黑龙江省牡丹江市协同发展共同体第三子共同体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 含解析

协同发展共同体第三子共同体学年度第一学期期末考试高二数学试卷考试时间：分钟分值：一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合中所有元素的和为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的概念确定集合的所有元素，求和即可.【详解】集合的所有元素是，故所有元素的和为.故选：C.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得，结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为复数，所以其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.3.下面关于空间几何体叙述正确的是（）A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.正四棱柱都是长方体第1页/共14页D.直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱【答案】C【解析】【分析】由正棱锥定义判断A，由棱台的定义判断B，由正四棱柱的定义判断C，由圆锥的定义判断D.【详解】对于A，底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故A错误；对于B，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，故B错误；对于C，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故C正确；对于D，根据圆锥的定义可知D不正确.故选：C.4.函数为幂函数，则（）A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】【分析】运用幂函数定义，构造方程计算即可.【详解】函数为幂函数,则，则.故选：C.5.对数函数的图象经过点（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令即可.【详解】令，解得，则其过点.故选：A.6.从某校高一新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，将数据从小到大排序（单位：cm152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为（）.第2页/共14页A.171B.172C.173D.174【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的计算方法求解．【详解】∵20×90%=18，∴样本数据的第90百分位数是第18项和第19项数据的平均数，故，解得x=172．故选：B7.已知，，，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】当时，，若，则，所以是的必要不充分条件.故选：B.8.已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（）A.若，则是锐角三角形B.若，则是等腰三角形C.若，则是等腰三角形D【答案】B【解析】【分析】利用和角的正切公式推得判断A；利用正弦定理边化角推理判断BCD.【详解】对于A，在中，由，得，第3页/共14页整理得都是锐角，A正确；对于B：由及正弦定理得，即，则或，即或，因此是等腰三角形或直角三角形，B错误；对于C，由及正弦定理，得，即，而是的内角，则，是等腰三角形，C正确；对于D，由是的内角及正弦定理，得，D正确.故选：B二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列判断正确的是（）A.已知，则的最小值为B.天气预报表明在国庆假期甲地降雨概率是.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为0.46C.函数的定义域为D.是真命题【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式即可求解A，根据互相独立事件的概率乘法公式即可求解B,根据根式以及分式的性质及可求解C，根据全称命题的性质即可求解D.【详解】对于A,∵，∴，∴，当且仅当，即时取等号,故A正确，对于B，两地中恰有一个地方降雨的概率为，故B正确，对于C,函数的定义域满足，解得故定义域为，C正确，第4页/共14页对于D，，故是假命题，故D错误，故选：ABC10.下列判断正确的是（）A.方程的根是3B.2C.已知是函数的零点，则m为3D.不等式的解集为或【答案】BC【解析】ABCD，由一元二次不等式得解集结构即可判断.【详解】对于A，方程等价于，即根是3或-2，故错误；对于B，，正确；对于C，由，可得：，正确；对于D，不等式的解集为，错误；故选：BC定义域为R的函数在上是减函数，若函数是偶函数，则（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】利用函数的对称性以及单调性比较函数值的大小.【详解】因为函数是偶函数，所有，即函数的对称轴为，又因为在上是减函数，所以在上是增函数，第5页/共14页对于A，因为在上是增函数，所有，故A错误；对于B，因为，所有，又在上是增函数，所有，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，因为，所有，又在上是增函数，所有，故D正确.故选：CD.三填空题：本大题共3小题，每小题5分.12.已知函数，则__________.【答案】【解析】【分析】直接计算得到答案.【详解】，则.故答案为：.13.在正方体中，，分别是，与所成角的大小为_____________【答案】【解析】【分析】连接，利用平行公理、结合异面直线夹角定义求解.【详解】在正方体中，连接，由对角面是矩形，得，由分别是的中点，得，则是异面直线与所成的角或其补角，而，第6页/共14页因此，所以异面直线与所成角的大小为.故答案为：14.若样本数据的平均数为2，则数据，，，，的平均数为________________【答案】7【解析】【分析】根据平均数的性质计算可得.【详解】因为样本数据的平均数为，所以数据，，，，的平均数为.故答案为：四解答题：本大题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，.（1）求向量的坐标；（2）求向量，的夹角；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】运用向量的坐标运算,结合夹角公式进行计算即可.【小问1详解】因为，，所以.【小问2详解】第7页/共14页由题得.因为，所以向量，的夹角.16.如图，四棱锥的底面是正方形，底面.（1）若，求四棱锥的体积（2）求证：平面【答案】（1）（2）证明见解析【解析】1）根据体积公式可求四棱锥的体积.（2）可证，结合可证平面.【小问1详解】因为底面，故四棱锥的高为，而正方形的面积为，故.【小问2详解】因为底面，而平面，故，由正方形可得，因平面，故平面.17.从我校高二年级的500名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.第8页/共14页（1）求第七组的频率；（2）估计该校的500名男生的身高的平均数；（3）若从身高属于第六组和第八组所有男生中随机抽取两名男生，求出这两名男生来自同一组的概率.【答案】（1）0.06（2）（3）【解析】1）先计算第六组的频率，根据频率和为1，可得第七组频率.（2）根据频率分布直方图中求平均数的方法即可求解.（3）用列举法写出基本事件的总数和两名男生来自同一组包含的基本事件，即可求解.小问1详解】第六组的频率为，∴第七组的频率为.【小问2详解】由直方图得，身高在第一组的频率为，身高在第二组的频率为，身高在第三组的频率为，身高在第四组的频率为，身高在第五组的频率为，身高在第八组的频率为，则平均数为：第9页/共14页.【小问3详解】第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，则从中随机抽取两名男生有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，记事件“随机抽取的两名男生在同一组”，所以事件A包含的基本事件为，，，，，，共7种情况.所以.18.已知数集含有（）个元素，定义集合．（1）若，写出；（2）写出一个集合，使得；【答案】（1）（2）【解析】1）由集合新定义即可求解；（2）由集合新定义令验证即可；【小问1详解】因为，，所以为中元素，故.【小问2详解】取，此时，满足.19.已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．（1）求的通项公式；第10页/共14页（2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】1dn项和公式与等比中项公式列出关于和d得的通项公式；（21）可得等比数列的第三项的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出.【小问1详解】因为为等差数列，设公差为d，由，得，即，由，，成等比数列得，，化简得，因为，所以．所以．综上．【小问2详解】由知，，又为公比是3的等比数列，，所以，即，所以，，所以第11页/共14页.综上.20.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）已知锐角三个内角所对的边分别为，且，若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】1，再利用正弦函数的周期公式计算周期；（2）代入计算角，在利用三角形面积公式计算的出结果；【小问1详解】，所以函数的最小正周期．【小问2详解】因为，所以．第12页/共14页因为是锐角三角形的内角，所以或所以．又，所以的面积．21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为，其离心率，且椭圆C经过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B（均异于点M）.若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）是，证明见解析【解析】1）根据离心率及椭圆上的点可求解；（2）根据题意分别设出