专题133 等边三角形的性质与判定【十大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

专题13.3等边三角形的判定与性质【十大题型】

【人教版】

♦题型梳理

【题型1利用等边三角形的性质求值】.............................................................1

【题型2利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】..............................................7

【题型3等边三角形的证明】....................................................................12

【题型4等边三角形在坐标系中的运用】..........................................................17

【题型5等边三角形中的折叠问题】.............................................................24

【题型6与等边三角形有关的规律问题】.........................................................28

【题型7等边三角形中的动态问题】.............................................................33

【题型8等边三角形中求最值】.................................................................39

【题型9等边三角形中的多结论问题】...........................................................44

【题型10确定等边三角形中的线段之间的关系】...................................................51

，举一反三

【知识点等边三角形】

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60。.

（3）等边三角形的判定；

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形.

【题型1利用等边三角形的性质求值】

【例1】（2023春・福建厦门•八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，已知等边三角形力中，BD=CE,AD

与BE交于点P,则乙APE=

【答案】60

【分析】由等边三角形的性质可得N/1BC=4。=60。，AB=BC,由SAS证明△力8D三aBCE得到48/10=

乙CBE,再由三角形外角的性质可■得N/1PE=Z-BAP+Z.ABP=Z.CBP+Z.ABP=Z.ABC=60°,即可得解.

【详解】解：••・△力女?是等边三角形，

:.Z.ABC=Z.C=60°,AB=BC,

在A力BD和aBCE中，

(AB=BC

(£ABD=£BCE,

(BD=CE

BD三△BCE(SAS),

二/.BAD=乙CBE,

:.Z.APE=乙BAP+Z.ABP=乙CBP+Z.ABP=Z-ABC=60°,

故答案为：60.

t点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握以上

知识点是解题的关键.

【变式1-1】(2023春•四川成都•八年级成都实外校考期末)已知：如图，点E是等边三角形A8C内一点，且

EA=EB,△ABC外一点。满足BD=AC,BE平分/DBC.

(1)求证：&DBEmCBE；

⑵求乙BDE的度数.

(3)若N4BE=45。，试判断BD与4c的位置关系，并说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)30°

(3MC1BD,理由见解析

【分析】(1)由三角形48C是等边三角形和8。=力。可得8D=SC,由角平分线的性质可得"8E="BE,

rirSAS”即可证明^DBE=△CBE；

(2)由三角形ABC是等边三角形和80=4C可得=Z.ACB=60°,由“SSS”证明△C8E三△C4E,从

=LACE=-Z.ACB=30°,再由△CBE三△08E,LBDE=LBCE=30°；

2

(3)由全等三角形的性质可得4CAE=乙。创?，由等腰三角形的性质可得4/5£=乙笈4£=45。，令4?、BD

交干点F,通过计算得出ZABF+LBAF=90。，最后由三角形内角和定理可得出=90°,从而得到答

案.

【详解】(1)证明：•••三角形A8C是等边三角形，

:.AC=BC,

•••BD=AC,

:.BD=BC,

•••BE平分乙DBC,

:.Z.CBE=Z-DBE,

在ACBE和ADBE中，

(BD=BC

1/.CBE=乙DBE,

(BE=BE

:小CBE=ADSE(SAS)；

(2)解：•・•三角形4BC是等边三角形，

AC=BC,Z-ACB=60°,

在AUBE和△(?{£•中，

(AC=BC

ICE=CE,

(BE=AE

••.△CBEwaCAE(SSS),

•••乙BCE=Z-ACE,

vZ.BCE+Z-ACE=Z-ACB=60°,

：•乙BCE=Z-ACE=-/.ACB=30°,

2

由(1)得，ACBEaDBE,

:，乙BDE=乙BCE=30°；

(3)解：AC1BD,

理由如下：

A

【答案】2

【分析】连接力0,等积法进行求解即可.

【详解】解：:△ABC为等边三角形，

=AC=BC,

连接力D，

A

则：S&ABC=S»ADB+SMDC，

•；BC边上的高线AM=2,DEJ.AB于点E,DhAC于点F.

A2-x2BC-2-AB-DE+2-AC-DF,

即：2BC=BC-（DE+DF）,

：,DE+DF=2；

故答案为2.

【点睛】本题考查等边三角形的性质.解题的关键是熟练掌握等积法求三角形的面积.

【变式1-3]（2023春•新疆乌鲁木齐•八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）如图，已知等边三角形ABC的边

长为m,过力B边上一点P作PE_L4C于点E,Q为BC延长线上一点，取P4="，连接PQ,交4c于M,则EM

的长为.

【分析】延长4C,过点。作QFJ.HC于点F,先证明△4PE三△CQF(AAS),得出PE=QF,AE=CF,再证

明ZiPME三△QMF(AAS),得出EM=FM,即可求解.

【详解】解：延长AC,过点。作QF1AC于点F,

••ZH3C为等边二角形，

：,LA=Z.ACB=Z.QCF=60°,

\'QFLAC,PELAC,

：.LPEA=ZF=90°,

在AAPE和△(?(?/中，

(Z.PEA=Z.F

\LA=乙QCF,

(AP=CQ

A△APE三△CQF(AAS),

:,PE=QF,AE=CF,

在ZiPME和AQM尸中，

«PME="MF

"EM=ZF,

(PE=QF

.,.△PME^AQMF(AAS),

：,EM=FM,

'：AE=CF,AC=mt

.*.AC=CE+AE=CE+CF=EF=7n,

：

.EM=FM=-2.

故答案为：T

A

【点睛】本题主要号行了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等边三角形三个

角都是60。，正确画出辅助线，构造全等三角形.

【题型2利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】

【例2】（2023春・河南周口•八年级校考期中）如图，△48C是等边三角形，延长8。到E,使CE=加，点D是

边4c的中点，连接£7）并延长交4?于点F.

（1）求证：EF1AB；

（2）连接80,求证：BD=DE.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析1（1）由等边三角形的性质可得乙AC8=4A8C=60。，AC=BC,结合CE=^BC,点。是边AC的中

点，可得CD=CE,即可得到再利用三角形外角的性质求得NE=30。，从而即可求得/=

90S证得结论；

（2）由等边三角形的性质可得NDBC=/-ABD=^ABC=30°,从而得到zDBE=乙E,证得结论.

【详解】（1）证明：•・•△48C是等边三角形，

.'.AC=BC,Z,ACB=/.ABC=60°,

是"的中点，

：.AD=CD=^AC,

VCE=-BC,

:.CD=CE,

•••/CDE=/E,

vzF+Z.CDE=Z-ACB=60°,

:.zE=乙CDE=30°,

•••Z.ABC=6UU,LE+乙EF8+UBE=18UU,

A£EFB=180°-/.ABC-ZE=90°,

:.EF1AB.

(2)解：ABC是等边三角形，

.•.AB=BC,/.ABC=60°,

•••D是AC的中点，

Z.DBC=乙ABD=-LABC=30°,

2

vzE=30°,

•••/DBE=NE,

:.DE=BD.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和

定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

【变式2-1](2023春•海南省直辖县级单位•八年级统考期末)如图，△A8C是等边三角形，8。是高线，延

长BC到E,使CE=AO.证明：BD=DE.

【分析】利用等边三角形的性质得/ABO=NCBD=30。，由CE=A。得，CE=CD,从而求出NE=30。，则

NE=NCBD,可得BD=DE.

【详解】证明：•••△A8C是等边三角形，

，ZACB=ZABC=60°,

，ZE+ZCD£=60°,

又•「是高线，

：.AD=CD,ZCBD=^ZABC=30°,

f：CE=AD,

：.CD=CE,

：.NE=/CDE,

：.ZE=30°,

；・NE=NCBD,

：,BD=DE.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握等腰三角形“三线合

•”的性质是解题的关犍.

【变式2-2】（2023春・四川巴中•八年级统考期末）已知，将等边△ABC和一块含有30。角的直角三角板DEF

（NF=30。）如图1放置，点B与点E重合，点A恰好落在三角板的斜边DF上.

（1）利用图证明：EF=2AC；

（2）△48C在EF所在的直线上向右平移，当AB、AC与三角板斜边的交点为G、H时，如图2.判断线段

EB=AH是否成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）EB二AH成立，证明见解析.

【分析】（1）根据等边三角形得性质，得NACB=60。，AC=BC.结合三角形外角得性质得NCAF得度数,

则可证明结论.

（2）根据（I）中得证明方法，得到CH=CF,根据（1）中得结论，可推得BE+CF=AC,从而证明结论.

【详解】证明：（I）是等边三角形，

AZACB=60°,AC=BC.

•・•ZF=30°,

・•・ZCAF=60°-30°=30°,

AZCAF=ZF.

，CF=AC,

ACF=AC=EC,

・・・EF=2BC.

(2)成立.理由如下：

根据(1)中证CF=AC的方法，同理，得CH=CF.

VEF=2BC,

ABE+CF=BC.

又7AH+CH=AC,AC=BC,

AAH=BE.

【点睛】本题考杳等边三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键.

【变式2-3](2023春•广西河池•八年级统考期末)如图，已如△/WC是等边二角形，点。是3c边上一点.

备用图

(1)以AD为边构造等边△力(其中点。、E在直线AC两侧)，连接Q?,猜想CE与43的位置关系，并证明

你的结论；

(2)若过点。作CM||力8,在CM上取一点R连接4尸、OF,使得乙4DF=60。，试猜想△40F的形状，直接

写出你的结论.

【答案】(1)图见解析，ABWCE,理由见解析

(2)A40尸为等边三角形，理由见解析

【分析】(1)以点A和点D为圆心，长为半径画弧，在4c右边相交于点E,连接4E,DE,△ADE即为

所求；根据等边三角形的性质可得乙43C=Nn4E=60OM3="MO=4E,则匕840="4E,进而得出

△2H0三△C4E(SAS),Mz/ICE=ZF=/.BAC=60°,即可得出48||CE：

(2)根据题意画出图形，在48上截取AG,使力G=CO,连接。G,通过证明△8DG为等边三角形，进而得出

△G5。三△COF(ASA),^\AD=DF,即可得出结论.

【详解】⑴解:如图：△洋即为所求,I律ICE,理由如下:

O8C、△40E是等边三角形，

：.LABC=4DAE=60°,AB=AC,AD=AE,

：,LABC-LDAC=Z.DAE-LDAC,^Z-BAD=Z.CAE,

在么8力。和△CAE中，

AB=AC

乙BAD=LCAE>

AD=AE

：.△BAD三△G4E(SAS),

：,LACE=ZF=60°,

：,LACE=/-BAC,

：.AB\\CE.

(2)AADF为等边三角形,理由如下：

如图：在48上截取4G,使/G=CO,连接DG,

•・N48。为等边三角形，

：.AB=BC,48=60°,

*：AG=CD,

：.AB-AG=BC-CD,即8G=80,

・••么8DG为等边三角形，

J.LAGD=180°-60°=120°,

VCM||AB,

：,WCF+乙B=180%则ZOCF=120°,

VzZDC=Z.ADF+乙CDF=+^GAD,乙B=/.ADF=60°,

:.乙CDF=^.GAD,

在“AD和△CD/冲,

Z-CDF=Z.GAD

AG=CD

/.AGD=乙DCF=120°

/.AGAD三△COF(ASA),

,\AD=OF,

又,・"W=60。,

•••/MDF为等边三角形.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、三角形全等的判定及性质、平行线的判定及性质，解题的关

键是通过标出相应的角标找出角之间的关系，通过等量代换进行求解.，熟练掌握并灵活运用等边三角形的

性质和判定.

【题型3等边三角形的证明】

【例3】(2023春・河南周口•八年级校考期末)在AZIBC中，AB=BC,/.ABC=60°,8D是4C边上的高，点

E为直线BC上点，且CE=4O.

(1)如图1,当点E在边BC上时，求证：ACDE为等边三角形；

(2)如图2,当点E在BC的延长线上时，求证：ABDE为等腰三角形.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)先证明△ABC为等边三角形，得到乙C=60。,再由三线合一定理得到A。=CD,进而推出CD=CE,

由此即可证明结论;

（2）同理可得CO=CE,进而利用等边对等角和三角形外角的性质得到NE=30。，再根据三线合一定理得

^UDBC=30°,则80=ED,即ABDE为等腰三角形.

【详解】（1）证明：:AB=BC,LABC=60°,

・・・ZM8C为等边三角形，

"C=60°,

是AC边上的高，

,*.AD=CD,

\'CE=AD,

：.CD=CE,

・•・ACOE是等边三角形.

（2）证明：同（1）可知CD=C£

：.LCDE=ZE=-LACB=30°,

2

••XABC为等边三角形，

J.WBC=-Z-ABC

2=30°,

:•乙E=4DBC,

：・BD=ED,即△8DE为等腰三隹形.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，熟

知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键.

【变式3-1]（2023春・贵州铜仁•八年级统考期中）如图，E是CD的中点，EC=E8,LCDA=120%DF||BE,

且DF平分，CDA.求证：△BEC是等边三角形.补全下面的证明过程及理由.

证明：•・•/）"平分NC/Z4（已知），

:•乙FDC=之（（）.

*：LCDA=120。（已知）,

：,z.FDC=°.

VDFIIBE（已知）,

：.LFDC=z（）,

：.LBEC=60°.

XVFC=EB（已知），

【答案】ADC；角平分线的定义；60：BEC；两直线平行，同位角相等；有一个角是60。的等腰三角形是等

边三角形

【分析】利用角平分线的性质得出dDC的度数，再利用平行线的性质得出NBEC的度数，进而得出^BEC为

等边三角形.

【详解】证明：•・•。片F分NCO4（已知），

：.LFDC=\LADC（角平分线的定义）.

'：LCDA=120。（已知）,

LFDC=60°.

VDFIIBE（已知），

:•乙FDC=^BEC（两直线平行，同位角相等），

：.LBEC=60°.

又＜EC=EB（已知），

・・・么8。£是等边三角形（有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形）.

故答案为：ADC；角平分线的定义：60；BEC：两直线平行，同位角相等；有一个角是60。的等腰三角形是

等边三角形.

【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定以及平行线的性质，根据已知得;l"FDC=4BEC是解题关键.

【变式3-2]（2023春•甘肃天水•八年级校考期末）如图，在△ABC中，LA=120°,AB=AC,D是8c边的

中点，DELAB,DFLAC,点E、尸为垂足.求证：

⑴DE=DFx

（2）ADE尸是等边三角形.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）利用AAS证明△BDE三三CD凡进而解答即可；

（2）由4BDE三三CDF,进而得到UE=。凡由（1）得N8=4=30°,求出4EOF=180°-乙BDE-乙CDF=

60c.所以△DEF是等边三角形.

【详解】（1）解：证明：-AB=AC,

:.Z.B=Z.C.

vZ71=120°,Z-A+/.B+Z.C=180°,

Z.B=Z.C=30°.

V。是3C边的中点，

BD=CD.

DE1AB,DF1.AC,

/BED=Z-CFD=90°.

在ABDE和△CDF中，

《BED=Z-CFD

Z-B=Z-C,

（BD=CD

:小BDE=CDF（AAS）,

:.DE=DF.

（2）由（I）得ABDE三CDF,

•.DE=DF.

乙BED=乙CFD=90°,

由（1）得=ZC=30°,

:.乙BDE=乙CDF=90°-30°=60°.

ZEDF=180°-乙BDE-乙CDF=60°.

••.△DE尸是等边三角形.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟记等腰三角形的性质以及全等三角形的

性质.

【变式3-3](2023春・山东荷泽•八年级校联考期末)如图，在△48C中，AB=AC,^BAC=120°,AD^BC

边上的中线，且=C。的垂直平分线MF交AC于R交8c于M.

(1)求44〃£的度数.

(2)证明：△40F是等边三角形.

【答案】(1)15。

(2)见解析

【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求;l"B和NC,求II/8DE,即可求出答案：

(2)求出DF=CF,根据等腰三角形的性质求出ZFDC=ZC,求;I/AFD和4ZMF,根据等边三角形的判定

得出即可.

【详解】(1)在△48C中，AB=AC,Z.BAC=120°,

=ZC=Ix(180°-4B4C)=30°,

•:BD=BE,

・••乙BDE=乙BED=1x(180°-(B)=75°,

在中，AB=AC,力。是8C边上的中线，

：.AD1BC,

：.^ADB=90°,

：.LADE=LADB-乙BDE=15°.

(2)•••。。的垂直平分线时尸交力。于尸，交BC于M,

：,DF=CF,

VzC=30°,

：,z.FDC=zC=30°,

：.LAFD=Z,C+乙FDC=60°,

V/1D1BC,AB=AC,Z.BAC=120°,

：.^DAF=-Z-BAC=60°,

：.LADF=60°,

BPzD/lF=Z.AFD=60°,

・XDF是等边三角形.

【点睛】本题考杳了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形“三线合•”的性质等知识

点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键.

【题型4等边三角形在坐标系中的运用】

【例4】(2023春•河南驻马店•八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),以线段。4

为边在第四象限内作等边三角形40B,点。为x轴正半轴上一动点,连接8C,以线段BC为边

在第四象限内作等边三角形C8D,连接D4并延长，交)，轴于点E.

备用图

(1)求证:OC=AD；

(2)在点C的运动过程中，4C4D的度数是否会变化？如果不变，请求出乙乙4。的度数；如果改变，请说明理

由；

(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、。为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点。的坐标.

【答案】(1)见解析

(2)不会发生变化，60°

(3K(3,0)

【分析】(1)先根据等边三角形的性质得4。84=2080=60。,08=84BC=8。，则=2480,然

后可根据“SAS”可判定△OBC三△480,由全等三角形的判定与性质可得出结论；

(2)由44。8是等边三角形知2804=WAB=60。，再由全等三角形的性质分析可得结论；

(3)先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得乙瓦4c=120。，进而得出以A,E,。为顶点的

三角形是等腰三角形时，力E和AC是腰，最后根据Rt△力。E中，。4=1,^OEA=30°,求得力C=4E=2,

据此得到。3,即可得出点C/J位置.

【详解】(1)•••△408,都是等边三角形，

：.OB=AB,CB=DB,乙ABO=cDBC,

:.乙OBC=LABD,

在么08。和△48D中，

OB=AB

,/LOBC=乙ABD,

CB=DB

AAO5C=A/1FD(SAS),

：.OC=AD；

(2)点C在运动过程中，10的度数不会发生变化，理由如下：

是等边三角形，

：.LB0A="AB=60°,

入OBC=^ABD,

：.^BAD=Z-BOC=60°,

：.LCAD=180°-Z-OAB-/-BAD=60°；

(3)解：YXOBC"ABD,

：,^BAD=Z.BOC=60°,

又.."O/IB=60°,

：,LOAE=180°-60°-60°=60°,

：.LEAC=120°,ZLOEA=30°,

・••以A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，

在RtaAOE中，。4=1,WEA=30°,

••AC=AE=2,

：.0C=3,

・•・当点C的坐标为(3,0)时，以A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形.

【点睛】本题是三角形的综合问题，主要考杳了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形

的性质和判定等知识，解决本题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

【变式4-1](2023春・辽宁铁岭•八年级校考期末)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),以线

段。力为边在第四象限内作等边三角形力。8,点C为工轴正半轴上一动点(0C>1),连接4C,以线段BC为

边在第四象限内作等边三角形C8D,连接。力并延长，交)，轴于点£

备用图

⑴求证:OC=AD；

(2)在点C的运动过程中，4C4D的度数是否会变化？如果不变，请求出乙口10的度数；如果改变，请说明理

由；

(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、。为顶点的二角形是等腰二角形？

【答案】(1)见解析

(2)不变，Z.CAD=60°

(3)当点C的坐标为(3,0)时，以4,E,C为顶点的三角形是等腰三角形

【分析】(1)根据“SAS”可判定△OBC三△480,由全等三角形的性质可得出结论；

(2)由△4。8是等边三角形得4804=^OAB=60°,再由△OBC=△ABD^^BAD=乙BOC=60°,根据

乙C4。=180°-乙OAB-4BAD可得结论；

(3)先求得4氏4c=120。，进而得出以4,E,C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和力C是腰，最后根据

RtA力QE中，。力=1,40区4=30。，求得AC=4E=2,据此得到OC=3,即可得出点C的位置.

【详解】(I)•「△AOB,ZiCBD都是等边三角形，

：,OB=AB,CB=DB,乙ABO=^DBC,

C.LOBC=Z-ABD,

在AOBC和△480中，

(OB=AB

VjzOSC=Z.ABD,

(CB=DB

•••△08C"/WD(SAS),

：,0C=ADx

(2)点。在运动过程中，乙SD的度数不会发生变化，理由如下：

•・N408是等边三角形，

：.LBOA=乙OAB=60°,

•:△OBCWAABD,

・"BAD=480C=60。，

：.LCAD=180°-Z.OAB-Z-BAD=60°：

(3):△OBC三△ABD,

：.LBOC=/-BAD=60。，

*：LOAB=60°,

：.LOAE=180°-60°-60°=60°,

：.LEAC=120°,AOEA=30°,

・••以A,E,C为顶点的二角形是等腰二角形时，AC和是腰，

在RtZkAQE中，0A=l,WEA=30°,

.*.AE=20A=2,

•\AC=AE=2,

A0C=1+2=3,

・•・当点C的坐标为(3,0)时，以A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形.

【点睛】本题考杳了坐标与图形的性质，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解决本题的关

键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.

【变式4-2](2023春・北京•八年级北京市广渠门中学校考期中)如图，在平面直角坐标系中，△NOP为等边

三角形，4(0,2),点B为y轴上一动点，以8P为边作等边APBC,延长C4交x轴于点E.

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(1)求证：OB=4C；

（2）NC4P的度数是」（直接写出答案，不需要说明理由.）

（3）当B点运动时，猜想4E的长度是否发生变化？如不变，请求出4E的长度；若改变，请说明理由.

【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）不变，AE=S

【分析】（1）由题意易得△OPBgaAPC,然后根据三角形全等的性质可求证；

（2）由（1）可直接进行求解；

（3）由题意易得NEAO=60。，则有NAEO=30。，进而根据直角三角形的性质可求解.

【详解】（1）证明：•••△AOP为等边三角形，

AAP=OP,ZAPO=60°,

VAPBC是等边三角形，

APB=PC,ZBPC=60°,

VZAPB是公共角，

/.ZOPB=ZAPC,

AAOPB^AAPC（SAS）,

/.OB=AC：

（2）解：由（1）可得△OPBgzYAPC,

AZBOP=ZCAP,

•IZBOP=60°,

/.ZCAP=60°,

故答案为600；

（3）解：不变，AE=8,理由如下:

由（2）得:ZCAP=60°,

*/ZOAP=60°,

・•・NEAO=60。，

・•・ZAEO=30°,

V/l（0,2）,

A0A=4,

AAE=2OA=8.

【点睛】本题主要考查平面直角坐标系与图形的综合、等边三角形的性质及含30。角的直角三角形的性质，

熟练掌握平面直角坐标系与图形的综合、等边三角形的性质及含30。角的直角三角形的性质是解题的关键.

【变式4-3](2023春・湖北黄石•八年级校考期末)如图，平面直角坐标系中.A点在y轴上，B(b,0),

C(c,0)在x轴上，^BAC=603,且尻c满足等式/+2bc+c2=0.

(1)判断448。的形状，并说明理由；

(2)如图1,F为48延长线上一点，连FC,若NGFC+々4CG=60。.求证：FG平分41户C；

(3)如图2,ABDE中,DB=DE,LBDE=120°,M为力£中点，试确定。M与CM的位置关系.

【答案】(1公工3。是等边二角形，理由见解析；

(2)见解析:

(3)DM1CM.

【分析】(1)由〃+2bc+c2=0得B与。关于y轴对称，推出48=AC,△48C是等边三角形.

(2)连接6G,知△4GB三△4GC,得GB=GC,在FC的延长线上取点。，使GP=G凡证明△GBF三△GCP,

乙BFG=AP,则结论得证.

(3)延长OM至凡使OM=MF,连接CD,iiEADBC=△FAC,得CD=CF,则结论得证.

【详解】(1)解.：△ABC是等边三角形，理由如下：

Vb2+2bc+c2=0

•\b+c=0,

・・・8与C关于)，轴对称，

・・・/1。是8c的中垂线，

：.AB=AC,

'：LBAC=60°,

•••△/IBC是等边三角形.

(2)解：连接8G,

:・GB=GC.

在FC的延长线上取点P,使GP=

设，GFC=a,乙ACG=B，

乙ABG=LACG=0,

：,ABGC=600+2/?=180°-2a,

<GF=GP,

*.LGFC=Z.P=a,

：.LFGP=180°-2a,

，乙BGC=乙FGP,

/.△GBF^△GCP(SAS),

：,LBFG=乙P,

：.z.AFG=乙GFC,

即FG平分“FC.

连接CD.

：.AM=EM,

"：DM=MF,

AADME^AFM/1(SAS),

：,AF=DE,/.DEA=Z.FAE,

：.AF=DE=BD,AF\\DEf

'：LBDE=120%

：.£BGF=^BDE=120°,

工乙4G8=/.ACB=60°,

：.AFAC=乙DBC,

・・・A08C三△尸4c(SAS),

：.CD=CF,

：.DM1CM.

【点睛】本题考杳了完全平方公式、等边三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质

与判定等知识点，添加辅助线、构造全等三角形是解题关键.

【题型5等边三角形中的折叠问题】

【例5】（2023春♦四川成都•八年级笈考期末）如图，已知等边ZM8C中，点。，E分别在边力B,8c上，把ABDE

沿直线DE翻折，使点8落在点B'处，09，EB'分别交边4c于点F,G.若N4DF=80。，则乙GEC的度数为一

度.

【答案】40

【分析】根据等边三角形的性质，折叠的性质，得到44=N8'=NC=60。，结合41DF=80。，根据三角形

内角和定理，对顶角的性质得44PO=，GF8'=40。，根据4EGC=4FG夕得乙GEC=4GF8'=40。，计算

即可.

【详解】•・•等边△48C,MDE沿直线DE翻折,使点8落在点夕处,

：.LA=4夕=ZC=60°,

•・ZOF=80。,

根据三角形内角和定理，对顶角的性质得

：.LAFD=乙GFB'=40%

■:乙EGC=CFGB',

・"GEC="F8'=40。，

故答案为：40.

【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质，熟练掌握性质是

解题的关键.

【变式5-1］（2023春・湖北省直辖县级单位•八年级校考期中）如图，等边△ABC的边长为1cm,D、E分别

AB、AC是上的点，将^ADE沿直线DE折叠，点A落在点A，处，且点人，在仆ABC外部，则阴影部分的

周长为（）cm

4

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由题意得到。4=D4,EAf=EA,经分析判断得到阴影部分的周长等于△ABC的周长即可解决问题.

【详解】

如图，由题意得:

，阴影部分的周长=D4'+E4'+Z)8+CE+3G+GF+Cr

=(DA+80+(8G+G/+CF)+(AE+CE)

=AB+BC+AC

=1+1+1=3（cm）

故选C.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及折叠的问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴

对称变换所得的等量关系.

【变式5-2］（2023春•四川成都・八年级统考期末）如图，将等边三角形48。纸片折叠，使得点A的对应点。

落在8。边上，其中折痕分别交边于点E,F,连接OE,OF.若。尸18C,则N4EF的度数是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】C

【分析】根据等边三角形折叠的性质及垂直的定义得出4FDB=90。/尸DE=60。，结合图形及三角形外角的

性质得出Z4EO=90。，利用折叠得出N4EF="ED即可求解.

【详解】解：・・・OF_L8C,将等边三角形48。纸片折叠，使得点A的对应点。落在8C边上，

/.2.FDB=90°,ZFDF=60°,

:.乙EDB=30°,

•••等边三角形ABC,

:•乙B=60°,

・ZED=90。，

•・•将等边三角形4BC纸片折叠，使得点A的对应点D落在BC边上，

/.LAEF=乙FED=45°,

故选：C.

【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、三角形外角的定义及折叠的性质，结合图形找准各角之间的关系

是解题关键.

【变式5-31（2023春・河北张家口•八年级统考期末）在^ABC中/B=60。,0是边力8上的动点，过点。作DEII8C

交AC于点E,将△力。£沿。£折叠，点4的对应点为点F.

(2)如图2,若点尸落在△4BC内，且DF的延长线恰好经过点C,CF=EF,求NA的度数;

(3)若45=9,当△8DF是直角三角形时，亶搂写出力0的长.

【答案】(l)ABDF是等边三角形;见解析

(2)LA=40°；

⑶AD的长是3或6

【分析】(1)根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论;

(2)根据折叠的性质可知角相等，再根据三角形的内角和定理即可得到结果；

(3)根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到4。的长度.

【详解】(1)解：△EC尸是等边三角形，理由如下：

VZB=60°,DEIIBC,

：,LADE=LB=60°,

由折叠可得，FDE=LADE=60。，

:•乙BDF=60°,

；・£DFB=^B=^BDF=600,

•MBDF是等边三角形；

(2)解：由折叠可得N4=乙DFE,

♦:乙FDE=Z.ADE=60°,

：.AADC=120°,

VCF=EF,

:.乙FEC=乙FCE,

设/FEC=乙FCE=x,则=乙DFE=乙FEC+乙FCE=2%,

在44。。中，44+乙4C。+乙AOC=180。，GP2x+x+120°=180°,

解得％=20°,

：.LA=2X=40°；

（3）解：49的长是3或6,理由如下：

当，BFD=90。时，点F在△48C内（如图所示）

:.乙DBF=30°,

：・BD=2DF

由折检得DF=4。，

・・・BD=2AD,

：,3AD=9,

：,AD=3；

当乙DBF=90。时，点尸在448c外,

：.AD=6.

【点睛】本题考杳了折叠的性质，等边三角形的性质，含30。角的直角三角形的性质，平行线的性质，根据

题意画出图形是解题的关键.

【题型6与等边三角形有关的规律问题】

【例6】（2023春・安徽芜湖•八年级芜湖市第二十九中学校考期末）如图，等边△为。］。2的周长为1，作6。】■1

力也2于。1，在。传2的延长线上取点C3,使。1。3=5G，连接。也3,以0。3为边作等边△/。2。3；作。2。21力2c3

于。2,在C2c3的延长线上取点C4,使D2c4=D2c2,连接。2c4,以。3。4为边作等边△&。3。4：…且点力1，力2,

外，…都在直线。停2同侧，如此下去，则△&GC2,△4。2c3,3c3c4'…，△/CnCn+1的周长和为.

【分析】根据等边三角形的性质分别求出△41。1。2，△4。2。3，AA3。3c4,…，△41cnCn+i的周长，再求周

长和即可.

【详解】如下图，

由得，乙。］。3。2=4。16。2=30。，

••・“也。3=1200,

：.LC3DXC2=120°-90°=30°,

•3c2=4C301c2，

于是。1。2=C2c3,

:。c2c3=3A1。2

/.△/12。2。3的周长=|△的周长=g

Ai41C1C2>△力2c2c3,△A3C3c4，…，△AnCnCn+1的周长分别为1»3&…，二,

・・・公/11。］。2的周长为1=U

X4

△4。停2，△①。2。3的周长和为1='=U

△AGG，△A2c2c3,△为c3c4的周长和为1+：+/=：=袈

△4GQ，△力2。2。3，3c4,…，△AnCnCn+1的周长和为1+：+,+…+备=盗,

故所有等边三角形的周长和为：U

【点睛】本题考查等边三角形的性质、数字类规律探究，理解题意，找出变化规律是解答的关键.

【变式6-1］（2023春・山东济宁•八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系％0y中，已知点A坐标是（0,4）,

以为边在右侧作等边三角形。44「过点4作x轴的垂线，垂足为点。1，以34为边在右侧作等边三角形

。逆遇2,再过点占作X轴的垂线，垂足为点。2,以。2公为边在右侧作等边三角形。2力2人3,……，按此规律

继续作下去，得到等边二角形。2022402242023，则点出023的纵坐标为（）

【答案】A

【分析】利用含30。的直角三角形的最短边是斜边的•半解题即可.

【详解】解：•・•三角形0441为等边三角形,。出1）轴,

：,LAOA1=60°,Z.AlOOl=30°,44］0］。=90°,

」.0H=4x；,

23

同理得：02%=4XG）,O3/13=1O2/12=4XQ）,

/i、2D232O21

综上可得：。202342023=4X（a）=（Z鼻1）X

故选A.

【点睛】本题主要考查含30。的直角三角形的性质，能够熟记性质并能够熟练进行指数计算是解题关键.

【变式6-2］（2023•四川・八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形A/8/G。/（记为

第I个正方形）的顶点4与原点重合，点助在），轴上，点。/在X轴上，点。在第一象限内，以。为顶点

作等边△。①①，使得点4落在X轴上，A2&_Lx轴，再以A2比为边向右侧作正方形A2&C2S（记为第2

个正方形），点在x轴匕以C2为顶点作等边△C2A383,使得点A落在上轴上，A3&_LY轴，若按照上

述的规律继续作正方形，则第2021个正方形的边长为—.

［答案］22。2。

【分析】通过正方形和等边三角形的性质和直角三角形的性质，依次求得第2个正方形、第3个正方形、第

4个正方形的边长，再总结规律求得第2021个正方形的边长.

【详解】解：・・,正方形ABIGDI（称为第1个正方形）的边长为1，

/.GD/=1,

•••GA2B2为等边三角形，

■:ZB2A2C/=60°,

•・Y2B2_LX轴，

ZC1A2D/=3（）°f

2-1

：.A2B2=Ci42=2。1。1=2=2,

同理得公&=4=23-1,

A4B4=8=24-1,

由上可知第〃个正方形的边长为：2'一】，

・♦•第2021个正方形的边长为：22）21I=22020

故答案为:22020.

【点睛】本题主要考查了等边三角形，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形以及直角三角形的性质是解

答此题的关键.

【变式6-3］（2023春•广西柳州•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线I与x轴交于点/，与y轴

交点于。，且0%=1/008］=60。，以OB1为边长作等边三角形为。8】，过点儿作A】为平行于T轴，交直线

1于点4，以A1“为边长作等边三角形&力道2,过点必作4%平行于％轴，交直线1于点/，以冬名为边长

作等边三角形&&/，…，按此规律进行下去，则点人的横坐标是.

【答案】31.5

【分析】过4作A/A_LO8/于A,过A?作A2BL4/&于8,过4作AQ_LA283于C,根据等边三角形的性质

以及含30。角的直角三角形的性质，分别求得4的横坐标为一，，上的横坐标为一，As的横坐标为?，

进而得到4?的横坐标为右二，据此可得点。的横坐标.

【详解】解：如图所示，过4/作A/A_LO8/于A,则04=；。8尸3

••"。。%=60%

・•・/0/力。=30。，

•・・4/a/氏轴,

，NA山23/=NOBlD=30。,N82A山尸/4SO=60。,

・•・NA/B/B2=90。,

AJB2=2AIBI=2t

过A2作于8,则A山二：A山产1,

即A2的横坐标为＞1二?，

过A3作A3CJLA2B3于C,

同理可得A及尸2A2&=4工2。=328产2,

即A3的横坐标为91+2二个，

同理可得的横坐标为*I+2+4=?，

由此可得,A”的横坐标为F，

:.点4的横坐标是亭=v=31.5,

故答案为31.5.

【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题佗关键要利用

等边三角形的性质总结出关于点八的系列点的规律.

【题型7等边三角形中的动态问题】

【例7】(2023春・河南濮阳•八年级统考阶段练习)如图，在△ABC中，ZC=90°,4力=30。，AB=4cm,

动点P,Q同时从A、8两点出发，分别在AB、8c边上匀速移动，它们的速度分别为%=2cm/s,%=lcm/s,

当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts.

(1)当t为何值时，△尸BQ为等边三角形？

(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？

【答案】(1)1=：

0

(2)1或3

【分析】（1）先表示出BP,8Q,根据APB。为等边三角形，由等边三角形的性质得到BP=BQ,由此建立方

程4-2t=t进行求解;

（2）当4PBQ为直角三角形可分当乙BQP=90。时和当NBPQ=90。时两种情况进行求解即可.

【详解】（1）解：..•在△718（；中，ZC=9UU,Z.A=3UU,48=4cm,

AzF=60o,

VVp=2cm/s,VQ=Icm/s,

.\AP=2tcm,BQ=£cm,点P运动的总时间为4+2=2s；

：,BP=AB-AP=（4-2t）cm,

当以P8Q为等边三角形时，BP=BQ,

.*.4-2t=t,

解得£=/

（2）当NBQP=90。时，则zBPQ=30。，

：.BP=2BQ,

.*.4-2t=23

解得t=L

当，BPQ=90。时，则NBQP=30%

：・BP/BQ,

则4-2t=

解得£=I；

综上：/的值为1或，

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解

题的关键.

【变式7-1