专题22 立方根【七大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

专题2.2立方根【七大题型】

【北师大版】

♦题型梳理

【题型I立方根的性质与数轴的综合】............................................................1

【题型2根据立方根的性质求字母的值】.........................................................3

【胭型3根据立方根的定义解方程】.............................................................5

【题型4与立方根有关的计算】.................................................................7

【题型5算术平方根、平方根、立方根的综合应用】...............................................9

【题型6利用立方根的定义解决实际问题】.......................................................11

【题型7利用立方根探究规律】.................................................................13

，举一反三

【知识点立方根的概念及性质】

（1）一般地，如果一个数的立方等于那么这个数叫做”的立方根或三次方根。即如果.P二小那么X叫做

。的立方根，记作D。即工二江。

（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.

【题型1立方根的性质与数轴的综合】

【例1】（2023春•江苏泰州•七年级靖江市靖城中学校考期中）如图，a,b,c是数轴上三个点A、B、C所

对应的实数.试化简：Vb^+\a-b\-7（a+b）3-\b-c\.

।।।।»

BAOC

【答案】-2b-c.

【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里和根号下式子的符号，利用绝对值的代数意义化简，去括号合

并即可得到结果.

【详解】解.：根据题意得：b<0,a-b>0,a+b<0,b-cVO,

则原式二-b+a-b-a-b+b-c

=-2b-c.

【点睛】此题考查了开平方，开立方绝对值化简运算，判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键.

【变式1-1］（2023春・上海•七年级专题练习）已知点A是色的算术平方根，点B的立方是在数轴上描

427

出点人和点8,并求出4与8两点的距离.

-3-2-10123

【答案】画图见解析：两点距离会

【分析】根据算术平方根和立方根的定义计算求值即可；

【详解】解：•・•点A是个的算术平方根，

4

・••点4所对应的数为也

•・•点5的立方是一

・••点8所对应的数为一|,

在数轴上描出点A和点8为：

BA

114111▲!4

-3-2-l2O12_53

'7~2

因此48之间的距离为：（（-；）=:,

236

答：4与B两点的距离为提

6

【点睛】本题考杳了算术平方根：如果一个正数的平方等于小那么这个正数叫做。的算术平方根；立方根:

如果一个数的立方等于。，那么这个数叫做4的立方根（或三次方根），正数只有一个正的立方根，负数只

有一个负的立方根，零的立方根为零：数轴上两点距离:右边的数•左边的数.

【变式1-2]（2023春•四川成都・七年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，数轴上的点A所表示的数为X,

则7-10的立方根为.

【答案】-2

【分析】根据数轴上点的特点和相关线段的长，即知表示。的点和A之间的线段的长，进而可推出点A所

表示的数，代入/-10进行计算，再求立方根即可.

【详解】解：由图可知，x=—四.

xI2-10=-8,

-8立方根是『=-2,

【点睛】本题主要考查的就是数轴上点所表示的数，立方根，属于基础题型.

【变式1-3】(2023春•七年级单元测试)把下列各数在数轴上表示，并用“V”号把它们连接起来.

|-3|.0,-V4,V^IZS,(-1产22

II■II1]ID■IA

-5-4-3-2-1012345

【答案】见解析

【分析】先利用绝对值的性质、有理数的乘方、平方根与立方根，将各数进行整理，并标在数轴上，再从左

到右用“V”号把它们连接即可.

【详解】解：|-3|=3,-V4=-2,AAT25=-5,(-1)2022=1,

将各数表示在数轴上为：

X125-y/4O(-l)2022|-3|

III1IIII1

-5-4-3-2-1012345

用“V”号把它们连接起来为：7^125<-V4<0<(-1)2。22<|-3|.

【点睛】本题考查数轴上的点表示数、平方根与立方根、绝对值的性质、利用数轴比较大小等知识，先将各

数进行整理是解决本题的关键.

【题型2根据立方根的性质求字母的值】

【例2】(2023春.全国.七年级期中)已知。2=(_3)2,13a-2b+l/a+b=0,求代数式2a2-b的值.

【答案】6或30

【分析】根据立方根的性质可得3a-2加-(〃+〃)，从而得到〃=4«.然后再代入，即可求解.

【详解】解：・・・次=(_3)2,

:.。=±3.

y/3a-2h+Va+b=0,

/.斐3a-2b=-Va+b,

:.3a-2h=-(a+b),解得b=4a.

当。=3时，b=\2t此时2a2)=2x32-12=6；

当Q=-3时,"12,此时2a2力=2X(-3)2-(-12)=30.

综上所述，代数式2a2-b的值是6或30.

【变式2-11(2023春・浙江宁波•七年级浙江省邺州区宋诏桥中学校考期中)若实数a,b满足仿+姊=-2.请

（2）若vr』与我FK互为相反数，求1-①的值.

【答案】（1）。=0或±1或±企；（2）1-Vft=-1

【分析】（1）直接利用立方根的性质分析得出答案；

（2）利用相反数、立方根的性质求出b的值，代入计算即可求解.

【详解】解：（1）立方根等于它本身的数有0,1,-1.

当1一。2=0时，a2=1,Mcz=±1；

当1-Q2=I时，小=0,则。=o；

当1—a2=-1时M—2,则a=+V2.

所以a的值为0或±1或土&.

（2）因为VFR与怖二5互为相反数.

所以1-2b+3b-5=0,所以b=4.

所以1—y[b=1—>/4=1—2=-1.

【点睛】本题考查相反数，立方根和算术平方根的性质，要掌握一些特殊数字的特殊性质，如1,-1和0.

【题型3根据立方根的定义解方程】

【例3】（2023春・吉林•七年级校联考期中）求x的值：（%+4）3-64=0.

【答案】%=0

【分析】根据立方根的定义求解.

【详解】（%+4）3-64=0

（x+4）3=64,

x+4=4

x=0

【点睛】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键，如果一个数的立方等于小那么这个数叫做

〃的立方根或三次方根.

【变式3-1]（2023•七年级单元测试）（1）若（工一3）2=169,则x的值为；

⑵若（标-1）3=—8,则x的值为.

【答案】16或一10

【分析】由平方根及立方根的定义即可求解.

【详解】•.•（X—3）2=169,，x-3=13或x-3=-13,即x=16或一10；

V(2x—1)3=—8,.*.2x—l=-2>x=--.

【点睛】此题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握这两个定义是解答问题的关键.

【变式3-2】(2023春・吉林白城•七年级校联考阶段练习)已知一个正数的两个不同的平方根分别是Q+7与

3a-11.

⑴求。的值；

(2)求关于A的方程收3-125=U的解.

【答案】(l)a=1

(2)x=5

【分析】(1)根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数列式求解即可；

(2)根据立方根的定义求解即可.

【详解】(1)解：•・•一个正数的两个不同的平方根分别是a+7与3a-11,

/.a+74-3a—11=0»

解得：Q=l.

(2)解：当a=l时，/一125=0,即4=125,

解得：x=5.

【点睛】本题主要考查了平方根的性质、立方根的定义等知识点，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方

根互为相反数是解题的关键.

【变式3-3](2023春•七年级课时练习)求下列各式中x的值.

(1)(%-1)3=-8；

(2)/+1=一枭

(3)12%+37=54.

【答案】(1次=一1

(2)x=-1

(3)x=1

【分析】(1)直接利用立方根的定义求解即可；

(2)方程先变形为二=一黑，然后利用立方根的定义求解即可；

(3)方程先变形为(2%+3)3=216,然后利用立方根的定义求解即可.

【详解】（1）解：（％-1）3=-8,

：.x-l=-2,

:.x=-1；

（）解：3

2x+l=--27,

・・・7=一经，

27

.5

・・《=一］；

（3）解：2（2%+3尸=54,

4

•••（2%+3尸=216,

/.2x4-3=6.

・3

・•％=一.

2

【点睛】本题考查了立方根以及解方程，正确掌握立方根的定义是解题的关键.

【题型4与立方根有关的计算】

【例4】（2023•全国•七年级专题练习）如图，小明设计了一个计算程序，当输入x的值为-5时，则输出的值

为（）

|输—►|加上—►|乘以-21—►取。.方根|—►|谶去—►|输出

A.-1B.-2C.-3D.3

【答案】C

【分析】根据流程图按步骤求解即可.

【详解】解:根据流程图可得7（-5+9）X（-2）-1

=V4x（-2）-l

=V-S-1

=-2-1

=-3.

故选C.

【点睛】本题考杳了根据流程图计算和立方根的运算，解决本题的关键是看懂流程图并正确的计算.

【变式4-1】（2023春•四川成都・七年级校考期中）计算：证一手1=.

【答案】I

【分析】根据立方根的意义求出立方根，再进行减法运算即可.

［详解］解：泥一，^=2

故答案为：

【点睛】本题考兖求一个数的立方根，正确计算是解题的关键.

【变式4-2】(2023春・全国•七年级期中)若某自然数的立方根为a,则它前面与其相邻的自然数的立方根是

()

A.a-1B.Va^lC.Va3-1D.a3-1

【答案】C

【分析】先求出该自然数，再求出与其相邻的自然数的立方根即可.

【详解】解：•・•某自然数的立方根为a,

・••该自然为

,它前面与其相邻的自然数的立方根是标工；

故选C.

【点睛】本题考查求一个数的立方根.熟练掌握“.方根的定义：一个数％的立方为Q,则》叫做a的立.方根，是

解题的关键.

【变式4-3］(2023春•全国•七年级专题练习)定义新运算：对任意实数a、b,都有azxb=a-b2,例如，

3A4=3-42=-13,那么1)A3=.

【答案】-2

【分析】根据题目所给的定义新运算，先求出(2A1)的值，再求出(2al)A3的值，最后求出(241)A3的

立方根即可.

【详解】解：Q△b=a—力2,

(2△1)=2-I2=1,

1A3=1-32=-8,

•••V(2△1)△3=—2,

故答案为：一2.

【点睛】本题考查了新定义运算，立方根的求法，解题的关键是根据题意得到算式，然后由立方根的运算法

则进行求解即可.

【题型5算术平方根、平方根、立方根的综合应用】

【例5】(2023春.浙江宁波.七年级统考期中)已知-8的平方等于小〃的平方等于121,。的立方等于-27,

d的算术平方根为5.

(1)写出a,b,c,d的值；

(2)求d+3c的平方根；

(3)求Q-/+c+d的值.

【答案】(1)a=64,b=±ll,c=-3,d=25；(2)它的平方根为±4；(3)-35

【分析】(1)根据乘方、算术平方根、平方根与立方根定义得出a，b,c,d的值；

(2)把c,d的值代入d+3c中求值，再求平方根即可；

(3)把a,b,c,d的值；代入a-bz+c+dj4,即可求值.

t详解】(1)由题意得，a—64,b—±11,c=-3,d—25；

(2)当卜=-3(=25时,

d+3c=25+3x(-3)=25-9=16,

因此它的平方根为±4；

(3)当Q=64,匕=±ll,c=-3,d=25时，

a-d2+c+d=64-121-3+25=-35.

【点睛】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，求出a、b、c、d的值是解题的关键.

【变式5-1](2023春・河南商丘•七年级统考期中)2a-1的平方根为±3,3a-b+1的立方根为2,则

+26+1的值为()

A.-3B.3C.±3D.不确定

【答案】B

【分析】根据平方根定义立方根定义列式求出小小代入求解即可得到答案；

【详解】解：・・・2Q—1的平方根为±3,3Q-8+1的立方根为2,

：.2a-1=(±3)2=9,3a-/?+l=23,

解得：a=5,6=8,

・•・V2a+2b+1=V2x5+2x8+l=V27=3,

故选B；

【点睛】本题考查平方根的定义，立方根的定义，解题的关键是跟据定义列式求解.

【变式5-2](2023春七年级单元测试)简答：

(1)设必+64+面-27|=0,求(a+-)2的值；

(2)已知225的算术平方根是〃,-512的立方根是〃，求j2a《b+2的值.

【答案】(1)1;(2)6.

【分析】(1)根据算术平方根及绝对值的非负性可求出a及b的值，进而可得出答案；

(2)首先根据算术平方根和立方根的定义求得a、b的值，然后将a、b的值代入化简即可.

【详解】(1)由题意知:/+64=。/'-27=0,

解得〃=-4，=3.

A(a+/?)2=(-4+3)2=(-l)2=l-

(2)VV225=15=fl,V:512=-8=Z>,

；・侬-”+2=^2x15-^x(-8)+2=V36=6.

【点睛】本题主要考查的是算术平方根、立方根的定义根据算术平方根和立方根的定义求得a、b的值是解

题的关键.

【变式5-3】(2023春・山东济宁•七年级统考期中)己知：一个正数x的两个平方根分别是Q+3与2a-15,

V2b—1=13.

⑴求x的值；

(2)求a+b-l的立方根.

【答案】(1口=49

⑵帼

【分析】(1)根据平方根的定义可得Q+3+2。-15=0,求出〃即可解决问题；

(2)先由算术平方根的定义求出山即可求出Q+b-1,再根据立方根的定义解答.

【详解】(I)解：因为一个正数/的两个平方根分别是Q+3与2Q-15,

所以a+3十2a-15=0,

解得：Q=4,

所以正数%=(3+4)2=49：

(2)解：因为=13,

所以2b-1=169,

所以6=85,

所以Q+b-l=4+85-l=88,

所以a+b-1的立方根是帼.

【点睛】本题考查了平方根和立方根的知识，属于基础题型，熟知二者的概念及性质是解题的关键.

【题型6利用立方根的定义解决实际问题】

【例6】（2023・浙江•七年级假期作业）如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正方体和小正方体的体

枳分别为125cm3和27cm3,现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面枳是（）cm2.

B.186C.195D.204

【答案】B

【分析】先求出大正方体和小正方体的棱长，再求出零件的表面积即可求解.

【详解】解：•・•大正方体的体积为125cm3,小正方体的体积为27cm3,

•••大正方体的棱长为5cm,小正方体的棱长为3cm,

•••大正方体的每个表面的面积为25cm2,小正方体的每个表面的面积为9cm2,

，这个零件的表面积为：25x6+9x4=186（cm2）.

・•・要给这个零件的表面刷上油漆，则所需刷油漆的面积为186cm2.

故选：B.

【点睛】本题考查立方根，表面积.理解题意是解题的关键.

【变式6-1］（2023春・浙江金华•七年级校考阶段练习）如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸

板拼接而成的，已知一张长方形纸板的面积为162cm2.

⑴求正方形纸板的边长；

（2）若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343cm3的正方体无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够

用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用，求缺少的硬纸片的面积.

【答案】(1)18

(2)够用,剩余79平方厘米

【分析】(1)根据正方形的面积公式进行解答；

(2)由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答.

【详解】(1)依题意得：V162x2=18(cm),即：正方形纸板的边长为18厘米：

(2)依题意得:V343=7(cm),

则剪切纸板的面积=7x7x5=245(cnr),

剩余纸板的面积=324-245=79(cm2)

即剩余的正方形纸板的面积为79平方厘米.

【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式.

【变式6-2](2023春•安徽淮南•匕年级统考阶段练习)要生产一种容积为3GTT升的球形容器，这种球形的半

径是多少分米？(球的体积公式是^=3九内,其中R是球的半径).

【答案】这种球形的半径是3分米

【分析】根据球的体积公式列式求解即可；

【详解】解：设这种球形的半径是R,由题意，得：

*3=367T,

：.R3=27,

:・R=V27=3(分米)；

答：这种球形的半径是3分米；

【点睛】本题考查立方根.熟练掌握立方根的定义是解题的关键.

【变式6-3](2023春・全国•七年级专题练习)图1是由27个同样大小的立方体组成的魔方，体积为27

(1)求出这个魔方的棱长.

(2)图2是这个魔方的一个面，图中的阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长.

【答案】(1)3

(2)5：V5

【分析】(1)立方体的体积等于棱长的3次方，开立方即可得出棱长：

(2)根据魔方的棱长为3,所以小立方体的棱长为1,阴影部分由大正方形的面积减去四个三角形的面积即

可；开平方即可求出边长.

【详解】(1)解：V27=3

・•・这个魔方的棱长是3.

(2)。魔方的棱长为3

，小立方体的棱长为1,

，S阴影=32—(Ix2-e-2)x4=5

・•・阴影部分的边长是遥

【点睛】本题考查的是立方根及算术平方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的

棱长.

【题型7利用立方根探究规律】

【例7】(2023春・广东珠海•七年级珠海市九洲中学校考期中)据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访

问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个整数的立方是59319,求这个整数.华罗

庚脱口而出：“39•”邻座的乘客十分惊奇，忙间计算的奥妙.

你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的同题试一试：

(I)由io?=iooo,io。？=loo。。。。，你能确定V5变再是几位数吗？

(2)由59319的个位上的数是9,你能确定通克西的个位上的数是几吗？

(3)如果划去59319后面的三位319得到数59,而3?=27,43=64,由此你能确定V5无眄的上位上的数

是儿吗？

(4)已知19683,110592都是整数的立方，请你按照上述方法确定它们的立方根.

【答案】⑴两位数；⑵9；(3)3：(4)27,48

【分析】(1)根据59319大于1000而小于1000000,即可确定59319的立方根是两位数；

(2)根据一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数，据此即可确定；

(3)根据数的立方的计算方法即可确定；

(4)根据(1)(2)(3)即可得到答案.

【详解】解：（1）V1000<59319<100（X）00,

A10<V59319<100,

.丁北死诃是两位数；

（2）只有个位上的数是9的数的立方的个位上的数依然是9,

:.迩交西的个位上的数是9；

（3）V27<59<64,

A3<V59<4,

・•.炽丽的十位上的数是3.

（4）经过分析可得，19683的立方根是两位数，19683的立方根的个位上的数字是7,十位上的数字是2,

故19683的立方根是27：同理可得，110592的立方根是48.

【点睛】本题主要考查了立方根以及数的立方，理解一个数的立方的个位.上的数就是这个数的个位上的数的

立方的个位上的数足解题的美键.

【变式7-1］（2023春・广东汕尾•七年级华中师范大学海丰附属学校校考期中）探索规律：

⑴计算：

©V-125=,V125=；

®V-8=>V8=.

⑵归纳：由（1）的计算可得吃=.

（3）利用（2）探索出的规律，解答下题.

若4=1与麻忑互为相反数，求x的值.

【答案】（1）①-5,5：②・2,2

（2）-Va

⑶“I

【分析】（1）根据立方根的定义解答即可；

（2）根据（I）总结规律即可解答；

（3）根据（2）所得规律以及（3）的已知条件可得（片1）+（2A-3）=0,然后求解即可.

（1）解：①昨近=-5,V125=5；②g=-2,V8=2.故答案为①.5,5；②22.

（2）解：由（I）的计算可归纳：口二一遍故答案为一遍.

（3）解：—1与12x—3互为相反数,Vx—l+）2x—3=0,（x-1）+（2x-3）=0,解得：x=-.

【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根、数字规律以及相反数的意义等知识点，灵活运用相关知识成为

解答本题的关键.

【变式7-2](2023•全国•七年级假期作业)观察下列规律回答问题：V=^001=-0.1,口=-1,茅=诃丽=

-io,Vo^ooi=o.i,VT=1,VTooo=10...

(I)MVO.OOOOOI=；V10^=；按上述规律，已知数a小数点的移动与它的立方根裔的小数点移动

间有何规律？

⑵已知以=1.587,若6=-01587,用含x的代数式表示y,则丫=；

(3)根据规律写出正与a的大小情况.

【答案】⑴0.01、100

(2)--

(3)当Q<—1或0<a<1时，Va>a；当Q=-1或Q=1时，yfa=a；当—1Va<。或Q>1时，\[a<a.

【分析】(1)根据立方根的概念进行求解、归纳；

(2)运用(I)题规律进行求解；

(3)根据题目中求立方根的结果进行规律归纳.

【详解】(1)解：Vo.oooooi=0.01：VTo^=wo；

按上述规律，被开方数小数点向右(