初中数学自主招生难度讲义-7年级专题19 最值问题

专题19最值问题

阅读与思考

在实际生活与生产中，人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，

就是求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题

的相关知识与基本方法有：

1、通过枚举选取.

2、利用完全平方式性质.

3、运用不等式（组）逼近求解.

4、借用几何中的不等量性质、定理等.

解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大（或更小），另一方面要举例说

明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子.

例题与求解

【例1】若c为正整数，且abc，bcd，dab，则（ab）（bc）（cd）（da）

的最小值是.

（北京市竞赛试题）

解题思路：条件中关于C的信息量最多，应突出C的作用，把a，b，d及待求式用c的代数式表示.

【例2】已知实数a，b满足a2b21，则a4abb4的最小值是（）

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A.B.0C.1D.

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(全国初中数学竞赛试题)

解题思路：对a4abb4进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题.

【例】如果正整数满足，求的最大值

3x1,x2,x3,x4,x5x1x2x3x4x5=x1x2x3x4x5x5.

解题思路：不妨设，由题中条件可知

x1x2x3x4x5

11111

=1.结合题意进行分析.

x2x3x4x5x1x3x4x5x1x2x4x5x1x2x3x5x1x2x3x4

【例4】已知x,y,z都为非负数，满足xyz1，x2y3z4，记w3x2yz，求w的

最大值与最小值.

（四川省竞赛试题）

解题思路：解题的关键是用含一个字母的代数式表示w.

【例5】某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000米的公路边栽立，要求沿公路的一边

向前每隔100米栽立电线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆4根，要求完成运送18根的

任务，并返回仓库，若工程车每行驶1千米耗油m升（在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，

其他因素不计）.每升汽油n元，求完成此项任务最低的耗油费用.

（湖北省竞赛试题）

解题思路：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送5次，而5次又有不同运送方

法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用.

【例6】直角三角形的两条直角边长分别为5和12，斜边长为13，P是三角形内或边界上的一点，P

到三边的距离分别为，，，求的最大值和最小值，并求当取最大值和

d1d2d3d1+d2+d3d1+d2+d3

最小值时，P点的位置.

（“创新杯”邀请赛试题）

解题思路：连接P点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解.

能力训练

A级

1.社a，b，c满足a2b2c29，那么代数式(ab)2(bc)2(ca)2的最大值是.

（全国初中数学联赛试题）

2.在满足x2y3,x0,y0的条件下，2xy能达到的最大值是.

（“希望杯”邀请赛试题）

3.已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C满足A＞B＞C.用表示A-B，B-C，以及90-A中的最小值，

则的最大值是.

（全国初中数学联赛试题）

c

4.已知有理数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=0，.那么的取值范围是.

a

（数学夏令营竞赛试题）

5.在式子x1x2x3x4中，代入不同的x值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的

值是（）.

A.1B.2C.3D.4

6.若a，b，c，d是整数，b是正整数，且满足bcd，dca，bac，那么abcd的最

大值是（）.

A.-1B.-5C.0D.1

(全国初中数学联赛试题)

7.已知xya,zy10,则代数式x2y2z2xyyzxz的最小值是（）.

A.75B.80C.100D.105

(江苏省竞赛试题)

8.已知x，y，z均为非负数，且满足xyz=30，3xyz50，又设M5x4y2Z，则M

的最小值与最大值分别为（）.

A.110，120B.120，130C.130，140D.140，150

x12yz3

9.已知非负实数x，y，z满足，记w3x4y5z.求w的最大值和最小值

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（“希望杯”邀请赛试题）

10.某童装厂现有甲种布料38米，乙钟布料26米，现计划用这两种布料生产L，M两种型号的童装共50

套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0