湖北省武汉市华大新高考联盟2025年高考数学模拟试卷（3月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北省武汉市华大新高考联盟2025年高考数学模拟试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−3,−2,0,2}，B={x|−1<x<4}，则A∩B的子集个数为(

)A.2 B.4 C.8 D.162.(1−5i)(4+3i)在复平面内所对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布N(100,16).现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在(96,112)和(92,108)的概率为(运算结果保留小数点后两位)(

)

参考数据：若X服从正态分布(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.9973A.0.57 B.0.75 C.0.80 D.0.844.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中acosB+bcosA=3ctanC，若c=10，则△ABC外接圆的面积为(

)A.16π B.25π C.36π D.49π5.如图，已知在四面体ABCD中，△BCD为等边三角形，AB=3，△BCD的面积为3，点A在平面BCD上的投影为点B，点M，N分别为AC，CD的中点，则(

)A.MN与BD相交

B.MN与AD异面

C.BM⊥AN

D.DM⊥BN6.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，159=2×82+3×8+7，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的719A.3 B.4 C.5 D.77.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为4，侧棱长为2，点M在平面B1BCC1上(A.3−2 B.23−8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|>|PFA.y=±x B.y=±2x C.y=±二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A(π6,0),B(2π3A.f(x)的最小正周期为π

B.f(0)≠f(11π6)

C.f(x)在[π,3π2]上单调递减

D.10.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)A.y=|f(x)|的图象关于直线x=2对称 B.g(0)=0

C.ab<0 D.f(0)+f(4)=611.19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，用标准差表达并论证了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件|X−μ|<ɛ做出估计.切比雪夫不等式定义为：若随机变量X具有数学期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，则对任意正数ɛ，不等式P(|X−μ|<ε)≥1−σ2ϵ作物类别数量作物平均高度/cm作物高度的方差雄性作物5030256雌性作物5020361由本次的试种可知，该新型作物的高度受到环境、肥料等一系列因素的影响，每株作物成长到达标高度的概率为0.6，则下列说法正确的是(

)A.本次种植实验中被调研的所有作物的高度的平均值为25

B.本次种植实验中被调研的所有作物的高度的方差为313.5

C.为了保证下一次种植实验中至少有90%的作物的高度达到预定达标高度的频率大于0.3且小于0.9，则根据切比雪夫不等式可以估计下一次最少种植27株

D.经过几次实验之后，作物最终成长的高度到达24cm及以上的频率为0.8，若种植20000株此类作物，则作物存活16000株的概率最大三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M(2,y0)在抛物线C上，则13.已知在梯形ABCD中BC=2AD，若M为CD边上靠近C的三等分点，且BM=xAB+yAD14.已知m=99⋯912个9,n=66⋯6四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

为了了解某地25～40岁居民的工资情况，研究人员随机抽取了部分居民进行调查，所得数据统计如下表所示：工资超过3500工资不超过3500合计男性居民200180女性居民280240合计(1)完善上述表格并依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为工资的多少与居民的性别具有相关性？

(2)以频率估计概率，若在该地所有居民中随机抽取3人，求至少2人工资超过3500的概率．

附：χ2P(0.050.010.001k3.8416.63510.82816.(本小题15分)

已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn，且Sn+1+2=an+3n+Sn．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求满足an>3n+517.(本小题15分)

已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)在区间D上单调递增，则称f(x)为区间D上的凹函数；若f′(x)在区间D上单调递减，则称f(x)为区间D上的凸函数.已知函数f(x)=xex+λln(x+1)．

(1)若f(x)在[2,3]上为凹函数，求实数λ的取值范围；

(2)已知F(x)=f(x−1)，且F(x)在(1,+∞)18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(−1,32)，(12,−154)，过点A(1,0)的直线l与C交于M(x1,y1)，N(x2,y2)19.(本小题17分)

已知四棱锥S−ABCD的底面ABCD为平行四边形，SA=AB=SB，SB⊥AC，∠ABC=60°，BC=2，AB=1．

(1)求三棱锥S−ABC外接球的表面积．

(2)设T为线段SD上的点．

(i)若ST=13SD，求直线AC与平面BTC所成角的正弦值．

(ii)平面α过点B，T，且AC/​/平面α，探究：是否存在点T，使得平面SAD与平面α之间所成角的正切值为34，若存在，求出ST答案解析1.【答案】B

【解析】解：由题意，可得A∩B={0,2}，

则A∩B子集的个数为22=4个．

故选：B．

直接求得交集，进而可确定其子集的个数．2.【答案】D

【解析】解：由题意，(1−5i)(4+3i)=19−17i，

在复平面内所对应的点为(19,−17)，位于第四象限．

故选：D．

由复数的乘法运算，整理其为标准式，结合复数的几何意义，可得答案．

本题考查复数的几何意义，属于基础题．3.【答案】C

【解析】解：由题意得P(96<X<112)=P(μ−σ<X<μ+3σ)=0.84，

且P(92<X<108)=P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9545，

所以P=0.84×0.9545≈0.80．

故选：C．

由正态分布概率计算及相互独立事件的概率计算公式求解．

本题考查正态分布的性质以及相互独立事件概率的计算方法，属于基础题．4.【答案】B

【解析】解：由余弦定理得acosB+bcosA=a⋅a2+c2−b22ac+b⋅b2+c2−a22bc=c，

结合acosB+bcosA=3ctanC，可得c=3ctanC，所以tanC=13．

根据sin2C+cos2C=1tanC=sinCcosC=13，结合C∈(0,π)，解得sinC=5.【答案】C

【解析】解：MN与BD异面，故A错误；

MN/​/AD，故B错误；

以N为坐标原点，ND，NB所在的直线分别为x，y轴，过点N与AB平行的直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

因为△BCD为等边三角形，所以面积为12CD×32CD=3，所以CD=2，

BN=32CD=3，ND=1，

则N(0,0,0)，B(0,3,0)，D(1,0,0)，C(−1,0,0)，A(0,3,3)，所以M(−12,32,32)，

6.【答案】D

【解析】解：因为159=2×82+3×8+7，用八进制表示159这个数就是237，

所以719=(8−1)19=819−C191×818+C1927.【答案】D

【解析】解：由题意知，点M在以线段A1B为直径的球与平面B1BCC1的交线上，

如图，取A1B的中点D，过点D作DE⊥平面B1BCC1，垂足为E，

∵正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为4，

∴A1到平面B1BCC1的距离为23，则DE=3，

又侧棱长为8.【答案】B

【解析】解：设P(xp,yp)，依题意可设PQ+3OQ=λF1F2，所以a−yp+3a=0，则yp=4a，

故SΔPF1F2=12×2c×4a=12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)a，又|PF1|−|PF2|=2a，

9.【答案】AD

【解析】解：根据函数的图象，可得周期T满足|AB|=T2=2π3−π6=π2，解得T=π，A正确；

由T=2πω=π，得ω=2，故f(x)=2cos(2x+φ)，

由“五点作图法”得：2×π6+φ=π2，解得φ=π6，

故f(x)=2cos(2x+π6)⇒f(0)=2cosπ6=3，f(11π6)=2cos23π6=2cos(4π−π6)=2cosπ6=f(0)，B错误；

当x∈[π,3π2]时，2x+π6∈[13π6,19π6]，故10.【答案】BCD

【解析】解：A选项，令f(x)=(x−2)3+3，则g(x)=|f(x+2)−3|=|x3|，满足g(x)为偶函数，

但y=|f(x)|的图象如下，不关于直线x=2对称，A错误；

BD选项，g(x)=|f(x+2)−3|为偶函数，故q(x)=f(x+2)−3为奇函数，

即q(−x)=−q(x)，即f(−x+2)−3=−f(x+2)+3，

故f(−x+2)+f(x+2)=6，故点(2,3)为曲线y=f(x)的对称中心，

故f(2)=3，则g(0)=|f(2)−3|=0，f(0)+f(4)=2f(2)=6，故B，D正确；

C选项，由题意得f′(x)=3ax2+2bx+c，令ℎ(x)=f′(x)，则ℎ′(x)=6ax+2b，

由于曲线y=f(x)的对称中心为(2,3)，

结合三次函数的图象特征可知，ℎ′(2)=12a+2b=0，则b=−6a，又a≠0，故ab<0，故C正确．

故选：BCD．

A选项，举出例子f(x)=(x−2)3+3，画出y=|f(x)|的图象，得到其不关于直线x=2对称；BD选项，q(x)=f(x+2)−3为奇函数，得到g(0)=0，f(0)+f(4)=2f(2)=6，BD正确；C11.【答案】ACD

【解析】解：所有作物的高度的平均值为1100×(50×30+50×20)=25，故A正确；

所有作物的高度的方差为1100×{50×[256+(30−25)2]+50×[361+(20−25)2]}=333.5，故B错误；

设作物高度达到预定达标高度的数量为X，依题意知X～B(n,0.6)，

则E(X)=0.6n，D(X)=n×0.6×(1−0.6)=0.24n，

若0.3n<X<0.9n，则−0.3n<X−0.6n<0.3n，

由切比雪夫不等式可得P(|X−μ|<ε)=P(|X−0.6n|<0.3n)≥1−σ2ϵ2=1−0.24n(0.3n)2≥0.9，又n>0，

解得n≥803，即最少种植27株，故C正确；

设存活m株的概率最大，X～B(20000,0.8)，

则P(X=m)=c20000m×0.8m×0.220000−m=20000!(20000−m)!m!×0.8m×0.220000−m，

12.【答案】2【解析】解：抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M(2,y0)在抛物线C上，可得y0=±4，

|MO|=22+(±4)213.【答案】43【解析】解：如图所示：

因为在梯形ABCD中，BC=2AD，

若M为CD边上靠近C的三等分点，

所以CM=13CD=13(CB+BA+AD)

=13(−2AD−AB+AD)=−114.【答案】3333

【解析】解：用(x,y)表示正整数x，y的最大公约数，

则(99⋯912个,66⋯68个6)=(99⋯912个,33⋯38个3)=3(33⋯31215.【答案】列表见解析，不能；

18563375．【解析】解：(1)完善表格如下表所示：工资超过3500工资不超过3500合计男性居民200180380女性居民280240520合计480420900零假设：依据小概率值α=0.05的独立性检验，不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性，

则χ2=900×(200×240−180×280)2380×520×480×420≈0.13<3.841，

故依据小概率值α=0.05的独立性检验，假设成立，不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性；

(2)记至少2人工资超过3500为事件A，

则P(A)=C316.【答案】an=32n2−72【解析】解：(1)数列{an}的首项为2，前n项和为Sn，且Sn+1+2=an+3n+Sn，

可得Sn+1−Sn=an+3n−2，即有an+1−an=3n−2，

则n≥2时，an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+...+(an−an−1)=2+1+4+...+(3n−5)=2+12(n−1)(1+3n−5)=32n2−72n+4，

上式对n=1也成立，

17.【答案】(−∞,0]；

(−1,0)．

【解析】解：(1)f′(x)=1−xex+λx+1=m(x)，

则m′(x)=x−2ex−λ(x+1)2，

依题意知，m′(x)≥0对任意的x∈[2,3]恒成立，则(x+1)2(x−2)ex≥λ恒成立，

令n(x)=(x+1)2(x−2)ex=x3−3x−2ex，x∈[2,3]，

则n′(x)=1ex(−x3+3x2+3x−1)=x+1ex(−x2+4x−1)>0，

故n(x)在[2,3]上单调递增，故n(2)=0≥λ，

则实数λ的取值范围为(−∞,0]；

(2)依题意得，F(x)=f(x−1)=x−1ex−1+λlnx，

若λ≥0，当x>1时，x−1ex−1>0，lnx>0，

所以F(x)>0，F(x)在(1,+∞)上无零点，舍去；

若λ<0，则F′(x)=λex−1−x2+2xxex−1，令g(x)=λex−1−x2+2x，

则g′(x)=λex−1−2(x−1)<0，则g(x)在(1,+∞)上单调递减，且g(1)=λ+1，

①若λ+1>0，即−1<λ<0，此时g(2)=λe<0，

则存在m∈(1,2)，使得g(m)=0，即F′(m)=0，

故F(x)18.【答案】x24+y2=1；

【解析】解：(1)因为椭圆C过点(−1,32)，(12,−154)，则1a2+34b2=114a2+1516b2=1，

解得a2=4b2=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1．

(2)直线l的斜率为12，则直线l的方程为y=12(x−1)，

联立x24+y2=1y=12(x−1)，消去y并整理得2x2−2x−3=0，

故x1+x2=1,x1x2=−32，

故|MN|=1+k2|x1−x2|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2=1+14⋅1+6=352．

(3)因为四边形MAPM′为等腰梯形，则必有∠NAP=∠NPA，即|NA|=|NP|．

不妨设点P的坐标为