2025版高考数学一轮复习第八章立体几何第3讲空间点直线平面之间的位置关系教案文新人教A版

PAGEPAGE14第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系一、学问梳理1．四个公理公理1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行．2．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内))(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．[留意]两直线垂直有两种状况——异面垂直和相交垂直．(3)等角定理空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线和平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内a⊂α有多数个公共点直线在平面外直线a与平面α平行a∥α没有公共点直线a与平面α斜交a∩α＝A有且只有一个公共点直线a与平面α垂直a⊥α(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．二、习题改编1．(必修2P43练习T1改编)下列命题中正确的是()A．过三点确定一个平面B．四边形是平面图形C．三条直线两两相交则确定一个平面D．两个相交平面把空间分成四个区域答案：D2．(必修2P49练习题)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是()A．α内的全部直线与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内存在唯一的直线与a平行D．α内的直线与a都相交答案：B一、思索辨析推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若P∈α∩β且l是α，β的交线，则P∈l.()(2)三点A，B，C确定一个平面．()(3)若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面．()(4)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α.()(5)分别在两个平面内的两条直线是异面直线．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×二、易错纠偏eq\a\vs4\al(常见误区)(1)对异面直线的概念理解有误；(2)对等角定理条件相识不清致误；(3)对平面的性质驾驭不娴熟，应用不敏捷．1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A．肯定是异面直线 B．肯定是相交直线C．不行能是平行直线 D．不行能是相交直线解析：选C.假设c∥b，又因为c∥a，所以a∥b，这与a，b是异面直线冲突，故c与b不行能平行．2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行 D．OB与O1B1不肯定平行解析：选D.两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不肯定平行，故选D.3．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为．解析：EF与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF相交的平面有4个．答案：4平面的基本性质(典例迁移)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：E，C，D1，F四点共面．【证明】如图所示，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B.又因为A1D1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF与CD1确定一个平面α，所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面．【迁移探究】(变问法)若本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？证明：如图，由本例知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE，且P∈D1F，又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1，所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线交于一点．eq\a\vs4\al()共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将全部条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②干脆证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．[提示]点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．证明：(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面．(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．空间两直线的位置关系(师生共研)(2024·高考全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【解析】如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD，FN，因为△CDE是正三角形，所以EF⊥CD.设CD＝2，则EF＝eq\r(3).因为点N是正方形ABCD的中心，所以BD＝2eq\r(2)，NF＝1，BC⊥CD.因为平面ECD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝2eq\r(2)，所以在等腰三角形BDE中，BM＝eq\r(7)，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直线．故选B.【答案】Beq\a\vs4\al()1．已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能解析：选D.在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．故选D.2.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论是(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．答案：③④异面直线所成的角(师生共研)(1)(2024·成都第一次诊断性检测)在各棱长均相等的直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为()A.eq\r(3) B．1C.eq\f(\r(6),3) D．eq\f(\r(2),2)(2)四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为．【解析】(1)如图，取AA1的中点P，连接PN，PB，则由直三棱柱的性质可知A1M∥PB，则∠PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角)．设三棱柱的棱长为2，则PN＝eq\r(2)，PB＝eq\r(5)，BN＝eq\r(3)，所以PN2＋BN2＝PB2，所以∠PNB＝90°，在Rt△PBN中，tan∠PBN＝eq\f(PN,BN)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，故选C.(2)如图，取BC的中点O，连接OE，OF，因为OE∥AC，OF∥BD，所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝eq\f(1,2).当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).【答案】(1)C(2)eq\f(1,2)或eq\f(\r(3),2)eq\a\vs4\al()平移法求异面直线所成角的步骤详细步骤如下：1．(2024·广东省七校联考)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线AC与A1B所成的角为()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选C.如图，连接CD1，AD1则A1B∥CD1，所以∠ACD1是异面直线AC与A1B所成的角或其补角．易知△ACD1是等边三角形．所以∠ACD1＝60°，所以异面直线AC与A1B所成的角为60°.故选C.2．(2024·济南市学习质量评估)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，则异面直线BD与CF所成角的余弦值为．解析：如图，连接DE交FC于点O，取BE的中点G，连接OG，CG，则OG∥BD且OG＝eq\f(1,2)BD，所以∠COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角．设正方形ABCD的边长为2，则CE＝BE＝1，CF＝DE＝eq\r(CD2＋CE2)＝eq\r(5)，所以CO＝eq\f(1,2)CF＝eq\f(\r(5),2).易得BE⊥平面CDFE，所以BE⊥DE，所以BD＝eq\r(DE2＋BE2)＝eq\r(6)，所以OG＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(6),2).易知CE⊥平面ABEF，所以CE⊥BE，又GE＝eq\f(1,2)BE＝eq\f(1,2)，所以CG＝eq\r(CE2＋GE2)＝eq\f(\r(5),2).在△COG中，由余弦定理得，cos∠COG＝eq\f(OC2＋OG2－CG2,2OC·OG)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×\f(\r(5),2)×\f(\r(6),2))＝eq\f(\r(30),10)，所以异面直线BD与CF所成角的余弦值为eq\f(\r(30),10).答案：eq\f(\r(30),10)核心素养系列15直观想象——空间中的“动”与函数1．直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与改变，利用空间形式特殊是图形，理解和解决数学问题的素养．2．立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的推断，求轨迹的长度及动角的范围等．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一道闻名的“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中心，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为：“今有一个底面为正方形的长方体水池，且底面边长为1丈(注：1丈＝10尺)，芦苇生长在水的中心，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水面齐平(示意图如图所示)，问水深、芦苇的长度各是多少？”设∠DEF＝θ，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,4)))＝()A．3 B．4C．5 D．6【解析】设水深为x(单位：尺)，则芦苇长为x＋1，故(x＋1)2＝x2＋25，所以x＝12，从而tanθ＝eq\f(12,5)，所以eq\f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝eq\f(12,5)，故taneq\f(θ,2)＝eq\f(2,3)或taneq\f(θ,2)＝－eq\f(3,2)(舍)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,4)))＝eq\f(tan\f(θ,2)＋1,1－tan\f(θ,2))＝eq\f(\f(2,3)＋1,1－\f(2,3))＝5.【答案】Ceq\a\vs4\al()本题是立体几何与数学文化、三角函数的交汇，试题设置的新意，充分体现了考纲要求——要留意学科的内在联系和学问的综合性，在学问网络交汇点处设计试题，使其对数学基础学问的考查达到必要的深度．如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点(不与P，B重合)，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得图形的面积为y，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f(x)的图象是()解析：选C.过点M作MN⊥AB，交AB于点N，则MN⊥平面ABCD，过点N作NQ∥AD，交CD于点Q，过点Q作QH∥PD，交PC于点H，连接MH，则平面MNQH是所作的平面α，由题意得eq\f(2－x,2)＝eq\f(MN,4)，解得MN＝4－2x，由eq\f(CQ,CD)＝eq\f(QH,PD).即eq\f(2－x,2)＝eq\f(QH,2\r(5))，解得QH＝eq\r(5)(2－x)，过点H作HE⊥NQ，垂足为E，在Rt△HEQ中，EQ＝eq\r(HQ2－HE2)＝2－x，所以NE＝2－(2－x)＝x，所以MH＝x，所以y＝f(x)＝eq\f(（x＋2）（4－2x）,2)＝－x2＋4(0＜x＜2)．所以函数y＝f(x)的图象如图．故选C.[基础题组练]1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c肯定()A．与a，b都相交 B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b都平行解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，依据公理4，知a∥b，与a，b异面冲突．2．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面解析：选D.依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．故选D.3．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形肯定是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形解析：选B.如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．4．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．5．(2024·内蒙古集宁一中四模)如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选A.取CB的中点G，连接EG，FG.则EG∥AB，FG∥CD.所以EF与CD所成的角为∠EFG(或其补角)，因为EF⊥AB，所以EF⊥EG.EG＝eq\f(1,2)AB＝1，FG＝eq\f(1,2)CD＝2，所以在Rt△EFG中，sin∠EFG＝eq\f(1,2)，所以EF与CD所成的角为30°.故选A.6．已知棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是．解析：如图，由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′，所以MN∥A′C′.答案：平行7．给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面．其中真命题的序号是．解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．答案：①②③8．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面相互垂直，则异面直线AP与BD所成的角为．解析：如图，将原图补成正方体ABCD­QGHP，连接AG，GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．证明：如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，因为BB1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三点共线．10.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱锥P­ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱锥P­ABC的体积为V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq\f(3,4).[综合题组练]1．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.2.如图，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当点C运动时，点H运动的轨迹()A．是圆 B．是椭圆C．是抛物线 D．不是平面图形解析：选A.如图，过点B作圆的直径BD，连接CD，AD，则B