必修五 3.1不等式与不等关系教案

必修五3.1不等式与不等关系教案一、教学目标1.知识与技能目标让学生了解不等式（组）的实际背景，会用不等式表示不等关系。理解实数大小与实数运算的关系，掌握作差法比较两个实数的大小。2.过程与方法目标通过具体情境，引导学生从实际问题中抽象出不等关系，培养学生的数学抽象能力。经历作差法比较大小的过程，让学生体会逻辑推理和数学运算在解决问题中的作用，提升学生的逻辑推理和数学运算素养。3.情感态度与价值观目标通过解决实际问题，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。在探究活动中，培养学生积极思考、勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，理解不等式对于刻画不等关系的意义和价值。掌握作差法比较两个实数大小的方法，并能熟练运用其解决相关问题。2.教学难点如何引导学生把实际问题转化为数学问题，建立合理的不等关系模型。理解作差法比较大小的原理，准确判断差的正负情况。

三、教学方法1.讲授法：讲解不等式的基本概念、表示方法以及作差法比较大小的原理和步骤，使学生系统地掌握基础知识。2.讨论法：组织学生讨论实际问题中的不等关系，鼓励学生积极思考、交流合作，培养学生的思维能力和团队协作精神。3.情境教学法：创设丰富的实际情境，让学生在情境中感受不等关系的存在，激发学生的学习兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）通过多媒体展示以下几个生活中的场景：1.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量$f$应不少于$2.5\%$，蛋白质的含量$p$应不少于$2.3\%$。2.某路段限速$40km/h$。3.某品牌电脑的售价为$x$元，其成本价为$y$元，商家为保证盈利，售价$x$要大于成本价$y$。

引导学生观察这些场景，思考其中存在的数量关系，并提问：如何用数学式子来表示这些关系呢？从而引出本节课的主题不等式与不等关系。

（二）新课讲授1.不等式的概念（3分钟）通过上述导入中的实例，向学生讲解不等式的概念：用不等号（$>$，$<$，$\geq$，$\leq$，$\neq$）表示不等关系的式子叫做不等式。强调："不等号"是不等式的重要标志，它明确地表示了两个量之间的大小差异。

2.用不等式表示不等关系（12分钟）例1：某种杂志原以每本$2.5$元的价格销售，可以售出$8$万本。据市场调查，若单价每提高$0.1$元，销售量就可能相应减少$2000$本。若把提价后杂志的定价设为$x$元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于$20$万元呢？引导学生分析：定价为$x$元时，单价提高了$(x2.5)$元。因为单价每提高$0.1$元，销售量就减少$2000$本，所以销售量减少了$\frac{x2.5}{0.1}×2000=20000(x2.5)$本。则此时的销售量为$8000020000(x2.5)$本。销售总收入为$x[8000020000(x2.5)]$元。要使销售总收入不低于$20$万元，可列出不等式：$x[8000020000(x2.5)]\geq200000$例2：某钢铁厂要把长度为$4000mm$的钢管截成$500mm$和$600mm$两种，按照生产的要求，$600mm$钢管的数量不能超过$500mm$钢管数量的$3$倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？引导学生设截得$500mm$的钢管$x$根，截得$600mm$的钢管$y$根。根据钢管总长度为$4000mm$，可得$500x+600y\leq4000$。又因为$600mm$钢管的数量不能超过$500mm$钢管数量的$3$倍，所以$y\leq3x$。同时，$x$，$y$为正整数，即$x\inN$，$y\inN$。综上，不等式组为$\begin{cases}500x+600y\leq4000\\y\leq3x\\x\inN\\y\inN\end{cases}$

在讲解这两个例题的过程中，强调以下几点：仔细审题，明确题目中的关键信息，找出不等关系的关键词，如"不少于""不超过""大于""小于"等。设出合适的未知数，用未知数表示相关的量，进而列出不等式或不等式组。注意实际问题中变量的取值范围，如例2中钢管的根数应为正整数。

让学生完成课本上的相关练习题，巩固用不等式表示不等关系的方法。

3.实数大小与实数运算的关系（10分钟）提出问题：在数轴上，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。那么，如何从实数运算的角度来解释两个实数的大小关系呢？引导学生思考：对于两个实数$a$，$b$，有以下三种情况：如果$ab$是正数，那么$a>b$。如果$ab$是负数，那么$a<b$。如果$ab$等于零，那么$a=b$。总结得出：比较两个实数$a$，$b$大小的依据是$ab$的符号，即：$a>b\Leftrightarrowab>0$；$a<b\Leftrightarrowab<0$；$a=b\Leftrightarrowab=0$。

4.作差法比较大小（15分钟）例3：比较$(x+3)(x+7)$与$(x+4)(x+6)$的大小。分析：可通过作差来比较这两个式子的大小。$(x+3)(x+7)(x+4)(x+6)$$=(x^2+10x+21)(x^2+10x+24)$$=x^2+10x+21x^210x24$$=3<0$所以$(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6)$。

例4：已知$a>b>0$，$c<d<0$，求证：$\frac{a}{d}<\frac{b}{c}$。分析：要证明$\frac{a}{d}<\frac{b}{c}$，可通过作差法，将两个式子相减后判断差的正负。$\frac{a}{d}\frac{b}{c}=\frac{acbd}{dc}$因为$a>b>0$，$c<d<0$，所以$ac<bd$，即$acbd<0$。又因为$c<d<0$，所以$dc>0$。则$\frac{acbd}{dc}<0$，即$\frac{a}{d}<\frac{b}{c}$。

在讲解作差法比较大小的过程中，强调以下步骤：作差：将两个要比较大小的式子相减。变形：对差进行化简变形，如因式分解、配方等，以便于判断差的正负。定号：根据已知条件或变形后的式子，确定差的正负情况。结论：根据差的正负得出两个式子的大小关系。

让学生完成课本上相关的比较大小练习题，教师巡视指导，及时纠正学生在解题过程中出现的错误。

（三）课堂小结（5分钟）引导学生回顾本节课所学内容，提问：1.什么是不等式？2.如何用不等式表示实际问题中的不等关系？3.实数大小与实数运算有怎样的关系？4.作差法比较大小的步骤是什么？

请几位学生回答，教师进行补充和完善，总结本节课的重点知识和方法：1.不等式是用不等号表示不等关系的式子，是刻画现实世界中不等关系的数学工具。2.用不等式表示不等关系时，要仔细审题，设出合适的未知数，找出不等关系的关键词，列出不等式或不等式组，并注意变量的取值范围。3.实数大小与实数运算的关系是比较两个实数大小的依据，即$ab$的符号决定了$a$与$b$的大小关系。4.作差法比较大小的步骤为作差、变形、定号、结论，通过作差将比较大小的问题转化为判断差的正负问题，再利用已知条件或变形后的式子确定差的正负，从而得出大小关系。

（四）布置作业（3分钟）1.书面作业：课本习题3.1A组第1、2、3题。第1题主要考查用不等式表示简单的不等关系，让学生进一步巩固所学方法。第2题通过比较两个代数式的大小，强化作差法的应用。第3题是一道实际问题，要求学生用不等式组表示不等关系，培养学生解决实际问题的能力。2.拓展作业：已知$x>0$，比较$x^3+6x$与$x^2+6$的大小。若$a>b>0$，$m>0$，比较$\frac{a}{b}$与$\frac{a+m}{b+m}$的大小，并说明理由。这两道拓展作业难度稍大，旨在进一步加深学生对作差法比较大小的理解和运用，培养学生的综合运用能力和创新思维。

五、教学反思在本节课的教学过程中，通过丰富的实际情境引入不等式的概念，让学生感受到不等式在生活中的广泛应用，激发了学生的学习兴趣。在讲解用不等式表示不等关系时，注重引导学生分析问题、找出不等关系并设出未知数，培养了学生的数学抽象能力和逻辑推理能力。在实数大小与实数运算关系以及作差法比较大小的教学中，通过实例让学生理解原理、掌握步骤，并进行了针对性的练习，学生基本能够熟练运用作差法比较两个实数的大小。

然而，在教学过程中也发现了一些问题。部分学生在将实际问题转化为数学问题时仍存在困难，不能准确找出不等关系。在作差法比较大小的变形环节，有些学生对因式分