第一课时向量确定空间位置关系-高二数学理科选修教学课件(人教A版)

第一课时(向量确定空间位置关系)3.2立体几何中的向量方法1.

用向量能确定空间的点,直线,平面吗?2.

用向量怎样判定点在直线上,点在平面内,直线在平面内?3.

用向量怎样判定直线与直线平行,直线与平面平行,平面与平面平行,直线与直线垂直,直线与平面垂直,平面与平面垂直?学习要点

问题1.

什么是直线的方向向量?什么是平面的法向量?一直线的方向向量是否唯一?一平面的法向量呢?

在直线l

上,或平行于直线l

的向量都可以作为直线l

的方向向量.一直线的方向向量不唯一.与平面a

垂直的向量都可以作为平面a

的法向量.一平面的法向量不唯一.

问题2.

用向量能确定空间的点、直线、平面吗?如果能,怎样确定?如果不能,需加上什么条件?一定点与一向量就能确定空间的点.取定点O为基点,APBOQ····如图,确定了点A;确定了点B;确定了点P;确定了点Q.

以青蛙的舌根为定点,舌头伸出的方向与长度确定了捕捉昆虫的点.分别叫点A、B、P、Q

的位置向量.

问题2.

用向量能确定空间的点、直线、平面吗?如果能,怎样确定?如果不能,需加上什么条件?如果知道一直线l

的方向向量a,a和直线l

上一点P,P·l就能确定直线l的位置.·Al为直线AP:(A是直线上任意的点).另一方面:已知直线l

的方向向量,和l

上一点P,如果存在实数t,有则点A在直线l

上.

问题2.

用向量能确定空间的点、直线、平面吗?如果能,怎样确定?如果不能,需加上什么条件?任一平面a,可由a

内的两条相交直线确定.设平面a

内两相交直线的交点为O,方向向量分别为a,b.则就确定了平面a(P

为a

内任意的点,x,y

为实数).

问题2.

用向量能确定空间的点、直线、平面吗?如果能,怎样确定?如果不能,需加上什么条件?另一方面:如果a,b是平面a

内两相交直线的方向向量,O为平面a

内一点,如果存在实数x,y,使则点P

在平面a

内,直线OP

在平面a

内.由此可得:

如果一直线l

的方向向量p,可用平面a

内两相交直线的方向向量a,b表示,即则l

平行平面a,或在a

内.

问题2.

用向量能确定空间的点、直线、平面吗?如果能,怎样确定?如果不能,需加上什么条件?如果知道一平面a

的法向量n和平面a

内一点,P·a就能确定这个平面a.法向量也可以确定平面的位置.

问题3.

①两直线的方向向量平行,这两直线是什么位置关系?②两直线的方向向量垂直呢?③一直线的方向向量平行于一平面的法向量,这条直线与这个平面是什位置关系?④若方向向量垂直于法向量呢?⑤两平面的法向量平行,这两平面是什么位置关系?⑥两法向量垂直呢?※两直线的方向向量平行,则这两直线平行.※两直线的方向向量垂直,则这两直线垂直.

问题3.

①两直线的方向向量平行,这两直线是什么位置关系?②两直线的方向向量垂直呢?③一直线的方向向量平行于一平面的法向量,这条直线与这个平面是什位置关系?④若方向向量垂直于法向量呢?⑤两平面的法向量平行,这两平面是什么位置关系?⑥两法向量垂直呢?

※一直线的方向向量平行于一平面的法向量,则这条直线垂直于这个平面.naal

※一直线的方向向量垂直于一平面的法向量,则这条直线平行于这个平面或在这个平面内.naal

问题3.

①两直线的方向向量平行,这两直线是什么位置关系?②两直线的方向向量垂直呢?③一直线的方向向量平行于一平面的法向量,这条直线与这个平面是什位置关系?④若方向向量垂直于法向量呢?⑤两平面的法向量平行,这两平面是什么位置关系?⑥两法向量垂直呢?

※两平面的法向量平行,则这两平面平行.

※两平面的法向量垂直,则这两平面垂直.mnabmanb【向量确定线面的位置关系】

设直线l,m

的方向向量分别为a,b,平面a,b

的法向量分别为u,v,则l

//m

a//ba=kb,(kR);l

⊥m

a⊥ba·b=0;l

//a

a⊥ua·u=0;l

⊥a

a//ua=ku,(kR);a//b

u//vu=kv,(kR);a

⊥b

u⊥vu·v=0.

例.

证明定理“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.”

已知两相交直线l,m

都在平面a

内,l//平面b,m//平面b.求证:a//b.证明:设直线l,m

的方向向量分别为a,b,平面a,b

的法向量分别为u,v.∵l//b,m//b,∴a⊥v,b⊥v,则a·v=0,b·v=0,因为l,m

都在平面a

内且相交,所以平面a

内任一向量p可表示为p=xa+yb(x,yR)

例.

证明定理“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.”

已知两相交直线l,m

都在平面a

内,l//平面b,m//平面b.求证:a//b.证明:设直线l,m

的方向向量分别为a,b,平面a,b

的法向量分别为u,v.∵l//b,m//b,∴a⊥v,b⊥v,则a·v=0,b·v=0,因为l,m

都在平面a

内且相交,所以平面a

内任一向量p可表示为p=xa+yb(x,yR)于是v·p=v·(xa+yb)=xv·a+yv·b=0,即平面b

的法向量垂直于平面a

内的任一向量,∴a//b.

例(补充).

已知正三棱柱ABC-A1B1C1

的各条棱长都相等,E,F

分别是CC1和AC

的中点,求证:(1)

AB1⊥BM;

(2)

AB1//平面BC1F.分析:ABCA1B1C1EF(1)目标:思路:①底面是等边三角形,可计算向量的数量积.②侧棱垂直底面的任一直线,可计算数量积.于是考虑:将向量和转换到底面和侧棱上.

例(补充).

已知正三棱柱ABC-A1B1C1

的各条棱长都相等,E,F

分别是CC1和AC

的中点,求证:(1)

AB1⊥BM;

(2)

AB1//平面BC1F.证明:ABCA1B1C1EF(1)=0.∴AB1⊥BM.设各棱长为a,则

例(补充).

已知正三棱柱ABC-A1B1C1

的各条棱长都相等,E,F

分别是CC1和AC

的中点,求证:(1)

AB1⊥BM;

(2)

AB1//平面BC1F.分析:ABCA1B1C1EF(2)目标:用平面BC1F内两相交直线的方向向量表示思路:运算,转换到三向量中的两向量表示.将向量经过加减

例(补充).

已知正三棱柱ABC-A1B1C1

的各条棱长都相等,E,F

分别是CC1和AC

的中点,求证:(1)

AB1⊥BM;

(2)

AB1//平面BC1F.证明:ABCA1B1C1EF(2)∵FC1与FB在平面BC1F内,∴AB1//平面BC1F.练习(补充)

1.

如图,四棱锥S-ABCD

中,AB//CD,BC⊥CD,侧面SAB

为等边三角形,AB=BC=2,CD=1.求证:SD⊥AB.SABCD

2.

如图,四棱锥P-ABCD

的底面ABCD

是平行四边形,E

是AB

的中点,F

是PD

的中点.求证:AF//平面PCE.PABCDEF

1.

如图,四棱锥S-ABCD

中,AB//CD,BC⊥CD,侧面SAB

为等边三角形,AB=BC=2,CD=1.求证:SD⊥AB.SABCD证明:=0.∴SD⊥AB.

2.

如图,四棱锥P-ABCD

的底面ABCD

是平行四边形,E

是AB

的中点,F

是PD

的中点.求证:AF//平面PCE.PABCDEF证明:EP,PC

是平面PCE

内的直线,∴AF//平面PCE.【课时小结】1.

向量确定空间的点、线、面

一基点和一向量,基点为起点,向量的终点确定点.直线的方向向量和直线上的一点确定直线.平面内不共线的两向量确定平面.平面的法向量和平面内的一点确定平面.【课时小结】2.

向量确定点、线、面关系(t

为实数)(1)点P

l,a

是l

的方向向量,若有则点A

在直线l

上.(2)点O

平面a,a,b不共线,a//a,b//a,若有则点P

在平面a

内,直线OP

在平面a

内.【课时小结】3.

向量确定平行与垂直

设直线l,m

的方向向量分别为a,b;平面a,b

的法向量分别为u,v;不共线的两向量e1,e2与平面a

共面.则l

//m

a//ba=kb,(kR).l

⊥m

a⊥ba·b=0.两直线平行,方向向量共线:两直线垂直,方向向量数量积为0:【课时小结】3.

向量确定平行与垂直

设直线l,m

的方向向量分别为a,b;平面a,b

的法向量分别为u,v;不共线的两向量e1,e2与平面a

共面.则l

//a

a⊥ua·u=0.l

//a

a=xe1+ye2,(x,yR).直线平行平面,方向向量垂直法向量:直线平行平面,直线用平面的共面向量表示:平面平行平面,法向量平行:a//b

u//vu=kv,(kR).【课时小结】3.

向量确定平行与垂直

设直线l,m

的方向向量分别为a,b;平面a,b

的法向量分别为u,v;不共线的两向量e1,e2与平面a

共面.则l

⊥a

a//ua=ku,(kR).a

⊥b

u⊥vu·v=0.直线垂直平面,方向向量平行法向量:平面垂直平面,法向量垂直:练习:(课本104页)第1、2题.

1.

设a,b分别是直线l1,l2

的方向向量,根据下列条件判断直线l1,l2

的位置关系:

(1)a=(2,-1,-2),b=(6,-3,-6);(2)a=(1,2,-2