组合变形强度计算

第6章组合变形强度计算

6.1组合变形与弹性叠加原理

-6.1.1组合变形的概念

在工程实际中，有许多杆件在外力作用下会产生两种或两种以上的基本变形，这种情况

称为组合变形。如图6-1(a)所示小型压力机的框架。为分析框架立柱的变形，将外力向立

柱的轴线简化(图6-lb),便可看出，立柱承受了由F引起的拉伸和由M=引起的弯曲。

图6/

6.1.2弹性叠加原理

弹性轻加原理也称为线性叠加原理。该原理对于求解弹性力学问题极为有用，它使我们

可以把一个复杂问题化为两个或多个简单问题来处理。在分析组合变形时，可先将外力进行

简化或分解，把构件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着一种基本

变形。例如，在行面对例子中，把外力转化为对应着轴向拉伸的F和对应着弯曲的M。这

样，可分别计算每一基本变形各自引起的应力、内力、和位移，然后将所得结果叠加，便是

构件在组合变形下的应力、内力、应变和位移，这就是叠加原理。现在再作一些更广泛的阐

述。

设构件某点的位移与载荷的关系是线性的，例如，在简支梁的跨度中点作用集中力F

时，右端支座截面的转角为

F12

0=

16E7

这里转角°与载荷产的关系是线性的。记函是一个系数，只要明确/垂直于轴线且作用于

跨度中点，则这一系数与尸的大小无关。类似的线性关系还可举出很多，可综合为，构件A

点因载荷6

引起的位移司与耳的关系是线性的，即

6=⑻

这里&是一个系数，在"的作用点和方向给定后，G与K的大小无关，亦即a不是K的

函数。同理，A点因另一载荷引起的位移为

&=G鸟（b）

系数C2也不是鸟的函数，若在构件上先作用”，然后再作用入。因为在未受力时开始作

用大，这与（a）式所表示的情况相同，所以A点的位移为GZ。在作用时入，因构件上

已存在A，它与（b）式所代表的情况不同，所以暂时用一个带撇的系数cy代替c”得A

点的位移为。2‘巴。这样，当先作用"后作用尸2时，A点的位移为

b=GZ+C2/（c）

式中的系数。2,也应该与E和尸2的大小无关，即不是E或尸2函数。因为如果。2’与E和

“2有关，则。2,与尸2相乘后的。2‘为就不再是线性的。这与力与位移是线性的关系的前提

相矛盾。现在从构件上先解除片，这时设A点的位移为-Gf。这里的负号表示卸载，G'

上的一撇也是为了区别于C。但也与A和无关。"解除后，构件上只有,如再解除

F2F2F2,

就相当于（b）式代表的情况的卸载过程，所以4点位移应为-QE°匕和产2都解除后，

构件上无任何外力，是它的自然状态，位移应等于零。于是

GK+ci.-c；匹-。2.=0

或者写成

（C,-C1）^+（C2-C2）E=O

根据上面的论述，式中两个系数部不是载荷的函数，而且G和「2为任意值时，上式都应该

得到满足。这就只有两个系数都等于零，才有可能，即

C,-C1=O,C'2-C2=0

2

Cx=C।,C=C2

于是（c）式化为

6=C^+C2F2

比较（a）,（b）和（d）三式，可见，6和5共同作用下的位移，等于耳和尸2分别单独作

用时位移的叠加。如果点到上述加力次序，先加尸2后加6,用完全相似的方法，必须仍可

得到（d）式。这表明位移与加力的次序无关。以上结论可以推广到外力多于两个的情况，

也可推广到应变、应力、内力与外力成线性关系的情况，

可见，叠加院里的成立，要求位移、应力、应变和内力等与外力成线性关系。当不能保

讦上述线性关系时，叠加原理不能便用。

叠加原理只适用于小变形，即线弹性条件，因为基本方程和边界条件均是在小变形条件

下得到的。此外，对于细长构件的弹性稳定性问题，梁的纵向及横向受力问题及弹塑性问题，

叠加原理都不能适用。

6.2应力状态分析

-6.2.1二向应力状态的解析法

工程上，一般构件的受力部比较复杂，因此，在构件的某一点处所取得已知单元体方向

的应力通常不是最大的应力方向。下面来讨论二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上

的应力后，如何确定通过这一点的其他截面上的应力，从而确定主应力和主平面。

从受力构件上截取一单元体出七d。其一对侧面上应力为零，而另两对侧面上分别作用

有应力t如图6-7（a）所示，这类单元体是二问应力状态的一般情况。图6-7（b）

为单元体的正投影。

这里2和Q是法线与X轴平行的面上的正应力和切应力：0V和rv是法线与y轴平行

的面上的应力。.切应力加（或加.），下角标x（或y）表示切应力作用平面的法线的方向；

应力的正负号规定为：正应力以拉应力为正，而压应力为负；切应力对单元体内任意点的矩

为顺时针转向时为正，反之为负。按照以上规定，在图6-7⑶中，b,、b,和j皆为正，

而仁为负V

假想取任一与冷，平面垂直的斜截面4，如图&7(b),其外法线〃与)，轴的夹角为。。规

定由x轴逆时针转向外法线〃时，。为正，反之为负。以截面4'把单元体截开，取左半部

分为研究对象，如图6-7(C)。斜截面上的正应力为，切应力为T”，。设4面的面积

为〃4,则qf面和ae面的面积分别是，Asina和"Acosa,把作用于。。•部分上的力投影

于。.面的外法线〃和切线，的方向，列静力平衡方程，得

图22-7

(rt.dA+4cosa)sina-(o\dAcosa)cosa+(r/Msina)cosa-(b、/ZAsina)sina=0

%dA-(r/ZAcos«)cos(z-(b\dAcosa)sina+(。、c/Asina)cosa+(r//Asina)sina=0

由切应力互等定埋枸"人二八.*代入以上平衡方程，整埋

224+by%—

(y„=cos-a+(ysin-cr-2rsinacosa=------+------cos2a-rsin2a

““v,vt22r

(6-1)

22

Ta=(<7V-crv)sinacosa+rv(coscr-sina)=—--sin2a+rvcos2a

(6-2)

可见，斜截面上的正应力和切应力都是角a的函数。这样，在二向应力状态下，只要

知道一对互相垂直面上的应力和区八,就可以依式(6-1)、式(6-2)求出a为任意值时

的斜截而上的应力和勤。下面来推导主应力和确定主平面的角度的公式。

将式(6-1)对。导数得

./、

docr—b

——-=-2-v-----vsin2«+rcos2cr(a)

daI2vJ

令此导数等于零，可求得?达到极值时的铤Tg来表示T

巴一,

—--sin2ao+Jcos2ao=。(b)

化简后得

tan2ao=-----~—(6-3)

名一叫

由式(6-3)可求出%的相差90°的两个根，它们确定相互垂直的两个平面，其中一个是

最大正应力所在平面，另一个是最小正应力所在的平面。

由三角关系

cos2ao=-/1=(c)

^/1+tan22ao

.-tan24

sin2a()=±.§=(d)

yj\+tan22ao

将式(6-3)代入式(c)、式(dj.再代入式整理后可求得,…和GQ的计算表达式

由式(6-4)所求得的两个相差90°的值中哪一个是巴皿作用面的方位角，哪一个是。min

作用面的方位角？一般约定用巴表示两个正应力中代数值较大的一个，即则两个

.4y

角度中绝对值较小的一个确定0max所在的平面。比较式(6-2)和式(b),可见满足式(b)的

。角恰好使《等于零，这表明正应力取得极值的截面上，切应力必为零，即正应力的极值

就是单元体的主应力。

用相似的方法，可以确定最大和最小切应力以及它们所在的平面。将式(6-2)对。求导

数，得

=((TV-)cos2a-2rvsin2a(e)

da

令此导数等于零，可求得〃取得极值时的。值，用囚来表示，有

er-CT..

tan2a.=-----------(6-5)

由此式也可求出相差90。的两个%,其中一个对应的作用面足切应力极大值所在的平

面，另一个对应的作用面是切应力极小值所在的平面，两个切应力分别以!”、却.来表示，

称为最大切应力和最小切应力。

由式(6-5)解出和代入式(6-2),求得切应力的最大值和最小值为

(7-(7

max人

>=±+Lx(6-6)

TmmJ

2r7

比较式(6-3)和式(6-5),有

tan2%)•tan2a,=一1

所以有

cc不

2%=24+5

TV

%=%+彳

即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45°。

例6-1讨论圆周扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。

解：圆轴扭转时，在懂截面的边缘处切应力最大，其值为

T

T=一(f)

叱

在圆轴的表层，按图6-8(a)所示方式取出单元体ABCD,单元体各面上的应力如图6-8(b)

所示

=%=0，G=r(g)

这就是前而所讨论的纯剪切应力状态。把式(g)代入式(224),得

由式(6-3)

.n2r

tan2ao=-------r--=一8

%f，

所以，2a0=-90。或-270°

%=-45°或-135°

以上结果表明，从x油量起，由4=-45°(顺时针方向)所确定的主平面上的主应力为

(Tmax,而由4=-13十炉确定的主平面上的主应力为4in。按照主应力的记号规定

a\=bmax=7，a2=°，03=°min='

所以，纯剪切的两个主应力的绝对值相等，都等于切应力工，但一为拉应力，一为压应

力。

圆截面铸铁试件扭转时，表面各点5®所在的主平面连成倾角为45°的螺旋面，如图

6-8(a)所示。由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏，如图

6-8(c)所示。

H

图6-8

例6-2求如图6-9所示单元体的主应力值及主方向，并确定最大切应力值。

图6-9

解：按应力符号规则选取

crx=80MPa

4=-40MPa

rx=-60MPa

代入公式求主应力及其方位

/一吗)

+rx=

(yx=105MPa,er?=0,/=-65MPa

.2r

tan20ao=------v--=1

%一%

所以％”=22.5°,4)?=112.5°,即由=22.5°确定的主平面上，作用着主应力,

由a02=112.50确定的主平面上，作用着主应力o■“向=-65MPa.

求最大切应力：

2

»=±——-------+TX=±85/WPtz

所以最大切应力为85MPa。

三向应力解析分析简介

6.2.2三向应力状态分析的图解法

以上所述平面应力状态的应力分析，也可以利用图解法进行。由式（6-1）和式（6-2）

可知，正应力%和切应力%都是的函数，说明在之间存在着函数关系。下面来推导之间的

关系。首先，将式（6-1）和式（6-2）分别改写成如下形式

(y,---------=------cos2a-rsin2a

Jt22*r

cr-*

「厂°二^^vsin2a+jcos2a

然后将以上两式各自平方后相加，于是得

此为心为变量的圆的方程，以为横坐标，工.为纵坐标，则此圆圆心0佐坐标

crr+(yv(TA-<y

为———-,0，半径为R=此圆称为应力圆或摩尔（Mohr）圆。

2

圆上任一点的横纵坐标，则分别代表围绕一点的单元体在各个不同方位截面上的正应力与切

应力。这种通过作应力圆求任意斜截面的应力的方法称为应力分析的图解法。

下面以图6-10所示二向应力状态为例，说明应力圆的做法。

①作（7"坐标系；

②选择合适的比例尺，作出和截面x和截面y上两对应力所对应的点和

0b,如）2（%，金）；

③连接Di和口2两点，与b轴交于C点；

④以C点为圆心，西或诬为半径画圆，即为所要作的应力圆。

要求图6-10(a)中a斜截面上的应力，在应力圆上将线段CR沿a转向转过2a角，

得E点。E点的横坐标和纵坐标值即分别为a斜截面上的正应力与切应力。图6-10(b)中

的A12两点的横坐标分别为

511ax=函=无+的=反+R=生二

--------------------CT+(T(crA-eryY2

cr=OA=OC-CA=OC-R=~~:.-------------十广

min22*2J

即NRCA为主应力所在面方位角的2倍。在应力圆中线段CR转向线段CA为顺时针,

那么在图6-10(a)的单元体上从x轴应顺时针转过％角，即为主平面。在图上，A7A2两

点相差180°,则在单元体上两平面相差90°。

G］和G2是汇max，「min的点，其值等于R，两点相差180°,则在单元体上最大切应力和

最小切应力所在的平面相差90°.线段G高与线段/正交，说明在单元体上主平面与最

大切应力和最小切应力所在平面相差45°.

综上所述，应力圆与单元体有如下对应关系：

点面对应。应力圆上某•点的坐标值，分别对应着单元体上某一方位面上的正应力与切

应力。

转向对应。应力圆半径旋转时，单元体上斜截面的外法线绕x轴应沿相同转向旋转。

二倍角对应。应力圆上的角度是相应单元体上角度的2倍。

应力符号对应。单元体上正号正应力，在应力圆上位于纵坐标的右方，反之位于左方;

使单元体有逆时针旋转趋势的切应力，在应力圆上位于横坐标轴的卜.方，反之位于上方。

例6-3已知图6-11（a）所示单元体的=80M=-40MP”,j=-60Mp。

试用图解法求主应力，并确定主平面位置。

图6-11

解：（1）建立坐标系，以b轴为横坐标轴，「轴为纵坐标轴。

（2）按合适的比例,确定。D（外，理）点。

（3）连接。与。点，交横坐标。于C点。

（4）以C点为圆心，以cn或CQ为半径作圆，即为所要作的应力圆。

(5)

(T|=OAi=OC+R

=]05MPa

(T2=0

DF2r

tan2a=v

QCFa-a

•x*J

所以，24=45°,%=22.5°即，在单元体中从x轴以逆时针方向量取4=22.5°,

◎

确定力所在主平面的法线，如图6-11(a)所示。

6.3强度理论

材料在单向应力状态下的强度(塑性材料的屈服极限，脆性材料的强度极限)总可通过拉

伸试验和压缩试验加以测定；材料在纯剪切这种特定平面应力状态下的强度(剪切强度何以

通过例如圆筒的扭转试验来测定。

但是对于材料在一般二向应力状态下以及三向应力状态下的强度，则由于不等于零的主

应力可以有多种多样的组合，所以不可能总是由试验加以测定。因而需要通过对材料破坏现

象的观察和分析寻求材料强度破坏的规律，提出关于材料发生强度破坏的力学因素的假设一

一强度理论，以便利用单向拉伸、压缩以及圆筒扭转等试验测得的强度来推断复杂应力状态

下材料的强度。

材料的强度破坏有两种类型：

(1)在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂。

(2)产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。

工程中常用的强度理论接上述两种破坏类型分为：

(1)研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最大拉应力理论和最大伸长线

应变理论。

(2)研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最大切应力理论和畸变能密度

理论。

下面分别加以介绍。

63.1最大拉应力理论（第一强度理论）

受铸铁等材料单向拉伸时断口为最大拉应力作用面等现象的启迪，第一强度理论认为,

在任何应力状态下，当一点处三个主应力中的拉伸主应力力达到该材料在单轴拉伸试验或

其他使材料发生脆性断裂的试验中测定的极限应力气时就发生断裂。因此，第一强度理论

关于脆性断裂的判据为

0二%

而相应的强度条件则是

（Tf<[a]（6-11）

式中，为对应于脆性断裂的许用拉应力，匕]=%〃，而n为安全系数。这一理论与均

质脆性材料（例如铸铁、玻璃、石膏等）的实验结果相吻合。

最大拉应变理论（第二强度理论）

第二强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处的最大伸长线应变£,达到该材料

在单轴拉仲试验、单轴压缩试验或其他试验中发生脆性断裂时与断裂面垂蛊的极限伸长线应

变eb时就会发生断裂。因此，第二强度理论关于脆性断裂的判据为

对于式中材料脆性断裂的极限伸长线应变埒，如是由单轴拉伸试验测定的（例如，对

铸铁等脆性金属材料），那么旺=，>/上；故有断裂的判据为

6一E

由广义胡克定律=40一〃包+%）]得断裂判据为

5_〃（%+，）=O

则相应的强度条件则为

b]—+cr3）<[cr]（6-12）

式中，卜]对应于脆性断裂的许用拉应力，⑸=5/〃，而n为安全系数。

石料或混凝十.等脆性材料受轴向压缩时，往往出现纵向裂缝而断裂破坏，而最大伸长线

应变发生于横向，最大伸长理论可以很好的解释这种现象。但是实验结果表明，这一理论仅

仅与少数脆性材料在某些情况下的破坏相符，并不能用夹解释脆性破坏的一般规律，故工程

上应用较少。

最大切应力理论（第三强度理论）

低碳钢在单轴拉伸而屈服时出现滑移等现象，而滑移面又基本上是最大切应力的作用面

（45°斜截面）。据此，第三强度理论认为，在任何应力状态卜.当一点处的最大切应力的.达

到该材料在试验中屈服时最大切应力的极限值口、时就发生屈服。第三强度理论的屈服判

据为

Tinax=Ts

对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限。.从而有％=2材料（例如，低碳钢），上列屈

服判据可写为

2-2

即5一，二巴

把％除以安全系数得许用应力口],相应的强度条件则为

<[cr]（6-13）

从上述屈服判据和强度条件可见，这一强度理论没有考虑复杂应力状态下的中间主应力

巴对材料发生屈服的影响，因此它与试验结果会有一定误差，但结果偏「安全。

最大畸变能理论（第四强度理论）

注意到三向等值压缩时材料不发生或很难发生屈服，第四强度理论认为，在任何应力状

态下材料发生屈服是由于一点处的畸变能密度%达到极限值匕女所致，即

Jg5）2+包_/）2+（4—6H-q

式中，巧、。2、4是构成危险点处的三个主应力，把区除以安全系数碍许用应力口］,

相应的强度条件则为

jj[(巧—内》f+(6-6f卜[M

(6-14)

这个理论比第三强度理论更符合已有的一些二向应力状态下的试验结果，但在工程实践中多

半采用计算较为简便的第三强度理论。

6.3.5摩尔一库仑理论

前面所述四个强度理论，主要是采用科学假设的方法建立的，它们是对决定材料强度失

效或破坏的主要因素，根据•定的实验基础，进行假设，然后验i止。所以观点明确，物理意

义清楚。当然，强度失效或破坏的因素很多（特别是微观、细观因素很多），一两个主要因

素不可能概括全部，因此理论与实验之间的偏差是难免的。正是这种原因，以往有些强度理

论尽管物理意义似乎很合理（例如最大伸长线应变理论），但由于同实验结果偏差太大，也

很快被淘汰。因此，一个从宏观角度描述现象的理论能否成立，关键仍在于能否同实验结果

相符合。所以基于这种考虑，近代工程科学中较多地采用唯象学的方法，即根据尽可能多的

实验结果对现象和数据进行综合分析和描述，确定出其行为过程，而不过多地注意其物理意

义的阐述。摩尔-库仑强度理论就是综合实验结果建立的。

单向拉伸试验时，失效应力为屈服极限％或强度极限巧,。在汇平面内，以失效应

力为直径作应力圆04',祢为极限应力圆（图12.24）o同样，在单向压缩试验确定的极限应

力圆为。3。由纯剪切试验确定的极限应力圆是以OC'为半径的圆。对任意的应力状态,

设想三个主应力按比例增加，直至材料以屈服或断裂的形式失效。这时，由三个主应力可确

定三个主应力圆。现在只作出三个应力圆中最大的一个，亦即由2和巧确定的应力圆，

如图12.24中的圆。按上述方式，在cr-r面内得到一系列的极限应力圆。于是可以

做出它们的包络线/G'。包络线当然与材料的性质有关，不同的材料包络线也不一样；但

对同一材料则认为它是唯一的。

对一个己知的应力状态外,。2，%，如由6和。3确定的应力圆在上述包络线之内，

则这一应力状态不会引起失效。如恰与包络线相切，就表明这一应力状态已达到失效状态。

在实用中，为了利用有限的试验数据便可近似地确定包络线，常以单向拉伸和压缩的两

个极限应力圆的公切线代替包络线，若再除以安全系数,便得如图12.25所示以阿的公切线

代替包络线的情况。图中和［0］分别为材料的抗拉和抗压许用应力。若由6和6确定

的应力圆在公切线ML和M2之内，则这样的应力状态是安全的。当应力圆与公切线相切时,

便是许可状态的最高界限,

由图12,25中各线段间的几何关系可得到

Zyv

=(a)

其中

*二矶一印二耳一百

OP=ojH-OJ=^-一一产

瓯=丽+而＞岩+学

将以上各式代入式（a）,经简化后得

5-怦=口］

考虑到一定的安全储备，于是摩尔一库仑理论的强度条件为

写成相应应力形式5也=%一反。

kJ

(12.29)

对抗拉和抗压强度相等的材料,，式(12.29)化为

cr,-cr3<[o-]

成为第三强度理论的强度条件。

当=0或巧=0分别同单向拉伸或单向压缩实验吻合。

摩尔一库仑强度理论可以用来说明材料的脆性断裂和塑性屈服，但仍然未考虑生的影

响。与前述四个强度理论相比较，它不是只考虑。，£,厂各因素中的一个，而是考虑

了b和T的组合，因此摩尔一库仑强度理论是比较完善的。

6.4组合变形的强度计算

6.4.1薄壁压力容器

如果容器的壁厚t远小于容器中面的最小曲率半径R(如人工’-),则这种容器就称为

R20

薄壁容器；反之，称为厚壁容器。

一、圆筒形薄壁容器

设圆筒形薄壁容器的平均直径为。，壁厚为/,收到所装流体的压力为p,如图6-17(a)

所示，如果不考虑圆桶自重和圆筒内所装流体的重量，则筒体在内压力作用下只产生轴向伸

长和周向胀大的变形，因此在筒壁的总横两截面上只有正应力，而无剪应力。

用横截面将圆筒截开，取筒的左半边部分连同所装流体•起为隔离体(图6・17(b)),

由于筒壁很薄，可认为筒壁中的应力沿壁厚是均匀分布的。

流体作用于隔离体的压力的合力为

F=P"

图6-17

由静平衡方程

Zx=0,o■、加力—〃7。2=0

得

3

(6-15)

x4r

再用两个横截面在离端盖较远处截取长为1的圆筒，并以纵向对称面将其截为两半，取

其下半部分连同所装液体一起为分离体(图6-17(c)),同样认为应力沿壁厚是均匀分布的。

流体作用于分离体的压力的合力为

F'=plD

静平衡方程

ZY=0,2(cr、,〃)_〃〃)=U(6-16)

由式(6-15)和式(6-16)得

巴二1铲，

即圆筒形薄壁容器的筒壁的周向应力b,为轴向应力CT、的2倍。

圆筒壁上任一点A的应力状态如图6-17(a)所示，要说明的是，圆筒内表面虽然直接

受内压P的作用，但p远小于q和于是由内压p引起的径向应力可以忽略不计；又圆

筒外表面为自由表面，因此圆筒上任一点处的应力状态可近似地看作为二向应力状态。

二、圆球形薄壁容器

设圆球形薄壁容器的平均直径为Q,壁厚为，。所受内压为如图6-18(a)所示。

图6-18

由于圆球的对称性，可取半个圆球连同所装的流体一起为分离体(图6-18(b))。流体

作用于分离体的压力的合力为

L7TD2

r=p-------

4

由静平衡方程

jrT)-

ZZ=0,OTTDI-/?—^―=0

得

CF=-(6-17)

4r

如果略去径向应力，则球璧上任一点A处的应力状态如图6-18(a)所示，为一等值二

向应力状态。

6.4.2偏心拉压问题

如果外力的作用线平行于杆件的轴线，但不通过横截面的形心，则引起偏心拉伸(或压

缩)，简称偏心拉压。当外力在纵向对称面时，称为单向偏心拉压。在工程实际中，经常会

遇到单向偏心拉压的问题，如图6-19中开口链环和图6-20中厂房的立柱。如果将载荷向

杆件等直部分48段的轴线平移，则作用在AB段上的外力可视为轴向力P和矩为6的力

偶，轴向力可使杆段产生拉伸(或压缩)，力偶将使杆段产生弯曲，所以，偏心拉压本质上是

轴向拉压与弯曲的组合变形问题。

图6・19偏心拉伸图6-20偏心压缩

下面以矩形截面杆为例，如图6-21所示，说明单向偏心拉压的应力计算。载荷P位于

纵向对称面Oxz内，杆件承受单向偏心压缩，其简图为图6-21(b)o将P平移至轴线，如图

6-21(c)所示，杆件承受压弯组合变形。

图6-21单向偏心压缩

各横截面的内力：F”P,My=Pe(y为中性轴)。易知各个横截面的右侧边缘有最

大压应力:

FNMmaxPPe

c,nax

AWvAW、.

若偏心距e较大，则弯曲最大应力大于压缩应力，横截面左侧边缘会出现拉应力:

0斡_PeP

gx%AMA

对于脆性材料的受压立柱，由于材料抗拉能力较差以从强度方面考虑，希望横截面上的

拉应力很小或不出现拉应力，这就要求偏心距控制在一定范围之内。

当外力不在纵向对称面时，称为双向偏心拉压。以图6-22(a)所示矩形截面杆为例,

载荷P位于Oyz面向点，讨论任意横截面四个角点的应力。

图6-22双向偏心拉伸

将力P平移至轴线，如图6-22(b)所示，附加力偶矩为纵向对称面Oxy、Oxz内的两个

力偶，力偶矩矢大小为〃2：=P%,=pZpO

如图6-22(b)所示，轴向力使杆件受拉，附加力偈和、也使杆件在Oxy和OKZ面

产生弯曲，中性轴分别为z、y轴，因此，杆件承受拉伸和双向弯曲的组合变形。

各横截面的内力：F『P,Mz=PYp,用小〃Z?。可知各个横截面有相同的应力

分布。利用叠加法，可求得横截面四个角点的应力。

PM、.M.0।।Pyp

.=—+―+--

4AW.2

y26hhlr/6bh/6

MvM.pPZp%

b"一A卜P.

,/仍

AWvVK~6/72/6以2/6

P吃M.pP2pTp〉p

w,也2

v~6hhb/6,blr/6

pMyM：PPzpp%

J」4

~6h2加/6

WxJW-.hb/6

结果若为负值，则表示应力为压应力。

例6-4钻床如图6-23(a)所示，钻孔时受到的压力P=15kN,压力P的作用线距立柱

轴线的距离为e=400mm,铸铁立柱的许用拉应力［b』=35MPa,许用压应力［crc］=120

MPa。试确定铸铁立柱的直径。

解：外力分析：首先将力P向立柱轴线简化，如图6-23(b)所示，得到一轴向的力P和

力偶M二几。所以，立柱产生的是拉伸与弯曲的组合变形。

内力分析：显然,立柱各个横截面的内刀为：轴力£v=15KN；弯矩

M=15x0.4=6A7V>n

图6-23例6-4图

应力分析；与轴力对应的拉应力为

与弯矩对应的最大应力为

fy'—"max

o------

%

应力分布于叠加结果如图6-23(c)所示，可得最大拉应力发生在横截面的右边缘，其

值为

B=FNIMmax

/max-AW/

最大压应力发生在横截面的左边缘点，其值为和。的差，小于Cmax=07ma,

强度计算：由于铸铁的许用拉应力［外］小于许用压应力［0］，而立柱的b,max=5mx因

此，应根据最大拉应力Qmax来进行强度计算。

Umax=—+<卜］

…4L/J

w7

统一单位，代入数据，得到

15xlO36x106

^max=——+——《35

432

解此方程，就可以得到立柱的直径d。数学上求解三次方程比较困难，因此，在工程计

算中常常采用一种简便的方法。由例6-4的结果可以看出，一般情况下，产生拉伸(或压缩)

和弯曲组合变形的杆件中，弯曲正应力是主要的。所以，先按弯曲轻度条件初步确定直径，

考虑轴力的影响，适当增大所取直径的值，再按偏心拉伸的轻度条件进行强度校核，若巴「海

与徐永拉应力［6］相差较大，再做调整，逐步逼近，最终确定出既满足强度条件有使?max

和［6］接近的直径，这样材料的承载能力才是好的。

6.4.3圆轴弯扭组合变形的强度计算

借助于带轮或齿轮传递功率的传动轴，如图6-24(a)所示。工作时在齿轮的齿上均有外

力作用。将作用在齿轮上的力向轴的截面形心简化便得到与之等效的力和力偶，这表明轴将

承受横向载荷和扭转载荷，如图6-24(b)所示。为简单起见，可以用轴线受力团代替图6-24(b)

中的受力图，如图6-24(c)所示，这种称为传动轴的计算简图。

为对承受弯曲与扭转共同作用下的圆轴进行强度设计，i般需要弯矩图和扭矩图(剪力

一般忽略小计)，并据此确定传动轴上可能的危险图。因为是圆截面，所以当危险面上有两

个弯矩和同时作用时，应按矢量求和的方法，确定危险面上总弯矩M的大小与方

法(图6-25(a)(b))o

图6-25危险界面上的内力分量

根据械面上的总弯矩M和扭矩的实际方向，以及它们分别产生的正应力和剪应力

分布，即可确定承受弯曲与扭转圆轴的危险点及其应力状态，如图6-26(a)、(b)所示。微

元械面上的正应力和剪应力分别为

M

a=一,r

W%

,,....71(1...

其中，IV=——=一

32"16

式中，d为圆轴的直径。

图6-26承受弯曲与扭转圆轴的危险点及其应力状态

图6-26的应力状态因为其承受弯曲与扭转的圆轴一般有韧性材料制成,故可用最大剪

应力准则或畸变能密度准则作为强度设计的依据。于是，得到设计准则:

V(T2+4r2<周,\la2+4r2<[a]

将&和工的表达式代入上式，并考虑到=2卬，便得到

1M-+A7-xvrj

~W一口(6-18)

J"?+0.75M2K

(6-19)

W4M

引入记号

=J/r+M7+Zz

Mr3=(6-20)

22

M,4=J"+0.75—=7o.75M_r+A/y(6-21)

式(6-18)、式(6-19)变为

Xi(6-22)

(6-23)

式中，用,3和加,7分别称为基于最大剪应力准则和基于畸变能密度准则的计算弯矩。

将卬=加产/厂代入式(6-22)、式(6-23),便得到承受弯矩与扭转的圆轴直径的设计

公式:

(6-24)

(6-25)

需要指出的是,的表达式（6-20）或加川的表达

式（6-21）中的弯矩M=0,即可进行同样的设计计算。

例题6~4图6-27中所示电动机的功率〃=9%卬，转速〃=715〃min,皮带轮的直径

。=250mm,皮带松边拉力为今，紧边拉力为.电动机轴外伸部分长度L=120〃〃〃，

轴的直径d=40m牡。若已知许用应力[cr]=60M&,试用最大剪应力准则校核电动机轴

的强度。

图6-27例题6-4图

解：1.计算外加力偶的力偶矩以及皮带拉力

电动机通过带轮输出功率，因而承受由皮带拉力引起的扭转和弯曲共同作用。根据釉传

递的功率、轴的转速与外加力偶矩之间的关系，作用在带轮上的外加力偶矩为

PQkW

M=9549x—=9549x------=120.2N•m

en715r/min

根据作用在皮带上的拉力与外加力偶矩之间的关系，有

“D口DM

2FpX^~FPX^=Me

于是，作用在皮带上的拉力

2M°2x120.2^/77...

Fr,=----=------------=9OA61T.6N

〃rD250/初〃xIOf

2.确定危险面上的弯矩和扭矩

将作用在带轮上的皮带拉力向轴线简化，得到一个力和一个力偶，即有

笈=3",=3x961.6N=2884.8N,M,=120.2N•/〃

轴的左端可以看出自由端，右端可■视为固定端约束。由于问题比较筒单，可以不必画出

弯矩图和扭矩图，就可以宜接判断出固定端出的横截面为危险面，其上之弯矩和扭矩分别为