2025年内蒙古阿拉善高三下学期第三次质检考试数学试题含解析

2025年内蒙古阿拉善高三下学期第三次质检考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集为，集合，则（）A． B． C． D．2．已知集合，，则（）A． B．C． D．3．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（）A． B． C． D．4．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）A．月收入的极差为60 B．7月份的利润最大C．这12个月利润的中位数与众数均为30 D．这一年的总利润超过400万元5．已知复数满足，其中为虚数单位，则（）．A． B． C． D．6．已知是虚数单位，若，则（）A． B．2 C． D．107．已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．8．设函数，若函数有三个零点，则（）A．12 B．11 C．6 D．39．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为平行四边形外一点，且，，则（）A． B．C． D．10．若函数在时取得极值，则（）A． B． C． D．11．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．12．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为，则该几何体外接球的表面积为__________．14．能说明“若对于任意的都成立，则在上是减函数”为假命题的一个函数是________.15．设双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为45°的直线与双曲线的两条渐近线顺次交于，两点若，则的离心率为________．16．有以下四个命题：①在中，的充要条件是；②函数在区间上存在零点的充要条件是；③对于函数，若，则必不是奇函数；④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设都是正数，且，．求证：．18．（12分）如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为等边三角形，且点P在底面上的射影为的中点G，点E在线段上，且.（1）求证：平面.（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知函数.（1）若，解关于的不等式；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣asinB＝1．（1）求A；（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面积．21．（12分）已知函数f（x）ax﹣lnx（a∈R）.（1）若a＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x）1，若函数g（x）在上有两个零点，求实数a的取值范围.22．（10分）已知点，直线与抛物线交于不同两点、，直线、与抛物线的另一交点分别为两点、，连接，点关于直线的对称点为点，连接、．（1）证明：；（2）若的面积，求的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

对于集合,求得函数的定义域,再求得补集；对于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定义求解即可.【详解】,,.故选:D本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.2．A【解析】

根据对数性质可知，再根据集合的交集运算即可求解.【详解】∵，集合，∴由交集运算可得.故选：A.本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.3．B【解析】

由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有，所有的情况有种，由古典概型的概率公式即得解.【详解】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有，所有的情况有种由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：故选：B本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.4．D【解析】

直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由图可知月收入的极差为，故选项A正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误.故选：.本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.5．A【解析】

先化简求出，即可求得答案.【详解】因为，所以所以故选：A此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.6．C【解析】

根据复数模的性质计算即可.【详解】因为，所以，，故选：C本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.7．B【解析】

求出导函数，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围．【详解】，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在上只有一个极大值也是最大值，显然时，，时，，因此要使函数有两个零点，则，∴．故选：B．本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围．8．B【解析】

画出函数的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果．【详解】作出函数的图象如图所示，令，由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个，时有两个），所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根），由，可得的值分别为，则故选B．本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型.9．D【解析】

连接，根据题目，证明出四边形为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案【详解】连接，由，知，四边形为平行四边形，可得四边形为平行四边形，所以.本题考查向量的线性运算问题，属于基础题10．D【解析】

对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.【详解】因为，所以，又函数在时取得极值，所以，解得.故选D本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.11．D【解析】

根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程.【详解】如图所示：因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以渐近线方程为.故选：D.本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.12．A【解析】

计算，得到答案.【详解】根据题意，故，表示的复数在第一象限.故选：.本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】三视图还原如下图：，由于每个面是直角，显然外接球球心O在AC的中点.所以，，填。【点睛】三视图还原，当出现三个尖点在一个位置时，我们常用“揪尖法”。外接球球心到各个顶点的距离相等，而直角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等，所以本题的球心为AC中点。14．答案不唯一，如【解析】

根据对基本函数的理解可得到满足条件的函数.【详解】由题意，不妨设，则在都成立，但是在是单调递增的，在是单调递减的，说明原命题是假命题.所以本题答案为，答案不唯一，符合条件即可.本题考查对基本初等函数的图像和性质的理解，关键是假设出一个在上不是单调递减的函数，再检验是否满足命题中的条件，属基础题.15．【解析】

设直线的方程为，与联立得到A点坐标，由得，，代入可得，即得解.【详解】由题意，直线的方程为，与联立得，，由得，，从而，即，从而离心率．故答案为：本题考查了双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16．①【解析】

由三角形的正弦定理和边角关系可判断①；由零点存在定理和二次函数的图象可判断②；由，结合奇函数的定义，可判断③；由函数图象对称的特点可判断④．【详解】解：①在中，，故①正确；②函数在区间上存在零点，比如在存在零点，但是，故②错误；③对于函数，若，满足，但可能为奇函数，故③错误；④函数与的图象，可令，即，即有和的图象关于直线对称，即对称，故④错误．故答案为：①．本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断，考查判断能力和推理能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．证明见解析【解析】

利用比较法进行证明：把代数式展开、作差、化简可得,,可证得成立,同理可证明,由此不等式得证.【详解】证明:因为,，所以，∴成立，又都是正数，∴，①同理，∴．本题考查利用比较法证明不等式;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;把差变形为因式乘积的形式是证明本题的关键;属于中档题。18．（1）证明见解析（2）【解析】

（1）由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证；（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.【详解】（1）在等腰梯形中,点E在线段上,且,点E为上靠近C点的四等分点,,,,,点P在底面上的射影为的中点G,连接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由（1）易知,,,又,,,为等边三角形,,则,,,,,,,,,设平面的法向量为,则，即,令,则,,,设平面的法向量为,则,即,令,则,,,设平面与平面的夹角为θ,则二面角的余弦值为.本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力.19．（1）（2）【解析】

（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围.【详解】（1）当时，，由此可知，的解集为（2）当时，的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立.当时，，且，不恒成立，不符合题意.当时，，若，则，故不恒成立，不符合题意；若，则，故不恒成立，不符合题意.综上，.本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.20．（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦定理化简已知等式可得sinBcosA﹣sinAsinB＝1，结合sinB＞1，可求tanA＝，结合范围A∈（1，π），可得A的值；（2）由已知可求C＝，可求b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【详解】（1）∵bcosA﹣asinB＝1．∴由正弦定理可得：sinBcosA﹣sinAsinB＝1，∵sinB＞1，∴cosA＝sinA，∴tanA＝，∵A∈（1，π），∴A＝；（2）∵a＝2，B＝，A＝，∴C＝，根据正弦定理得到∴b＝6，∴S△ABC＝ab＝＝6．本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．21．（1）单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）（2）（3，2e]【解析】

（1）当a＝2时，求出，求解，即可得出结论；（2）函数在上有两个零点等价于a＝2x在上有两解，构造函数，，利用导数，可分析求得实数a的取值范围.【详解】（1）当a＝2时，定义域为，则，令，解得x1，或x1（舍去），所以当时，单调递减；当时，单调递增；故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，（2）设，函数g（x）在上有两个零点等价于在上有两解令，，则，令，，显然，在区间上单调递增，又，所以当时，有，即，当时，有，即，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，时，取得极小值，也是最小值，即，由方程在上有两解及，可得实数a的取值范围是.本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化思想以及数形结合思想，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.22．（1）见解析；（2）．【解析】

（1）设点、，求出直线、的方程，与抛物线的方程联立，求出点、的坐标，利用直线、的斜率相等证明出；（2）设点到直线、的距离分别为、，求出，利用