+1，

则f′(x)=1x−12(x2+x+1)(x2+4x+1)2=(x2+4x+1)2−12x(x