初中数学自主招生难度讲义-7年级专题05数与形的第一次联姻（解析版）

专题5数与形的第一次联姻

阅读与思考

数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；

反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，

是一种重要的数学思想．

运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要

体现在一下几个方面：

1．利用数轴能形象地表示有理数；

2．利用数轴能直观地解释相反数；

3．利用数轴比较有理数的大小；

4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．

例题与求解

【例1】已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足

条件的点B与原点O的距离之和等于_____________．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

解题思路：确定A，B在数轴上的位置，求出A，B两点所表示的有理数．

【例2】在数轴上和有理数a,b,c对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：

①abc0，②abbcac，③(ab)(bc)(ca)0，④a1bc，其中，正确的结论

有（）个．

A．4B．3C．2D．1

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：从数轴上得到a10bc1，再对代数式进行逐以一判断．

【例3】如图所示，已知数轴上点A,B,C所对应的数a,b,c都不为0，且C是AB的中点．如

果aba2cb2cab2c0，试确定原点O的大致位置．

ab

解题思路：从化简等式入手，而c是解题的关键．

2

【例4】（1）阅读下面材料：

点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为AB．当A,B两点中有一点在原点

时，

当A、B两点都不在原点时，

①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；

②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如图4，点A、

B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；

综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是

______________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________________；

②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是______________，如果|AB|＝2，那么x为_________；

③当代数式|x＋1|十|x－2|取最小值时________，相应的x的取值范围是___________．

④求x1x2x3...x1997的最小值．

（江苏省南京市中考试题）

解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式ab所表示的意义，来回答所提出的具体问题．

【例5】某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑

15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，

三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？

（湖北省荆州市竞赛试题）

解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问

题转化为求的最小值．

yxa1xa2xan

【例6】如图，A是数轴上表示－30的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，

点A,B,C在数轴上同时向正方向运动．点A运动的速度是6个单位长度/秒，点B和点C运动的速度是

3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为t（秒）．

（1）当t为何值时，线段AC＝6（单位长度）？

（2）t≠5时，设线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，求2PM－PN＝2时

t的值．

（湖北省荆州市竞赛试题）

解题思路：（1）A,B,C三点在数轴上同时向正方向运动，分别当A点运动到C点左侧和右侧两

种情况来分析求解．

（2）先将P,M,N三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M始终在点N左侧，则分为“点P

在M,N左边”，“点P在M,N之间”，“点P在M,N右边”三种情况来求解．

能力训练

A级

1．已知数轴上表示负数有理数m的点是点M，那么在数轴上与点M相距m个单位的点中，与原点距

离较远的点对应的数是______________．

（江苏省竞赛试题）

2．如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A,B两点的距离为______________．

1

3．点A,B分别是数3，在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到A'B'的中点对应数3，

2

则点A'对应的数是________________，点A移动的距离是____________．

（“希望杯”邀请赛试题）

4．已知a0，b0且ab0，那么有理数a,b,a,b的大小关系是_________________________．（用

“＜”号连接）

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

1

5．在数轴上任取一条长度为1999的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（）．

9

A．1998B．1999C．2000D．2001

（重庆市竞赛试题）

6．如图，a,b为数轴上的两点表示的有理数，在ab,b2a,ab,ba中，负数的个数有（）

A．1B．2C．3D．4

（“祖冲之”邀请赛试题）

7．有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，式子ababbc化简结果为（）．

A．2a3bcB．3bcC．bcD．cb

8．如图所示，在数轴上有六个，且ABBCCDDEEF，则与点C所表示的数最接近的整数

是（）．

A．－1B．0C．1D．2

（“希望杯”邀请赛试题）

9．已知a,b,c,d为有理数，在数轴上的位置如图所示：

且6a6b3c4d6，求3a2d3b2a2bc的值．

．电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左挑一个单位到，第二步由向右跳个单位

10KoKoK1K12

到，第三步由向左跳个单位到，第四步由向右跳个单位到，…，按以上规律跳了

K2K23K3K34K4

步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是.．则电子跳蚤的初始位置点所表示的

100K1001994Ko

数是_________________．

11．如图，已知A,B分别为数轴上两点，A点对应的数为－20，B点对应的数为100．

（1）求过A,B中点M对应的数．

（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从

A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数．

（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A

点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数．

B级

1．有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示：

则化简abb1ac1c的结果为_____________________．

3

2．电影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墙进入“9站台”的镜头（如示意图中M站台），构

4

思奇妙，给观众留下深刻的印象．若A,B站台分别位于－2，－1处，AN2NB，则N站台用类似电

影里的方法称为“_________________站台”

（《时代学习报》数学文化节试题）

3．在数轴上，若N点与原点O的距离是N点与三〇若对应的点之间的距离的4倍，则N点表示的数

是_________________．

（河南省竞赛试题）

4．若a0,b0，则使xaxbab成立的x的取值范围是__________________．

（武汉市选拔赛试题）

5．如图，直线上有三个不同的点A,B,C，且ABBC，那么，到A,B,C三点距离的和最小的点为

（）．

A．B点外B．线段AC的中点C．线段AC外一点D．无穷多个

（“希望杯”邀请赛试题）

．点都在数轴上，点在原点的左边，且，点在点的右

6A1,A2,A3,,An(n为正整数)OA1O1A2A1

边，且，点在点的左边，且，点在点的右边，且，，依

A2A12A3A2A3A23A4A3A4A34

照上述规律，点所表示的数分别为（）．

A2008,A2009

A．2008，－2009B．－2008，2009C．1004，－1005D．1004，－1004

（福建省泉州市中考试题）

7．设yx1x1，则下列四个结论中正确的是（）．

A．y没有最小值B．只有一个x使y去最小值

C．有限个x（不止一个）使y去最小值D．有无穷多个x使y取最小值

（全国初中数学联赛试题）

8．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点A,B,C,D对应的数分别是整数a,b,c,d，

且b2a9，那么数轴的原点对应点是（）．

A．A点B．B点C．C点D．D点

（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题）

9．已知x21x9y51y，求xy的最大值和最小值．

（江苏省竞赛试题）

10．如图，在环形运输线路上有A,B,C,D,E,F六个仓库，现有某种货物的库存量分别是50吨、84吨、

80吨、70吨、55吨和45吨．要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只

能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小．求各仓库向其他仓库的调运量．

11．如图，数轴上标有2n1个点，它们对应的整数是n,(n1),,2,1,0,1,2,,n2,n1,n．为

了确保从这些点中可以取出2006个，使任何两个点之间的距离都不等于4．求n的最小值．

（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）

专题05数与形的第一次联姻

例112提示：点A表示数为3或－3，满足条件的点B共有4个．

例2B提示：由数轴知a＜－1＜0＜b＜c＜1．

∴abc＜0，故①正确；由绝对值的几何意义知②正确；a－b＜0，b－c＜0，c－a＞0，故（a－b）（b－

c）(c－a）＞0，③正确；|a|＞1，1－bc＜1，|a|＞1－bc，④不正确．

例3原点O在线段AC上．

例4①3，3，4②|x＋1|1或－3③－1≤x≤2④997002

例如图，用，，，，点顺时针排列依次表示一至五所小学，且顺次向邻校调给，，，

5ABCDEx1x2x3

，台电脑．依题意得：＋－＝＋－＝＋－＝＋－＝＋－＝

x4x57x1x211x2x33x3x414x4x515x5x1

．得＝－，＝－，＝－，＝－．本题要求＝||＋||＋||＋||

10x2x13x3x12x4x19x5x15yx1x2x3x4

＋||的最小值，依次代入，可得＝||＋|－|＋|－|＋|－|＋|－|．

x5yx1x13x12x19x15

由绝对值几何意义可知，当＝时，有最小值．此时有＝，＝，＝－，＝－．

x13y12x20x31x46x52

所以，一小向二小调出3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，这样

调动的电脑总台数最小为12台．

例6（1）A，B，C三点在数轴上同时向正方向运动．

当点A运动到点C左侧时，

∵线段AC＝6，∴6＋6t＝30＋18＋3t，解得t＝14．

当点A运动到点C右侧时，

∵线段AC－6，∴6t－6＝30＋18＋3t，解得t＝18．

综上可知，t为14或18时，线段AC＝6．

（2）当点A，B，C三个点在数轴上同时向正方向运动t秒后，点A，B，C在数轴上表示的数分别为：

6t－30，10＋3t，18＋3t．

（3）∵P，M，N分别为OA，OB，OC的中点．

6t30103t183t

∴P，M，N三个点在数轴上表示的数分别为：，，．且点M始终在点N左侧．

222

103t6t30183t6t30

①若点P在M，N左边，则PM＝－＝20－1．5t，PN＝－＝24－1．5t．

2222

∵2PM－PN＝2，∴2（20－1．5t）－（24－1．5t）＝2，

28

∴t＝．

3

6t30103t

②若点P在M，N之间，则PM＝－＝－20＋1．5t，

22

183t6t30

PN＝－＝24－1．5t．

22

∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（24－1．5t）＝2，

44

∴t＝．

3

6t30103t6t30183t

③若点P在M，N右边，则PM＝－＝－20＋1．5t，PN＝－＝－24＋1．5t．

2222

∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（－24＋1．5t）＝2，

∴t＝12．

但此时PM＝－20＋1．5t＜0，所以此情况不成立．

2844

综上可知，t＝或时符合题意．

33

A级

1．2m2．2或8

719151577

3.，提示：AB的长为2＝，A对应的数为3－＝，点A移动的距离为

44222244

19

－（－3）＝．

4

4．b＜－a＜a＜|b|5．C6．B7．C8．C9．5

．－．提示：设点表示的有理数为，则，，…，点所表示的有理数分别为

103006K0xK1K2K100x

－1，x－1＋2，x－1＋2－3，…，x－1＋2－3＋4－…－99＋100．由题意得x－1＋2－3＋4－…－

99＋100＝19．94．

20100120

11．（1）M点对应的数为＝40．（2）相遇时间为＝12秒，C点对应的数为100－12

264

×6＝28．（3）追击时间为60秒，D点对应的数为－260．

B级

1

1．－22．1

3

3．24或40．提示：设N点对应的数为x．根据绝对值的几何意义可知|x|＝4|x－30|．对x分情况讨论

得出x＝24或x＝40．

4.b≤x≤a5．A6．C7．D8．C

9．原式化为|x＋2|＋|1－x|＋|y－5|＋|1＋y|＝9．

∵|x＋2|＋|1－x|≥3，当－2≤x≤1时等号成立；

|y－5|＋|1＋y|≥6，当－1≤y≤5时等号成立．

∴x＋y的最大值＝1＋5＝6；x＋y的最小值＝－2－1＝－3．

1

10．调运后各仓库的存货量都相等，应为×（50＋84＋80＋70＋55＋45）＝64吨．

6

设库运往库吨，库运往库吨，库运往库吨，库运往库吨，库运往库

ABxBBCxCCDxDDExEEF

吨，库运往库吨，故有＋－＝＋－＝＋－＝＋－＝

xFFAxA:50xAxB84xBxC80xCxD70xDxE

＋－＝＋－＝．

55xExF45xFxA64

所以，＝－，＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝

xBxA14xCxB20xA6xDxC1