广东省深圳高级中学高中园2025年高考数学二模试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省深圳高级中学高中园2025年高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|2x−3<0}，B={x|log2x<12A.{x|x<32} B.{x|x<2}2.已知复数z=a+i(a∈R)，若z+z−=4，则复数z的共轭复数zA.2+i B.2−i C.3.已知向量a=(2,1),b=(x,2)，若(a−2A.1±222 B.4 C.14.已知高为4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的4倍，则该圆台的表面积为(

)A.57π B.50π C.25π D.42π5.奇函数f(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)的单调减区间可以是(

)A.[−π4,π4] B.[−6.若a=log318，b=ln(2e2)，c=eln10A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.b<c<a7.随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高.据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为(

)A.0.2 B.0.5 C.0.6 D.0.88.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、A.2 B.3 C.2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题是真命题的是(

)A.若α⊥γ，β⊥γ，则α//β

B.若m⊥α，n//α，则m⊥n

C.若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n

D.若m//α，m//β，α∩β=n，则m//n10.随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，且X～N(3,1)，Y～B(6,12)，则A.E(X)=E(Y) B.D(X)=D(Y)

C.P(X≤1)=P(X≥5) D.P(Y≤3)>P(X≥4)11.设函数f(x)的定义域为R，f(x−1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈(−1,1]时，f(x)=−x2+1，则下列结论正确的是A.f(72)=−34 B.f(x+7)为奇函数

C.f(x)在(6,8)上为减函数 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知2cos(π4+θ)=cos(π13.已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2−14.设函数f(x)=2x3+ax2+bx，若f(x)的图象过点P(1,3)，且曲线y=f(x)在(0,0)处的切线也过点P四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BD=5，∠CBD=60°．

(1)若sin∠BCD=14，求CD的长；

(2)若AD=2，求16.(本小题15分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形，D为AC的中点，AA1=3，侧面ACC1A1⊥底面ABC．

(Ⅰ)证明：17.(本小题15分)

已知点E(−22,0)，F(22,0)，A(2,−1)，直线EM，FM相交于点M，且它们的斜率之积是−14．

(1)求动点M的轨迹方程Ω；

(2)直线l与曲线Q交于P，Q两点，直线AP，AQ18.(本小题17分)

已知函数f(x)=2ex+aex−(a−2)x−4(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若19.(本小题17分)

北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为12；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为34和14.已知居民第一天选择路线A的概率为13，选择路线B的概率为23．

(1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望；

(2)若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为Pn；

(i)请写出Pn+1与Pn(n∈N答案解析1.【答案】C

【解析】解：A={x|2x−3<0}=(−∞,1.5)，

B={x|log2x<12}=(0,2)，

故A∩B=(0,1.5)，

故选：C2.【答案】B

【解析】解：∵z=a+i，

∴z+z−=2a=4，得a=2．

∴复数z的共轭复数z−=2−i．

故选：B．

由已知可得z+z−=2a=4，得3.【答案】B

【解析】解：向量a=(2,1),b=(x,2)，

则a−2b=(2−2x,−3)，

又(a−2b)//b，

所以2(2−2x)=−3x4.【答案】D

【解析】解：依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆，

等腰梯形ABCD为圆台轴截面，其内切圆O与梯形ABCD切于点O1，E，O2，F，

其中O1，O2分别为上、下底面圆心，如图，

高为4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的4倍，

设圆台上底半径为r，则下底半径为4r，BC=BE+CE=O2B+O1C=5r，

而等腰梯形ABCD的高O1O2=4，因此(5r)25.【答案】A

【解析】解：f(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)为奇函数，

即f(−x)=2cos(−2x+φ)=−2cos(2x+φ)=f(x)，

⇔cos(2x−φ)=−cos(2x+φ)⇔cos(2x−φ)+cos(2x+φ)=2cos2xcosφ=0对所有x均成立，

所以cosφ=0，又0<φ<π，故φ=π2．

f(x)=2cos(2x+π2)=−2sin(2x)．

令2kπ−π2≤2x≤π2+2kπ(k∈Z)，

解得：6.【答案】B

【解析】解：a=log318=2+log32<3，

b=ln(2e2)=2+ln2<3，

c=eln102=eln10=10>3，

又y=log2x在(0,+∞)上单调递增，e<3，7.【答案】D

【解析】解：令事件A：经过的列车为和谐号；事件B，经过的列车为复兴号；事件C，列车未正点到达，

则P(A)=23,P(B)=13,P(C|A)=0.02,P(C|B)=0.01，

于是P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=23×0.02+13×0.01=0.058.【答案】B

【解析】解：双曲线的右焦点为F(c,0)，渐近线方程为bx±ay=0，

OB⋅BF=0，则有OB⊥BF，F到渐近线的距离BF=bca2+b2=bcc=b，

|OF|=c，|BF|=b，∴|OB|=a，|AB|=2|BF|=2b，

则tan∠AOB=2ba，tan∠FOB=ba，tan2∠FOB=2⋅ba1−(ba)2，

由∠AOB=π−2∠FOB，有tan9.【答案】BCD

【解析】解：m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，

对于A，若α⊥γ，β⊥γ，则α/​/β或α与β相交，故A错误；

对于B，由n/​/α，m⊥α，可知m⊥n，故B正确；

对于C，m⊥α，n⊥β，不妨设m，n的方向向量m,n分别为α，β的法向量，

因为α⊥β，所以m⊥n，故m⊥n，故C正确；

对于D，由m/​/α，m⊂γ，α∩γ=l，则l/​/m，又l⊄β，m//β，

所以l/​/β，又l⊂α，α∩β=n，所以m//l，所以m/​/n，故D正确．

故选：BCD．

10.【答案】ACD

【解析】解：随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，且X～N(3,1)，Y～B(6,12)，

正态分布X～N(3,1)，其期望E(X)=3，D(X)=1，

由二项分布Y～B(6,12)，可得E(Y)=6×12=3，D(Y)=6×12×12=32，

所以E(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)，故A正确；B错误；

由于正态分布具有对称性，由X～N(3,1)，可得P(X≤1)=P(X≥5)，故C正确；

对于Y～B(6,12)，

可得P(Y≤3)=C60(111.【答案】ABD

【解析】【分析】解：∵f(x−1)为奇函数，∴f(−x−1)=−f(x−1)，即f(−x)=−f(x−2)，则函数关于(−1,0)对称，

∵f(x+1)为偶函数，∴f(−x+1)=f(x+1)，即为f(−x)=f(x+2)，则函数关于x=1对称，

则f(x+2)=−f(x−2)，

当x=0时，由f(−x−1)=−f(x−1)，得f(−1)=−f(−1)，得f(−1)=0，

得f(x+4)=−f(x)，即f(x+8)=f(x)，同时f(x)=−f(x−4)，

即f(x)是周期为8的周期函数，

则f(72)=f(72−8)=f(−92)=−f(−92+4)=−f(−12)=−[1−(−12)2]=−34，故A正确，

f(x+7)=f(x+7−8)=f(x−1)=−f(−x−1)=−f(−x−1+8)=−f(−x+7)，则f(x+7)是奇函数，故B正确，

∵函数的周期是8，∴f(x)在(6,8)的单调性和(−2,0)的单调性相同，

由图象知，f(x)在(−2,0)上为增函数，则f(x)在(6,8)上增函数，故C错误，

由f(x)+lgx=0得【解答】

本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件判断函数的周期性，利用函数与方程的关系进行转化是解决本题的关键，是中档题．

根据函数的奇偶性，判断函数的对称性和周期性，作出函数的图像，利用函数奇偶性和周期性进行转化求解即可．12.【答案】13【解析】解：由2cos(π4+θ)=cos(π4−θ)，

可得2cosπ4cosθ−2sinπ4sinθ=cosπ413.【答案】916【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，

由a2−b2=a3−b3，得a1+d−2b1=a1+2d−4b1，则d=2b1，

由a2−b2=b4−a414.【答案】−2

【解析】解：因为f(x)=2x3+ax2+bx，所以f′(x)=6x2+2ax+b，

又f(x)的图象过点P(1,3)，

所以3=2+a+b，所以a+b=1，

又曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为y=bx，且其过点P(1,3)，

所以b=3，所以a=−215.【答案】解：(1)在△BCD中，BD=5，∠CBD=60°，sin∠BCD=14，

由正弦定理得BDsin∠BCD=CDsin∠CBD，

则CD=103；

(2)因为AD//BC，所以∠ADB=∠CBD=60°，

在△ABD中，AD=2，BD=5，【解析】(1)在△BCD中，由正弦定理可得CD的值；

(2)在△ABD中，由余弦定理可得AB的值，再由余弦定理可得cos∠ABD的值．

16.【答案】解：(Ⅰ)证明：等边三角形ABC中，D为AC中点，∴BD⊥AC，

∵侧面ACC1A1⊥底面ABC，侧面ACC1A1∩底面ABC=AC，

又BD⊂平面ABC，∴BD⊥平面ACC1A1，

又A1C⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1C.

(Ⅱ)在△A1AD中，AA1=3,2AD=AC=2,A1D=22，

∴AA12=AD2+A1D2，

∴A1D⊥AD．

由(Ⅰ)知，BD⊥AC，BD⊥平面ACC1A1，

又A1D⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1D，

∴DB，DC，DA1两两垂直，

以DB，DC，DA1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，

则A1(0,0,22),B(3,0,0),C(0,1,0),A(0,−1,0),B1(3【解析】(Ⅰ)利用面面垂直求证BD⊥平面ACC1A1即可；

(Ⅱ17.【答案】x28+y22【解析】解：(1)已知点E(−22,0)，F(22,0)，A(2,−1)，直线EM，FM相交于点M，设M(x,y)，由题意有：kEMkFM=yx+22⋅yx−22=y2x2−8=−14，

化简得：x28+y22=1，又x≠±22，

则所求动点M的轨迹方程Ω为：x28+y22=1(x≠±22)；

(2)直线l与曲线Q交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，且∠PAQ=π2，如图：

设直线AP的倾斜角为α,α∈(0,π2)，由∠PAQ=π2，得2α+∠PAQ=π，

解得α=π4，故kAP=1，kAQ=−1，即AP：y=x−3，AQ：y=−x+1，

联立y=x−3x28+y22=1，解得18.【答案】解：(1)定义域为R，由题意得f′(x)=(2ex−a)(ex+1)ex，

当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在R上单调递增；

当a>0时，由f(x)>0，得x>lna2，由f(x)<0，得x<lna2，

所以f(x)在(−∞,lna2)上单调递减，在(lna2,+∞)上单调递增；

综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞)，无单调递减区间，

当a>0时，f(x)的单调递减区间为(−∞,lna2)，单调递增区间为(lna2,+∞)；

(2)f′(x)=(2ex−a)(ex+1)ex，

由(1)知当a≤0时，f′(x)>0在(−∞,2)]上恒成立，所以f(x)在(−∞,2]上单调递增，

因为f(0)=a−2<0，f(2)=2e2+a(1e2−2)>0，

由零点存