专题32 图形的旋转【十大题型】（举一反三）（浙教版）（解析版）

专题3.2图形的旋转【十大题型】

【浙教版】

，题型梳理

【逑型I生活中的旋转现象】..........................................................................1

【题型2判断一个图形旋转而成的图案】...............................................................3

【题型3找旋转中心、旋转角、对应点】...............................................................5

【题型4利用旋转的性质证明】.......................................................................8

【题型5利用旋转的性质求解】.......................................................................15

【题型6判断旋转对称图形】........................................................................21

【题型7作图-旋转变换】.............................................................................23

【题型8求饶某点旋转后坐标】......................................................................30

【题型9旋转中的规律探究】.........................................................................35

【题型10旋转中的最值问题】.......................................................................38

，举一反三

【知识点1旋转的定义】

在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点o转动一个角度，就叫做图形的旋转，点o叫做旋转中

心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。

【题型1生活中的旋转现象】

【例1】（2023春・广东揭阳・九年级统考期中）下列现象：①地下水位逐年下降，②传送带的移动，③方向

盘的转动，④水龙头的转动；其中属于旋转的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】C

【分析】根据旋转的概念解答即可.

【详解】解•：①地下水位逐年下降，不是旋转现象；

②传送带的移动，不是旋转现象：

③方向盘的转动，是旋转现象；

④水龙头的转动，是旋转现象，

故选:C.

【点睛】本题考查了旋转的判断，解题的关键是掌握旋转的概念：在平面内，将一个图形沿某一个定点转动

一个角度，这样的图形运动称为旋转.

【变式1-1］（2023春・江苏•九年级期中）将数字“6”旋转180。，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°,得到数

字“6”，现将数字“689”整体旋转180°,得到的数字是.

【答案】689

【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案.

【详解】解：将数字“689”整体旋转180。,得到的数字是：689.

故答案为:689.

【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键.

【变式1-2］（2021春・广东广州・九年级统考期末）“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接

收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上.现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点A逆时针

最小旋转（）可以使得接收光能最多.

太阳光

A.46°B.44°C.36°D.54°

【答案】B

【分析】根据垂直的定义和旋转方向，计算可得.

【详解】解：由题意可得：

若要太阳光板于太阳光垂直，

则需要绕点A逆时针旋转90。-（180°-134°）=44°,

故选:B.

【点睛】本题考查了实际生活中的垂直的定义，旋转的定义，解题的关键是理解旋转分为顺时针和逆时针.

【变式1-3］（2020秋.九年级课时练习）摩天轮上以等间隔的方式设置36个车席，车厢依顺时针方向分别

编号为I号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车

厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（）

旋

转

方

向

由2

A.14分钟B.20分钟C.15分钟D.三分钟

【答案】C

【分析】先求出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可.

【详解】解•：些等2'30=15（分钟）.

所以经过20分钟后，3号车厢才会运行到最高点.

故选C.

【点睛】本题主要考查了生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例

是解答本题的关键.

【知识点2旋转的性质】

（1）对应点到旋转中心的距离相等：

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

（3）旋转前后的图形全等。

理解以下几点：

（I）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。

（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。

【题型2判断一个图形旋转而成的图案】

【例2】（2020春・山西晋城•九年级统考期末）如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（）

A.顺时针B.逆时针

C.顺时针或逆时针D.不能确定

【答案】B

【分析】根据图示进行分析解答即可二

【详解】齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转，齿轮D以顺时

针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转，

故选B.

图I

A.平移B.翻折C.旋转D.以上三种都不对

【答案】C

【详解】解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的,

故选:C.

【点睛】本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度,

叫做图形的旋转）是解题关键.

【变式2-3］（2023春•九年级课时练习）如图，下列的图案是由什么基本图案经怎样的旋转得到的，把它画

出来？

【答案】见解析

【分析】根据旋转的性质进行求解即可.

以上基本图案绕着对称轴旋转一周得到.

【点睛】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质正确作图是解本题的关键.

【题型3找旋转中心、旋转角、对应点】

【例3】（2023春・福建漳州•九年级统考期末）如图，在7x5方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点

三角形乙，则其旋转中心是（）

A.点MB.点、NC.点〃D.点Q

【答案】A

【分析】先确定点A与点£为对应点，点8和点尸为对应点，则根据旋转的性质得旋转中心在AE的垂直平

分线上，也在8F的垂直平分线上，所以作的垂直平分线和8尸的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心.

【详解】解：•・•甲经过旋转后得到乙，

・••点A与点E为对应点，点8和点尸为对应点，

・•・旋转中心在AE的垂直平分线上，也在8尸的垂直平分线上，

作AE的垂直平分线和B尸的垂直平分线，它们的交点为M点，如图，

即旋转中心为M点.

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋

转角；旋转前、后的图形全等.

【变式3-1](2022秋•全国•九年级专题练习)如图，4ABe和ZL4DC都是等边三角形.

(I)2MBe沿着所在的直线翻折能与440。重合；

(2)如果ZL4BC旋转后能与zMOC重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是；

(3)请说出2中一种旋转的旋转角的度数.

【答案】（1）AC；（2）.点4、点C或者线段AC的中点；（3）60。

【分析】（1）因为ZL4BC和41DC有公共边AC,翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将△ABC旋

转后与ZL4OC重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心：（3）以点A、点C为旋转中心时都旋转

60%以AC中点旋转时旋转180°

【详解】（l）・・・2L48C和41。。都是等边三角形，

•••44BC和44DC是全等三角形，

/.△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合.

故填AC;

⑵将仆ABC旋转后与ZMDC重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60。或以点C为旋转中心顺时针旋

转60°,或以AC的中点为旋转中心旋转180。即可；

（3）以点A、点C为旋转中心时都旋转60。，以AC中点旋转时旋转180。.

【点睛】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可.

【变式3-2]（2022秋.河北石家庄.九年级统考期末）如图，正方形旋转后能与正方形COE严重合，那

么点A,B,C,。中，可以作为旋转中心的有个.

ADE

BCF

【答案】2.

【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心.

【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90。能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D；

把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90。能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C：

综上，可以作为旋转中心的有2个.

故答案为；2.

【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋

转角；旋转前、后的图形全等.也考查了正方形的性质.

【变式3-3］（2023春.山东荷泽.九年级统考期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点

4、8都在格点上.线段A8绕着某一定点顺时针旋转一个角度a（0。VaV180。）后,得到线段£夕（点4、

【答案】90°

【分析】首根据旋转的性质确定旋转中心为点。，即可解决问题.

【详解】解：如图，连接44,8夕,由网格作44,8夕的垂直平分线,交于点O,

工点。为旋转中心，

：.LAOA'=90°,即旋转角为90。，

故答案为：90°.

【点睛】本题主要考查了旋转角度的确定，画出图形能快速解决问题.

【题型4利用旋转的性质证明】

【例4】（2023春・河南南阳•九年级统考期末）在△48。中，AC=CB,^ACB=90°,点。为△ABC内一点,

连接力。、CD.

图1图2

⑴把△/1(/〃逆时针的转得到了△C8E.如图1,欣转中心是点,旋转角是.

(2)在(1)的条件下，延长40交BE于心求证：AF1BE.

⑶在图I中，若NC4O=30。，把绕C点逆时针旋转得到AECB,如图2,若旋转一周，当旋转角是多

少度时，DEWAC,直接写出结果.

【答案】⑴C,90°

⑵证明见解析•

(3)30°或210。

【分析】(1)根据图形旋转的概念I可答即可；

(2)由旋转的性质可得，。40=47BE,对顶角乙1MC=4尸M8,再根据三角形内角和定理推tU/lFB=

乙4cB=90°,结论即可得证;

(3)结合图形，由平行线的性质盯可求解.

【详解】(1)解：在图1中，点。是三角形47。的旋转中心，旋转角为90。；

故答案为：C,90。

(2)证明：由△4CD逆时针旋转得到了aCBE可知，^CBE=/.CAD

在ACAM中，Z-ACB=180°-/.CAD-^AMC,

在中，Z.MFB=180°-Z-CBE-Z-FMB,

[fdzzlMC="MB

:.AMFB=乙ACB=90°,

即力球1BE

(3)解：如图,依题意得乙CEO=30。,

当点。在△ABC内部时，

vDEIIAC,

Z/4CE=乙CED=30°,

当点。在△4BC外部时,

vD'E'||AC,

•••NACE'=180°-zF=150°,

•••△D'CE'绕点C旋转360。-乙ACE，=360°-150°=210%

综上所述，当△ACD旋转角是30。或210。时，DEWAC.

故答案为:30。或210。

//

/

【点睛】本题考查了图形的旋转及性质，垂直定义，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，正确理解

相关的概念及性质是解决本题的关键.

【变式4-1］（2023秋.山西阳泉.九年级校考期末）把两个全等的等腰直角三角板川?C和EFG（其直角边均为

4）叠放在一起（如图1）,且使三角板£TG的直角顶点G与三角板48c的斜边中点O重合，现将三角板EFG

绕点。按顺时针方向旋转（旋转角a满足条件：0°<a<90°）,四边形CHGK是旋转过程中两三角形的重

叠部分（如图2）.在上述旋转过程中.

（1）8H与CK有怎样的数量关系？

⑵四边形C//GK的面积有何变化?请证明你的发现.

【答案】（l）BH=CK

（2）四边形CHGK的面积在旋转过程中没有变化，始终为4,证明见解析

【分析】（1）先由ASA证出ACGK三△8GH,再根据全等三角形的性质得出8H=CK.

（2）四边形CHGK的面积不变，面积为4.利用全等三角形的性质证明即可.

【详解】（1）解：结论：BH=CK.

理由：•・•点。是等腰直角三角板49c斜边中点，

Z.B=乙GCK=45。，BG=CG,

由旋转的性质，知N8G，=NCGK,

:.&BGH三△CGK（ASA）,

:.BH=CK.

（2）四边形C〃GK的面枳不变，面积为4.

理由：MBGH三ACGK,

"S&BHG=S^cGK»

S四边形CHGK=S.GB=尹M8C=1x^x4x4=4«

【点睛】此题是几何变换的综合题，主要考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是掌握旋转的性质：对

应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变.

【变式4-2］（2023秋•山西晋城•九年级统考期末）综合与探究

在AA8C中，AB=AC,4CAB的角度记为a.

①②

⑴操作与证明；如图①，点。为边BC上一动点，连接/W,将线段力。绕点4逆时针旋转角度a至4E位置，连

接D£,CE.求证：BD=CE；

（2）探究与发现：如图②，若a=90。，点。变为BC延长线上•动点，连接力。将线段力。绕点力逆时针旋转角

度a至/1E位置，连接OE,CE.可以发现；线段BD和CE的数量关系是；

(3)判断与思考；判断(2)中线段8。和CE的位置关系，并说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)B。=CE

(3)8。ICE,理解见解析

【分析】(1)由旋转的性质得=乙DAEjCAB,从而证明△B40三△&4E,即可得到结论;

(2)同第(I)小题的方法，证明△84。三△%!£•,即可得到结论；

(3)由(2)可得△840三△&4E,从而得=Z4CE=45。，进而即可得到结论.

【详解】(I)证明：•・•线段/。绕点力逆时针旋转角度。至4E位置，^CAB=a,

,.AD=AEZ,DAE=乙CAB=a,

-Z.CAD=LDAE-/CAD,

：^BAD=ZLCAE,

在ABAD和△CHE中，

AB=AC

/.BAD=Z.CAE,

AD=AE

“BAD=△CAE(SAS'),

:.BD=CE.

(2)解：Va=90°,

由旋转可知：AD=AE,Z-DAE=Z-CAB=90°,

.\^CAB+/.CAD=Z.DAE+Z.CAD.

•"BAD=/,CAE,

在ABAD和△C4E中，

AB=AC

Z.BAD=tLCAE>

.AD=AE

"BAD=△CAE(SAS),

:・BD=CE.

故答案为：BD=CE.

(3)BD1CE,理由如下：

•：£CAB=a=90°,AB=AC,

:.乙B=Z.ACB=45°,

由（2）可得：2BADCAE,

：,LACE==45°,

・"BCE=乙ACB+Z.ACE=45°-45°=90°,

・・・BZ）1CE.

【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质.掌握三角形全等的证明是解

题的关键.

【变式4-3]（2022秋•上海静安・九年级上海市民办扬波中学校考期中）己知：中，^ACB=90°,

乙ABC=60。，将△ABC绕点8按顺时针方向旋转.

（1）当C转到48边上点C'位置时，A转到4,（如图I所示）直线CC'和/M'相交于点D,试判断线段4。和线段

4。之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）将RS/1BC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理

由.

【答案】（1）40=40,理由见详解

（2）仍然成立，理由见详解

【分析】（1）易证△BCC%A844'都是等边三角形，从而可以求出乙AC'。=乙BAD=60°,/-DCA'=^DArC=

30c,进而可以证到4C=0C'=4D；

（2）过点力作4E||A'C',交CO的延长线于点凡由“ASZT可证△4OE"三△4OC',可得AO=4'D；

【详解】（1）40=4。.理由如下：如图1,

•••Rt△A'BC三Rt△ABC,

:.BC=BC',BA=BA',

•••/ABC'=乙ABC=60°,

BCC'^WL844'都是等边三角形,

:.Z.BAA1=Z.BC'C=60。，

V/.A'CB=90°,

・••Z.DCA'=30°,

•••Z.ACD=乙BC'C=60°,

/.ADC=60°,

•••Z.DA'C=30°,

Z.DAC=/-DCA,Z-DC'A1=ADA^1,

:.AD=DC',DC=DAr,

AD=ArD；

r

(2)仍然成立:AD=ADt

如图2：过点4作4EII4C',交CD的延长线于点E,=z.2»Z.F=z.3»

W2

由旋转可得，AC=A'C\BC=BC',

AN4=Z.S,

•••Z.ACB=^A'CB=90°,

z5+z6=z.3+z.4=90°,

•••z3=z.6>

•••zE=z.6»

AE=AC=A'C,

在211AoE与△A'OC'中,

(Z1=Z2

\AE=A'C,

(ZE=Z3

•••△40E三△4。。'(ASA),

AD=4D：

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边

三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键.

【题型5利用旋转的性质求解】

【例5】（2023秋・安徽滁州•九年级校联考期末）如图，正方形ABC。中，E为DC边上一点、,且。f=2.将

4E绕点E逆时针旋转90。得到石尸，连接AF,/C.则线段”"的长度是（）

A.V2B.2V2C.2D.V5

【答案】B

【分析】延长。C,过点/作H/JLDC于点H,证明三△£*”「，得出尸H=DE=2,AD=EH,证明CH=

DE,根据勾股定理求出CF=VCH24-FH2=2或即可.

【详解】解：延长。C,过点尸作于点”，如图所示：

则，"=90°,

根据旋转可知，AE=EF,^AEF=90°,

•・•四边形48。。为正方形，

AzD=90°,AD=CD,

：.LAED+乙FEH=乙FEH+乙EFH=90%

：.LAED=乙EFH,

VzD=Z.W=90%

：.LADE三AEHF,

:,FH=DE=2,AD=EH,

*：AD=CD,

:,EH=CD,

:・DC-EC=EH-EC,

：,CH=DE,

工在Rt△C/，中，根据勾股定理得：CF=y/CH2+FH2=2&.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是

作出辅助线，构造全等三角形，证明

【变式5-1]（2022秋•河南许昌・九年级许昌市第一中学校考期末）如图，在△A8C中，AB=2,BC=3.6,

乙。二60。，将A/WC绕点片顺时针旋转度得到△AOE,当点〃的对应点。恰好落在3c边上时，贝北。的长为

A.1.4B.1.6C.1.8D.2

【答案】B

【分析】根据旋转变换的性质得到AD=48,根据等边三角形的性质解答即可.

【详解】解：由旋转的性质可知，AD=AB,

•:乙B=60°,AD=AB,

・・・A4D8为等边三角形，

；・BD=AB=2,

：.CD=CB-BD=1.6,

故选:B.

【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键.

【变式5-2]（2023春江苏淮安•九年级统考期末）如图1,在平行四边形/8C0中，4。=3。=4,BD1AD,

点E为对角线力C上一动点，连接DE,将0E绕点。逆时针旋转90。得到OF,连接

(1)求证8尸=/lE；

⑵若8F所在的直线交ACJ■•点M,求。M的长度；

(3)皿图2,当点尸落在△OBC的外部，构成四边形OEMF时，求四边形DEMF的面积.

【答案】(1)见解析

⑵等

(3)Y

【分析】(I)由“SAS”可证三△可得8F=4E；

(2)过。作ONJ.4。于N,由“AAS”可证△00N三△80M,可得0M=ON,由勾股定理可求4。的长，由面

积法可求DN的长，由勾股定理可求解；

(3)将AOEN绕点。逆时针旋转90。得到△。rG,通过证明四边形ONMG为正方形，即可求解.

【详解】⑴解:证明：•・・0E绕点。逆时针旋转90。得到DF,

•••DE=DF,^EDF=90°,

•••BD1AD,

•••Z.ADB=90°,

•••Z.ADE=Z.BDF,

vAD=BD,

.-.△/IDE=△80~(SAS),

:.BF=AEt

(2)如图，过。作DNJ.力。于N,

n

①

•••四边形ABC。是平行四边形，

:.AO=CO,BO=DO=2,

-AADEBDF,

Z.DAE=/.DBF,

•••Z.ADB=90°,Z.AOD=乙BOC,

•••"AE十^AOD=乙DBF十乙BOC=90°,

£BMO=90°,

vZ.DNO=Z.BMO=90°,乙DON=^BOM,BO=DO,

・••△DON三△BOM(AAS),

•••OM=ON,

vAD=4,DO=2,Z.ADB=90°,

•••AO=>JAD2+DO2=V22+42=2遍，

vS“00=-ADxDO=-xAOxDN,

22

.,2X44西

・•n•DN』=『

NO=\/DO2-DN2=等，

OM=ON=等；

(3)如图，过D作ON140于N,将△OEN绕点。逆时针旋转90。得到△DWG,

②

；.DG=DN,ADNE=Z.DGF=90°,Z-DEN=Z.DFG,

vZ.EDF=乙FME=90°,

:.々DEM+乙DFM=180°,

Z.DFG+乙DFM=180°,

•••点G,点/，点M三点共线，

V乙DGF=乙DNM=乙FMN=90°,

.•・四边形DNMG是矩形，

又•••DN=DG,

二四边形DNMG为正方形，

：・S四边形DEMF=$四边形MMG=M¥=T,

【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性

质，正方形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

【变式5-3］（2022秋・北京大兴•九年级校考期末）如图，在RtA/WC中，^ACB=90°,将△A8c绕点C顺时

针旋转得到△DEC,点3的对应点为E,点力的对应点。落在线段718上，连接BE.卜列结论：①DC平分乙ADE；

②&BDE=乙BCE；③BD1BE；®BC=DE.其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②®

【分析】利用等腰三角形的性质以及旋转不变性得出4A=ZCD4^A=^CDE,得出NC/L4=△CDE,即可

判断①，设8C,DE交于点心根据外角的性质得出"FE="CE+"EC=4F08+"8D,根据旋转的性

质得出41BC=40£C,进而即可判断②，根据旋转的的性质以及三角形内角和定理，证明

ZDBE+ZDCE=}SO°,即可判断③，根据旋转的性质，DE=AB,而48H8C,即可判断④，即可求解.

【详解】解：•••△DCE是由AAC8旋转得到，

：,CA=CD,LA=LCDE,

・,•乙4=Z.CDA,

：,£CDA=乙CDE,

平分乙4DE；

故①正确，

如图,设B&DE交于点F,

工人BFE=乙FCE+乙FEC=Z-FDB+乙FBD

♦・•旋转，

：.LABC=乙DEC,

:•乙BDE=^BCE,故②正确；

由旋转的性质可知，（ACD=LBCE,

•：CA=CD,CB=CE,

：.LCAD=/-CDA=乙CBE=乙CEB,

*：LABC+4CAB+Z-ACD+乙DCB=180°,

：.LABC+乙CBE+乙DCB+乙BCE=180°,

AzDCE+zDBF=180°,

'：z.DCE=90°,

:.乙DBE=90°,

：・BE1AB；

由旋转的性质，0E=4B,而力

：.BCHDE,

故答案为：①②③.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键.

【题型6判断旋转对称图形】

【例6】（2020秋・河南许昌・九年级统考期中）阅读理解并解决问题：一般地，如果把一个图形绕着一个定

点旋转一定角度a（a小于360。）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点

叫做旋转对称中心，a叫做这个旋转对称图形的一个旋转角.请依据上述定义解答下列问题：

（1）请写出一个旋转对称图形，这个图形有一个旋转角是90。，这个图形可以是；

（2）为了美化环境，某中学需要在一块正六边形空地上分别种植六种不同的花草，现将这块空地按下列要

求分成六块：①分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；②六块图形的面积相同；请你

按上述两个要求，分别在图中的两个正六边形中画出两种不同的分割方法（只要求画图正确，不写作法）.

【答案】（1）正方形（答案不唯一，例如正八边形、圆等）；（2）见解析

【分析】（1）根据旋转对称图形的定义解答即可；

（2）先作出正六边形的旋转中心，再根据图形既是轴对称图形又是旋转对称图形进行作图即可.

【详解】解・：（1）正方形（答案不唯［例如正八边形、圆等）；

故答案为：正方形（答案不唯一，例如正八边形、圆等）；

（2）如图所示：

【点睛】本题考查了轴对称图形和旋转对称图形的定义及作图，王确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的

关键.

【变式6-1］（2018春・福建泉州•九年级统考期末）某校在屠假放假之前举办了交通安全教育图片展活动.下

列四个交通标志图中，旋转对称形是（）

AA色AA

【答案】DcD

【详解】分析：根据旋转对称形和各图形的特点即可求解

A、B、C无论旋转多少度都不能与原图形重合，只有D旋转60。能够和原来的图形重合，故选D.

点睛：本题考查了旋转对称形：绕一个顶点旋转某一个度数后，仍然与原来的图形重合，解题的关键是充

分理解旋转对称形的性质.

【变式6-2］（2018秋・上海松江・九年级统考期末）在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中,

是旋转对称图形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形

叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心.旋转的角度叫做旋转角.解答即可.

【详解】解：在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形，只有等边三角形、正方形、正五边形是旋转对称

图形，共3个.

故选C

【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种

图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.

【变式6-3］（2018•山西吕梁•九年级统考期中）实践与操作：一股地，如果把一个图形绕着一个定点旋转一

定角度a（a小于360。）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转

对称中心，a叫做这个旋转对称图形的一个旋转角，请根据上述规定解答下列问题：

（1）请写出一个有一个旋转角是90。旋转对称图形，这个图形可以是」

（2）尺规作图：在图中的等边三角形内部作出•个图形，使作出的图形和这个等边三角形构成的整体既是

一个旋转对称图形又是一个轴对称图形（作出的图形川实线，作图过程用虚线，保留痕迹，不写做法）.

【答案】正方形（或正八边形或I词等）

【详解】试题分析：（1）根据一个图形绕着一个定点旋转90。后，能够与原来的图形重合，进行判断即可;

（2）先作出正三角形的旋转中心，再根据图形既是一个旋转对称图形，又是一个轴对称图形进行作图即可.

试题解析：（1）有一个旋转角是90。旋转对称图形，这个图形可以是正方形或正八边形或圆等（答案不唯

一），

（2）如图所示，（答案不唯一）

点睛：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360。）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做

旋转对称图形.常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等.

【知识点3利用旋转性质作图】

旋转有两条重要性质：

任意一对对应点与旋转中心所连纭段的夹角等于旋转角：

对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。

步骤可分为：

①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；

②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）

③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点；

④接：即连接到所连接的各点。

【题型7作图.旋转变换】

【例7】（2023秋・甘肃陇南•九年级统考期末）如图，△/1BC三个顶点的坐标分别为做1,1）,8（4,2）,C（3,4）.

(1)请画出△ABC绕原点旋转180。的△力2c2；并写出各点的坐标.

(2)在尤轴上求作一点P,使△/MS的周长最小，并直接写出点P的坐标.

【答案】(1)见解析,坐标为：42(-1,-1),12(-4,-2),。2(-3,-4)；

⑵(2,0)

【分析】Q)根据网格结构找出点人、B、C关于原点的乂寸称点(、%、Q的位置.，然后顺次连接即可；

(2)找出点A关于工轴的对•称点A,连接A8与无轴相交于一点，艰据轴对称确定最短路线问题，然后利用待

定系数法求48的解析式，求出与x轴的交点坐标可求点P的坐标.

【详解】(1)•••△A8C绕原点旋转180。得到△&82Q，即点A、8、C关于原点的对称点为%、4、G，

又力(1,1),8(4,2),6(3,4),

••力2(-1，-1)，82(—4,-2),C2(-3,-4)(

如图：顺次链接/、/、C2,△4B2Q即为所求；

⑵如图，作点4(1,1)关于x轴的对应点4(1,一1),连接48,点P即为AB与x轴的交点，此时△PAB的周

氏=AB+AP+DP=AB+40最短，

设AB的解析式为y=kx+b,过点4'与点B,把坐标代入解析式得：

(-l=k+b

(2=4k+b'

解需二2'

AS的解析式为y=%—2,

当＞=0时，x-2=0,

解得％=2.

此时点P坐标为(2,0).

【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，待定系数法求直线

解析式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.

【变式7-1](2023春・山东枣庄•九年级统考期中)在平面直角坐标系中，的位置如图所示，(每个小

方格都是边长为1个单位长度的正方形).

y

(1)洛△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△4]8]G

⑵将仆ABC绕着点A顺时针旋转90。，画出旋转后得到的△AB2c2；

(3)A4B20可看作由△必当的绕尸点旋转而成，点B],G的对应点分别为A,B2,C2,则点P的坐标为

【答案】(I)见解析

(2)见解析

(3)(-2,-2)

【分析】(1)先找到A、B、C对应点为、B[、6的位置，然后顺次连接4、B]、G即可；

(2)先找到8、C对应点外、Cz的位置，然后顺次连接力、为、。2即可；

(3)根据点P一定在A4的垂直平分线上，也在当务的垂直平分线上，可得到点P在直线％=-2上，设出

点P的坐标，利用勾股定理求解即可.

【详解】(1)解：如图所示，△4自6即为所求；

(2)解：如图所示，△人当伞即为所求；

八y

(3)解:由⑴(2)可知4(一5,1),%(2,4),%(4,-2),

•・・旋转中心一定在A4的垂直平分线上，也在以殳的垂直平分线上，

・,・点产即为的线段垂直平分线和&B2的线段垂直平分线的交点，

・•・点P在直线x=等=一2上，

设P(-2,m),

.•.PB/=(4-m)2,P%?=(-2-4)2+(-2-m)2,

yPB1=PB2,

:.(4-rri)2=(-2—4)2+(—2—m)2,

/.m2—8m+16=36+m2+4m+4,

解得m=-2,

，P(-2,-2),

故答案为:(-2,—2).

【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移和旋转，画旋转图形和平移图形，找旋转中心，勾股定理

等等，灵活运用所学知识是解题的关键.

【变式7-2](2023春•河南平顶山,九年级统考期末)如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1,小正方

形的顶点称作格点，△力BC的三个顶点都在格点上，把△力8c先向右平移6个单位，再向下平移4个单位得

△为为如，再将绕点G顺时针旋转90°得△力282G.结合所给的平面直角坐标系，回答下列问题:

(1)在平面直角坐标系中画出△Ai/Ci和△

(2)图中的△力282cl能不能通过顺时针旋转448。得到？如果可以，请写出旋转中心D的坐标及旋转角a的度

数(0。〈1〈180。)；如果不能，说明理由.

【答案】(1)见解析

⑵能,D(l,-2),a=90°

【分析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B,C的对应点儿、B］、G，然后顺次连接4、81、G即可;

(2)利用旋转方式分别作出4、瓦、G的对应点42、(2、G，然后顺次连接即可4、＜2、G；

(3)旋转对应图形对应点连线的中垂线的的交点即为旋转中心，据此求解即可.

【详解】(1)解:△4/16和△4232cl如图所示；

(2)解：如图所示，△48。可以绕点。(1,一2)顺时针旋转90度得到△4282G.

・•・旋转中心的坐标为。(1,一2),旋转角度a=90°.

【点睛】本题考查作图一旋转变换，平移变换等知以，根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相

等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的

图形，对应点连线都交于一点，交点即为旋转中心；确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移

距离；作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次

连接对应点即可得到平移后的图形.解题的关键是掌握旋转变换的性质，平移变换的性质.

【变式7-3】(2022春•四川达州・九年级校联考期中)如图，已知在平面直角坐标系内有皿-1,2),8(-3,1),

C(0,-1).

(1)画出△A8C向右平移三个单位的△力iBiG，并写出Bi的坐标：；

⑵洛绕C点逆时针方向旋转90。后得到△力2/。2，画出旋转后的图形，并写出为坐标：

(3)求(I)中△ABC所扫过的面积.

【答案】⑴图见解析，当(0,1)

⑵图见解析，％(-2,-4)

(3)12.5

【分析】(1)直接将三角形向右平移三格，再根据图中可直接得到答案；

(2)将三角形绕。点逆时针转90。，再根据图中可直接得到答案；

(3)由题意可得扫过的面积可表示为平行四边形力公的。的面积加三角形本身的面积，而三角形面机可用包

围住本身的一个正方形减去三个小三角形的面积，最后计算可直接得到答案.

【详解】(1)△&&&即为△48C向右平移三个单位所得，如图

y

故答案为：（o,i）.

（2）△&82。2即为44"绕。点逆时针方向旋转90。所得，如图

（3）由题意可得扫过的面积可表示为平行四边形力4G。的面积加三角形本身的面积，

而三角形面积可用包围住本身的一个正方形减去三个小三角形的面积,

则面积为：3x3+3x3-Txlx2-Txlx3-：x2x3=12.5

・人力8。扫过的面积：12.5.

【点睛】本题考查的是作图旋转变换，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键.

【题型8求饶某点旋转后坐标】

【例8】（2022秋•黑龙江牡丹江•九年级统考期末）菱形如图放置，点C坐标是（3,4）,先将菱形向左平

移6个单位长度，向上平移1个单位长度，然后沿“轴翻折，最后绕坐标原点。旋转90。得到菱形0218c的对

角线交点的对应点为点P，则点PH勺坐标是.

【答案】(-3,2)或(3,-2)

【分析】先由菱形的性质求出A点坐标，再由中点坐标公式求出对角线交点M坐标以及平移以后对应的点的

坐标，最后根据绕坐标原点。旋转90。求出P点坐标即可.

【详解】延长8C交1y轴于M连接08、AC交于点

•・•点C坐标是(3,4),

：,0N=4,CN=3,

：,0C=5,

,・,菱形048C,

：.0C=04=5,M为AC中点，

・•/点坐标(5,0),

・・・”点坐标(4,2),

・••将菱形向左平移6个单位长度，向上平移1个单位长度后M点对应坐标为(-2,3),

・•・再把点(-2,3)沿x轴翻折后对应点坐标为(一2,-3),

•••在坐标平面内绕点。旋转90。，

・••对应点横纵坐标绝对值互换作为对■应点的横纵坐标绝对值，再根据所在象限确定对应点坐标

・•・若是顺时针旋转，则对应点在第二象限，坐标为(-3,2),

若是逆时针旋转，则对应点在第囚象限，坐标为(3,-2),

综上所述，点P的坐标为(-3,2)或(3,・2),

故答案为：(-3,2)或(3,-2).

【点睛】本题考查了菱形的性质，电标与图形的变化，熟练掌握菱形的性质以及平移、旋转变换的性质是解

题的关键.

【变式8-1](2018•河北保定•九年级校联考期末)正方形/WCO在坐标系中的位置如图所示，将正方形A4CO

绕。点顺时针方向旋转90。后，C点的坐标为()

A.(-1,2)B.(2,0)C.(2,1)D.(2,-1)

【答案】D

【分析】利用网格特点和旋转的性质画出正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90。后所得的正方形CEFD,

则可得到C点的对应点的坐标.

【详解】如图，正方形ABCO绕。点顺时针方向旋转90。后得到正方形CEFO,则C点旋转后的对应点为产

(2,-1),

故选£).

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋

转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30。，45°,60°,90。，180。.

【变式8-2](2()23春・辽宁锦州•九年级统考期中)如图,将等边AO/IB放在平面直角坐标系中,A点坐标(1,0),

将A。43绕点A顺时针旋转60。，则旋转后点B的对应点夕的坐标为.

【分析】如图所示，过点以作1于〃，先由等边三角形的性质得到(M=08=AB=1,4648=乙AUB=

60。，再由旋转的性质得到4力8夕=4/1。8=60。，BB'=OB=1,进而证明BB'||。4再求出。〃，BH的

长即可求出点夕的坐标.

【详解】解：如图所示，过点8作BH_LOA于H.

：,OA=OB=AB=1,Z,OAB=LAOB=60°,

由旋转的性质可得乙4BB，=^AOB=60°,BB'=OF=1,

=4。AB,

：.BB'||OA,

*：BH1OA,

：.0H=AH=-OA=-

22f

:.BH=>JOB2-OH2=—,

2

•.•B'C+LT)-即B'G，T)

故答案为：修，y).

【点睛】本题主要考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

【变式8-3](2022秋・浙江金华・九年级校考期中)如图所示，直线y=-1+4与x轴，y轴分别交于A,B

«5

两点，把△/OB绕点A旋转90。后得到△21。，夕，则点夕的坐标是

【答案】(7,3)

【分析】先确定4(3,0),8(0,4)得到。4=3,。8=4,根据旋转性质，得到OS=3,0'e=4,0的||%轴,

计算即可.

【详解】•・•直线+4与x轴，y轴分别交于A,B两点,

••"(3,0),8(0,4),

：.0A=3,OB=4,

根据旋转性质，得到O'A=3,0'9=4,乙4。8==90。，

・・・0,81|工轴，

作B'Clx轴，垂足为C,

・・・四边形4。')。是矩形，

=AC=4,0'A=B'C=3,

：.OC=OA+AC=4+3=7,

・••点8'的坐标是(7,3).

故答案为：(7,3).

【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，旋转的性质，矩形的判定和性质，点的坐标，熟练掌握

一次函数与坐标轴的交点坐标，旋转的性质，矩形的判定和性质是解题的关键.

【题型9旋转中的规律探究】

【例9】(2022秋.内蒙占呼伦贝尔.九年级统考期末)如图，已知菱形。力BC的顶点。(0,0),8(2,2),若菱形

绕点。逆时针旋转，每秒旋转45。，则第60秒时，菱形的对角线交点。的坐标为.

【分析】转动前根据菱形的性质，可得。的坐标，根据旋转的性质，可得转动后。的坐标.

【详解】•••转动前菱形048c的顶点。(0,0),3(2,2),

•••。的坐标(1,1),

每秒旋转45。，则第60秒时得，

45cx60=2700。，

•••2700°+360。=7.5周，

・••0D与转动前位置比，移动了半周，

・•.此时。的坐标为(一1,一1).

故答案为(一1,一1).

【点睛】本题考查了旋转的性质，利用旋转的性质是解题的关键.

【变式9-1](2020秋•黑龙江•九年级校考期中)如图，将边长为1的正三角形为OP沿x轴正方向作无滑动的

连续反转，点P依次落在点P]，尸2,P3-P2020的位置，则点P2020的坐标为.

【答案】(2020,0)

【分析】根据图形的翻转，分别得出匕、P2.P3…的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，进