陕西省西安市部分学校2025届高三下学期3月模考数学试题（原卷版+解析版）

高三数学考试注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题果上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题本题共8小薄，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知纯虚数，则（）A.3 B.4 C.5 D.63.我国文化体育事业蓬勃发展，正从体育大国向体育强国的目标持续迈进.中国代表队在历届夏季奥运会获得的金牌数依次为15，5，16，16，28，32，48，39，26，38，40，则这11届夏季奥运会中国代表队获得的金牌数的第40百分位数为（）A16 B.26 C.28 D.324.已知命题；命题，则（）A.p和都是真命题 B.和都是真命题C.p和q都是真命题 D.和q都是真命题5.圆与圆的位置关系是（）A.内切 B.外离 C.外切 D.内含6.已知过抛物线的焦点的直线与交于两点，若，则点的横坐标为（）A.2 B.4 C.5 D.67.已知，函数的最小正周期为，若，且的图象关于直线对称，则（）A. B. C. D.8.已知函数，若函数的四个零点从小到大排列依次为，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数满足：对任意，都有，且当时，．设，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.10.设双曲线的左、右焦点分别为，下列说法正确的是（）A.若C渐近线的斜率为，则C的离心率为B.若C渐近线方程为，且点在C上，则C.过的直线与C的右支相交于A，B两点，若，则C的离心率为D.若C的左、右顶点分别为M，N，P是异于M，N的一点，则直线的斜率之积为11.已知长方体内有一小球，小球与平面、平面、平面均相切，为小球上一点，点到平面ABD的距离和点到平面的距离均为，点到平面的距离为，则小球的半径为（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，且，则_________.13.已知正四棱锥的底面边长为6，体积为48，则该四棱锥的侧面积为_________.14.若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）当时，求的图象在点处的切线方程；（2）若在上是减函数，求a的取值范围．16.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知R是该三角形外接圆的半径，且．（1）求角C；（2）若的面积为S，求的取值范围．17.某商场举行促销活动，顾客凡是购买一袋指定的大米都可以抽一次奖，一袋大米的价格为元，每次抽奖只抽张奖券，每张奖券上有个不同的号码，每个号码只能是未中奖或中奖一次，从回收的张奖券中，记录并整理这些奖券的情况，获得数据如下表：中奖次数张数当一张奖券中中奖号码不大于个时，兑换金额是每个中奖号码元；当中奖号码是个时，兑换金额是每个中奖号码元；当中奖号码是个时，兑换金额是每个中奖号码元．假设不同奖券的中奖情况是相互独立的，用频率估计概率．（1）估计一张奖券的中奖号码个数不少于的概率．（2）假设一袋米的进价为元，一张奖券的毛利润定义为一袋大米的利润与一张奖券中奖金额之差．（i）记为一张奖券的毛利润（单位：元），估计的数学期望；（ii）若没中奖的大米售价减少，中奖的大米售价增加，在这种情况下，一张奖券毛利润的数学期望估计值不小于（i）中的估计值，求的最小值．18.如图，在五面体中，菱形的边长为，，.（1）证明：且.（2）求五面体体积的最大值.（3）当五面体的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.19.在平面直角坐标系中，对于曲线C上任意一点，总存在点满足关系式（），则曲线C变换为曲线，称为平面直角坐标系中的伸缩变换，记为．已知曲线经过伸缩变换后得到曲线．（1）求曲线方程．（2）已知过点的直线与曲线交于点（点在轴上方），曲线与轴的左、右两个交点分别为，设直线的斜率分别为．（i）是否存在常数t，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（ii）若直线与交于点，试求点的轨迹方程．

高三数学考试注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题果上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题本题共8小薄，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】解不等式求得集合，进而求得.【详解】，所以，所以.故选：D2.已知是纯虚数，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】先化简复数，应用复数是纯虚数得出，再应用模长公式计算求解.【详解】因为是纯虚数，所以且不等于3，所以，则.故选：C.3.我国文化体育事业蓬勃发展，正从体育大国向体育强国的目标持续迈进.中国代表队在历届夏季奥运会获得的金牌数依次为15，5，16，16，28，32，48，39，26，38，40，则这11届夏季奥运会中国代表队获得的金牌数的第40百分位数为（）A.16 B.26 C.28 D.32【答案】B【解析】【分析】由百分位数的计算公式即可求解.【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列为5，15，16，16，26，28，32，38，39，40，48.因为，所以这11届夏季奥运会中国代表队获得的金牌数的第40百分位数是第五个数26.故选：B4.已知命题；命题，则（）A.p和都是真命题 B.和都是真命题C.p和q都是真命题 D.和q都是真命题【答案】C【解析】【分析】利用特殊值判断的真假，利用基本不等式及正弦函数的最大值判断.【详解】当时，成立，所以真命题；因为，当且仅当，即时等号成立，而，所以为真命题,所以都是假命题.故选：C5.圆与圆的位置关系是（）A.内切 B.外离 C.外切 D.内含【答案】A【解析】【分析】先写出圆的圆心及半径，再根据圆心间距离和半径的关系判断圆与圆的位置关系.【详解】圆O与圆M的半径分别为1，4，圆心坐标分别为，则，故圆O与圆M的位置关系是内切.故选：A.6.已知过抛物线焦点的直线与交于两点，若，则点的横坐标为（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根据题意设直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理得到，再根据得到，可求出，代入抛物线方程即可求解.【详解】由题意，焦点，设直线，联立可得，设，则，因为，即，所以，即，所以，解得，则.所以，点的横坐标为4.故选：B.7.已知，函数的最小正周期为，若，且的图象关于直线对称，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由及的图象关于直线对称得出，即可求解．【详解】由，得，解得，因为的图象关于直线对称，所以，即，所以，则，故选：A．8.已知函数，若函数的四个零点从小到大排列依次为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】条件可转化为以函数的图象与函数的图象有四个交点，作函数的图象，观察图象可得，，结合条件及对勾函数性质求的范围可得结论.【详解】因为函数有四个零点，所以方程有四个根，所以方程有四个根，所以函数的图象与函数的图象有四个交点，作函数的图象可得观察图象可得，，且，所以，所以，所以，故，令可得，，故，所以，所以，因为函数在上单调递减，所以，即，又，所以，所以的取值范围为，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数满足：对任意，都有，且当时，．设，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】利用对数的运算法则可得A，再逐个计算至可判断BCD选项.【详解】因，则，故A正确；因，，且，则，，，同理可得，，，，，，，故，故B正确，C正确；，故D错误；故选：ABC.10.设双曲线的左、右焦点分别为，下列说法正确的是（）A.若C的渐近线的斜率为，则C的离心率为B.若C的渐近线方程为，且点在C上，则C.过的直线与C的右支相交于A，B两点，若，则C的离心率为D.若C的左、右顶点分别为M，N，P是异于M，N的一点，则直线的斜率之积为【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的渐近线斜率公式即可判断A；由双曲线渐近线方程及求得双曲线方程即可判断B；由双曲线的定义及勾股定理得出齐次式即可判断C；设，由斜率公式及双曲线方程即可判断D．【详解】对于A，由C的渐近线方程为，则，所以C的离心率为，故A正确；对于B，由C的渐近线方程为，设，又点在C上，所以，即，所以，故B错误；对于C，过点的直线与的右支相交于两点，不妨设，若，则，由勾股定理得，解得，故，在直角三角形中，由勾股定理得，即，所以，故C正确；对于D，设，则，即，又，所以，故D正确；故选：ACD．11.已知长方体内有一小球，小球与平面、平面、平面均相切，为小球上一点，点到平面ABD的距离和点到平面的距离均为，点到平面的距离为，则小球的半径为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出点和球心的坐标，利用空间中两点间距离公式得到关于半径的方程，求解即可.【详解】如图，以点坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.由题意，点的坐标为，设小球的半径为，则球心，则，整理可得，即，解得或.所以，小球的半径为或.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，且，则_________.【答案】【解析】【分析】利用向量平行的坐标运算即可.【详解】由已知条件可得，得.故答案为：13.已知正四棱锥的底面边长为6，体积为48，则该四棱锥的侧面积为_________.【答案】60【解析】【分析】由体积公式求出高，再由勾股定理求出斜高，然后可得侧面积.【详解】设正四棱锥的边长为，高为，斜高为，由题意可得，所以斜高，所以该四棱锥的侧面积为.故答案为：60.14.若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为_________.【答案】【解析】【分析】设与直线平行的直线与曲线相切于点，由导数的几何意义结合题意求出切点坐标，再由点到直线的距离公式计算即可.【详解】由得，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，且，则作出和图像如图：则曲线上任意一点M到直线最小距离，即为斜率为3的切线的切点到直线的距离；设与直线平行的直线与曲线相切于点，因为，所以，即，解得或（舍去），所以，即切点为，所以切点到直线的距离为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）当时，求的图象在点处的切线方程；（2）若在上是减函数，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求，则切线方程为即可求解；（2）先求，由即可求解.【小问1详解】当时，，所以，，，所以，即，所以切线方程为；【小问2详解】因为，由在上是减函数，所以在上恒成立，所以，所以或，所以16.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知R是该三角形外接圆的半径，且．（1）求角C；（2）若的面积为S，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得.（2）将转化为角的形式，由此求得取值范围.【小问1详解】依题意，，，由正弦定理得，所以，，所以，所以为锐角，且.【小问2详解】，由于三角形是锐角三角形，所以，所以，所以，所以的取值范围是.17.某商场举行促销活动，顾客凡是购买一袋指定的大米都可以抽一次奖，一袋大米的价格为元，每次抽奖只抽张奖券，每张奖券上有个不同的号码，每个号码只能是未中奖或中奖一次，从回收的张奖券中，记录并整理这些奖券的情况，获得数据如下表：中奖次数张数当一张奖券中中奖号码不大于个时，兑换金额是每个中奖号码元；当中奖号码是个时，兑换金额是每个中奖号码元；当中奖号码是个时，兑换金额是每个中奖号码元．假设不同奖券的中奖情况是相互独立的，用频率估计概率．（1）估计一张奖券的中奖号码个数不少于的概率．（2）假设一袋米的进价为元，一张奖券的毛利润定义为一袋大米的利润与一张奖券中奖金额之差．（i）记为一张奖券的毛利润（单位：元），估计的数学期望；（ii）若没中奖的大米售价减少，中奖的大米售价增加，在这种情况下，一张奖券毛利润的数学期望估计值不小于（i）中的估计值，求的最小值．【答案】（1）（2）（i）；（ii）的最小值为.【解析】【分析】（1）由已知数据求出回收的奖券中一张奖券的中奖号码个数不少于的频率，再根据频率与概率的关系求结论；（2）（i）由条件确定随机变量的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得的分布列，再求的数学期望，（ii）由条件再求随机变量的分布列及其期望，列不等式求的最小值.【小问1详解】由已知回收的张奖券中中奖号码个数不少于的奖券的数量为，所以回收的张奖券中一张奖券的中奖号码个数不少于的频率为，所以估计一张奖券的中奖号码个数不少于的概率，【小问2详解】（i）由已知的可能取值有，，，，，且，，，，，所以随机变量的分布列为所以随机变量的数学期望，（ii）随机变量的可能取值有，，，，，且，，，，，所以随机变量的分布列为所以随机变量的数学期望，由已知，所以，所以，所以，所以的最小值为.18.如图，在五面体中，菱形的边长为，，.（1）证明：且.（2）求五面体体积的最大值.（3）当五面体的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知证得平面，即可证得；取的中点，的中点，连接，，，可得，进而得平面，则，即可证得；（2）分别作，，垂足分别为，，连接，，，，由已知和（1）中结论，可得，设，可得五面体的体积为，利用导数求出其最大值即可；（3）（方法一）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算分别求出平面和平面的一个法向量，利用公式即可求得两个平面夹角的余弦值.（方法二）过点作于，过点作于，连接，可得平面，则，可得平面，则，则为平面与平面的夹角，在中，由三角函数定义求出，进而求得其余弦值.【小问1详解】在菱形中，，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以.取的中点，的中点，连接，，，则，所以，故，，，四点共面，因为，，所以，，即，因为四边形为梯形，所以与相交，所以平面，又平面，所以，而，所以.【小问2详解】分别作，，垂足分别为，，连接，，，，由（1）知，则，又，，平面，所以平面，同理平面.因为菱形的边长为，，为的中点，为的中点，，则，，又，所以四边形是等腰梯形，由对称性可知设，则，，所以，所以，，所以五面体的体积为，