中考数学一轮复习【举一反三】系列-专题23 图形的相似与位似【十四大题型】（举一反三）（原卷版）

专题23图形的相似与位似【十四大题型】

♦题型梳理

【题型1利用比例的性质求值】...................................................................1

【题型2黄金分割】.............................................................................3

【题型3由平行线分线段成比例判断式子正误】....................................................4

【题型4平行线分线段成比例（A型）】...........................................................5

【题型5平行线分线段成比例（X型）】...........................................................6

【题型6平行线分线段成比例与三角形中位线综合】................................................7

【题型7平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】..............................................8

【题型8平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】................................................9

【题型9相似多边形的性质】....................................................................10

【题型10画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】..............................................12

【题型11求位似图形的坐标】...................................................................12

【题型12求位似图形的线段长度】...............................................................14

【题型13求位似图形的周长】...................................................................15

【题型14求位似图形的面积】...................................................................16

，举一反三

【知识点图形的相似与位似】

1.比例线段的相关概念

如果选用同一长度单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是,g二'或写

bn

成a：b=m：n

在两条线段的比a：b中,aM做比的前项,b叫做比的后项.

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称

比例线段

若四条a,b,c,d满足@£或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做组成比例的项,线段a,d叫做比例外项,线

bd

段b,c叫做比例内项,线段的d叫做a,b,c的第四比例项.

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即@=2或a：b=b：c,那么线段b叫做线段a,c的比例中项.

bc

2.比例的性质

（1）基本性质

©a：b=c：d<z>ad=bc

②a：b=b：c<=>Z?2=ac

（2）更比性质（交换比例的内项或外项）

厂q=乌（交换内项）

ca

v=-=>s彳=£（交换外项）

bdba

（同时交换内项和外项）

ca

（3）反比性质（交换比的前项.后项）：

acbd

—=——s——-

bclac

（4）合比性质：

aca±bc±d

—=-n-----=-----

bdhd

（5）等比性质：

acem.,,八、a+c+e+--+ma

—=—=——=•••=——（zb+d+/+•••+//^0）=>-----------------=—

bdfnb+d+f+--+nb

3.黄金分割

把线段AB分成两条线段AC,BC（AOBC）,并且使AC是AB和BC的比例中项,叫做把线段AB黄金分割，点

C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=^二!■ABaO.618AB

2

4.平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

推论：

（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行

于三角形的第三边.

（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

5.相似多边形

定义1：形状相同的图形叫做相似图形.

定义2：两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.

相似多边形对应边的比叫做相似比.

性质相似多边形的对应角相等,对应边成比例.

【题型1利用比例的性质求值】

【例1】（2023•浙江・统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册〃4.1比例线段”3节课后，发现学习内

容是一个逐步特殊化的过程,请在横线上填写适当的数值,感受这种特殊化的学习过程.图中横线处应填

【答案】2

【变式（2023.四川甘孜・统考中考真题）若;=2,则子=——

【变式1-2］（2023•湖南岳阳-校考一模）已知;*且3x+4z-2y=40,则x的值为

【变式1-3］（2023•浙江•模拟预测）用分别表示三种物体的重量，若冷等二备，则

▲,•,♦这三种物体的重量比为（）

A.2:3:4B.2:4:3C.3:4:5D.3:5:4

【题型2黄金分割】

【例2】（2023•广东云浮・统考一模）如图，在△A8C中，〃=36。，AB=AC,以点8为圆心任意长为半径画

弧,分别交AB,8c于点MN,再分别以点跳N为圆心,大于：MN的长为半径画弧,两弧交于点0,连接8。,并

延长交力。于点D,若48=2,则C。的长为（）

B.3-V5C.V5+1D.3+V5

【变式2-11（2023•上海杨浦•统考一模）已知P是线段48的黄金分割点，且4P>BP,那么下列等式能成立

的是（）

.ABAPABBP

A.—=—nB.—=—

APBPBPAP

「AP51nABVS-l

C.—=-----D.—=--

BP2AP2

【变式2-2］（2023•四川达州•统考中考真题）如图，乐器上的一根弦A8=80cm,两个端点A,8固定在乐器

板面上，支撑点。是靠近点B的黄金分割点，支撑点。是靠近点4的黄金分割点，C,。之间的距离为

A

AD_AEB竺一些C———D"一竺

BD~ECAE-BEEC~FEBC~FE

【变式3-3］（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨德强学校校考模拟预测）如图，在平行四边形中，七、产分别

是40、CD边上的点,连接BE、AF,它们相交于点G,延长8E交CD的延长线于点比下列结论错误的是

（）

.AEBEnEHDF八EGAEAGBG

A.——ED=—EHB.—EB=—CDC.—BG=—BCI）.—FG=—GH

【题型4平行线分线段成比例（A型）】

【例4】（2023•湖北恩施・统考中考真题）如图，在△48。中，DEII8C分别交AC,AB于点£EFMC交BC于

点片煞=；,8尸=8,则0E的长为（）

DC5

A.-B.-C.2D.3

57

【变式4-1］（2023•辽宁沈阳・校考一-模）如图，在△48C中，点£分别在48、AC上，连接

DE,DEWBC,AE=4,AD=3,CE=2,则80的长为（）

A.1.5B.V2C.y/3D.2

【变式4-2］（2023•湖北武汉・校联考模拟预测）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角

乙DPC=30。，已知窗户的高度■=2m,窗外水平遮阳篷的宽力。=0.8m,则洒在地面上光线£户的宽度为

m（参考数据8=1.732,结果精确到0.1）.

【变式4-3］（2023•全国•一模）剪纸是中国的传统文化之一.如图1,将长为12cm,宽为5cm的矩形纸片剪

成4张小纸片、分别记为〃①，②，③,④”.若这四张小纸片恰好能拼成如图2所示的矩形，则在“小纸片

①”中，较长直角边=cm.

图1图2

【题型5平行线分线段成比例（X型）】

［例5］（2023•广西贵港・统考一模）如图，尸是矩形4BCD的边CZ）上一点，射线B尸交4D的延长线于点E,已

知。E=2BC=4,CD=6,求BP的长（）

A.2y[2B.3C.V13D.V5

［变式5-11（2023•北京・统考中考真题）如图，直线AD,比、交于点（）,AB||EFIICD.若力。=2,OF=

1,尸。=2.则笠的值为

【变式5-2］（2023•安徽滁州•统考二模）如图，在A/BC中，点D、E分别在边48、4C的反向延长线上，且

DEWBC.若=2,AC=4,AB=5,则AD的长为.

ED

【变式5-3］（2023•重庆渝中-统考一模）已知团力BCD,点£是加延长线上一点，CE与40,80分别相交于点

2

GyF.求证：CF=EFGF.

【题型6平行线分线段成比例与三角形中位线综合】

［例6］（2023•安徽滁州・统考二模）如图，G为△力砥的重心，力/12,则AD=

【变式6-1］（2023•湖南湘潭•模拟预测）如图，平行四边形HBCD的对角线AC、BD相交于点〃。臼交

AD于点E.若。力=2,A/lOE周长为1（）,则平行四边形4BCO的周长为（）

A.16B.32C.36D.40

【变式6-2］（2023•宁夏银川•校考一模）如图，在m/BCD中，48=5,8。=8」是边8。的中点，尸是团

ABCD内一点,且N/C=90°.连接A尸并延长,交CD于点G.若,则DG的长为（）

C.3D.2

【变式6-3]（2。23•山东聊城•统考二模）如图，在正方形48（；〃中，按如下步骤作图：①连接4C,8〃相交于

力点。②分别以点氏。为圆心、大于卯。的长为半径画弧,两弧相交于点忙③连接0E交BC于点片④连接

AF交B0于点、G.若4。=4或，则0G的长度为（）

乂£

A.1B.2C.gI）.V2

【题型7平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】

【例7】（2023•湖北武汉•校考模拟预测）AABC中，乙BAC=90。,。、£分别是48、4c上的点,CE=

2,CA=5,AD=4,BD=*则$也/。。8的值是.

【变式7-1]（2023•广东深圳・统考模拟预测）如图，在△4BC中，〃为8。边的中点，点£在线段4D上,8E的

延长线交/C边于点先若/E：ED=1：3,4F=2,则线段产。的长为

A

F

BDC

【变式7-2]（2023•安徽宿州・校考一模）如图,在418C中,CG平分〃C8,过点A作A11CG交8C于点”,

且"是8C的中点.若力，=4/6=6,则48的长为

【变式7-3]（2023•黑龙江哈尔滨-哈尔滨市第六十九中学校校考三模）如图，在公ABC中,AB=9,=

2NC,AD1BC,AE是BC边上中线,则线段DE=.

【题型8平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】

【例8】（2023•浙江•一模）如图，菱形48CD中，点E是。。的中点,EF垂直48交48延长线于点居若黑=

EF=2遥,则菱形ABCD的边长是（）

A.3V5B.y\/5C.5D.6

【变式8-1]（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第四十九中学校校考一模）在△A8C中/A8C=45。,4K1BC

于点K,点M在AK上,CK=KM,tan^KAC=""为的中点，G为"的中点,若BC=14,则线段NG的长

4

为

B

C

[变式8-2]（2023•河南商丘-校考二模）如图，Rt△ABC中，44=90°,AC=5,AB=12,将仆ABC绕点C

逆时针旋转。。（0。<«°<90°）,得到△DEC,点、A,〃的对应点分别为D,E,射线E。分别交8C,AB于点F,和当

△A1FB为等腰三角形时,的长为.

【变式8-3]（2023•黑龙江绥化-校考模拟预测）如图，点。是448c内部一点,且P力=PB=

PC.^ABC=45°,点。在力C上，连接。P并延长交BC于点E,若CD=3AD,Z.APD=乙CBP,PE=W则线段PD

的长为.

【题型9相似多边形的性质】

【例9】（2023•上海虹口・统考一•模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知

【变式9-1］（2023•浙江宁波-校联考三模）如图，DABC"口EFGH,AB//EF,记四边形ABFE.四边形BCGF.四

边形CDHG,四边形仅应/的面积分别S,S?,£,6,若已知口/以力和口曲G〃的面积,则不用测量就可知的区域的

面积为（）

【变式9-2］（2023•河北衡水•统考一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：

甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张,得到新菱形,它们的对应边间距为1,则新菱形与原菱形相

似.

乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张,得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1,则新菱

形与原菱形相似；

对于两人的观点，下列说法正确的是（）.

A.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对

【变式9-3］（2023•河北石家庄•统考三模）对于题目：〃在长为6,宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形,

使得剪下的两个矩形均与原矩形相似,请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案,并求出这个最大

值.”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值.

甲方案：如图1所示，最大值为16;

乙方案：如图2所示，最大值为16.

下列选项中说法正确的是（）

6

图1图2

A.甲方案正确，周长和的最大值偌误

B.乙方案错误,周长和的最大值正确

C.甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确

D.甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误

【题型10画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】

【例10】(2023•安徽芜湖•统考一模)如图，△48C的顶点都在网格点上，点8的坐标(-2,1).

(1)以点。为位似中心,把^^C按2:1放大在y轴的左侧，画出放大后的△DEF\

(2)点A的对应点〃的坐标是;

(3)SM80：S四边形ABED=---------

【变式10-1](2023•广西防城港•统考三模)如图，在平面直角2标系中，每个小正方格的边长都是1个单

位长度，已知IA4BC的顶点坐标为4(-6,4),8(-2,6),C(-4,2).

⑴画出△ABC沿着x轴向右平移5个单位长度得到的△4当G;

(2)以原点。为位似中心,将448c缩小为原来的右请在位似中心同侧画出缩小后的△z4282c2.

(3)直接写出线段C1C2的长.

【变式10-2](2023•安徽合肥・统考二模)如图,在平面直角坐标系中，△48c的三个顶点的坐标分别为

(-4,3),(-3,-1),(0,2).

⑴以点。为对称中心,画出△力8。关于原点。成中心对称的图形AA】8iG(其中A与久，B与Bi，C与G是对应

点)；

(2)以点。(一2,1)为位似中心,将AABC放大2倍得到△A282c2(其中4与4，B与%,C与C?是对应点)，且写出

点儿的坐标.

【变式10-3](2023•广西桂林・统考一模)如图，△力BC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为

A(-1,2),8(-4,3),匚(一3,1).

⑴画出△48C关于y轴对称的

(2)以点〃为位似中心,在点〃的下方画出△2c2,使^2c2与4ABC位似,且位似比为3：1;

(3)直接写出点儿,C2的坐标.

【题型11求位似图形的坐标】

【例11】(2023•山东日照-校考三模)如图，在平面直角坐标系口，△力BC的顶点/I在第二象限，点8坐标为

(-2,0),点C坐标为(-1,0),以点。为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△ABC.若点力的对

应点A的坐标为(2,-3),点8的对应点8'的坐标为(1,0),则点/I坐标为()

A.(3,-2)B.(―29C.(一3,])•(一表2)

【变式117](2023•浙江嘉兴・统考中考真题)如图，在直角坐标系中，△4BC的三个顶点分别为

4(1,2),B(2,l),C(3,2),现以原点。为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形

则顶点C'的坐标是()

A.(2,4)B.(4,2)C.(6,4)D.(5,4)

【变式11-2](2023•辽宁盘锦・统考中考真题)如图，△480的顶点坐标是4(2,6),3(3,1),。(0,0),以点。为

位似中心，将△A8。缩小为原来的士得到△A'BfO,则点A的坐标为

【变式11-3](2023•江苏盐城・统考二模)如图，以点。(0,1)为位似中心，将△力BC按相似比1:2缩小，得到△

DEC,则点力(2,-1)的对应点〃的坐标为.

【例12】（2023•广东湛江-岭师附中校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，△48。与^OEF是以坐标原

点。为位似中心的位似图形，若力（一2,0）,D（3,0）,且力。二2近,则线段DF的长度为（).

C.4&D.6V2

[变式12-1]（2023•河南周口-校联考二模）如图，在Rt△43。中，48=90。,AB=2,BO=2点，以点。为

位似中心,将44。8缩小为原图形修,得到△COD,则OC的长度是（)

A.2B.3C.2.5I).3.5

【变式12-2]（2023•江苏南京•统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△48C的顶点坐标分别是

71（2,2）,8（4,2）,C（4,4）,以原点为位似中心,在原点的异侧画^OEF,使^OE卜与△/18C成位似图形,且相似比

为1:2,则线段M的长度为（）

c.2V2D.4

【变式12-3](2023上•吉林长春・九年级校考期末)如图，在平面直角坐标系中，△。48的顶点为

0(0,0),4(4,3),8(3,0),以点。为位似中心，在第三象限内作与△048的位似比为:的位似图形△OCD,

【例13】(2023•山东荷泽・统考三模)如图，△A8C和△/)£1尸是以点。为位似中心的位似图形.若OA4)=

2:3,则△ABC与△£)£尸的周长比是()

A.4:9B.2:3C.2:5D.4:25

【变式13-1](2023・重庆渝中・重庆巴蜀中学校考一■模)如图，在平面直角坐标系中,△ABC与ADEF是以

点。为位似中心的位似图形,若OC:6=2:3,△DE尸的周长为15,则^ABC的周长为(