2025年中考数学总复习《勾股定理》专项测试卷(附答案)

第第页2025年中考数学总复习《勾股定理》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题：1.下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是(

)A.2，4，6 B.4，6，8 C.3，4，5 D.4，5，62.如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l.下列说法错误的是(

)A.从点P向北偏西45°走3km到达l

B.公路l的走向是南偏西45°

C.公路l的走向是北偏东45°

D.从点P向北走3km后，再向西走3km到达l

3.有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角之和；(2)三个内角之比为3：4：5；(3)三边之比为5：12：13；(4)三边长分别为5，24，25.其中直角三角形有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB =90∘，已知AB=2.5m，AC=2m，则BC的长为(

)

A.1.5m B.2m C.2.5m D.3m5.我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在△ABC中，AB=13里，BC=14里，AC=15里，则△ABC的面积是(

)

A.80平方里 B.82平方里 C.84平方里 D.86平方里6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=6，AC= 8，则Rt△ABC的斜边AB上的高CD的长是(

)

A.365 B.245 C.9 7.如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是(

)A.31+π

B.32

C.8.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm.把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则AF的长为(

)A.254cm

B.152cm

C.9.如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知A.47 B.62 C.79 D.98二、填空题：10.如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为

．11.《周礼⋅考工记》中记载有：“…半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zℎú)…”.意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=12矩，1欘=112宣(其中，1矩=90°)．

问题：图(1)为中国古代一种强弩图，图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1欘，则∠C=______度.12.利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a=4，b=2，则矩形ABCD的面积是

．

13.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=8，小正方形的面积为9，则大正方形的面积为______．

14.一只蚂蚁从棱长为4cm正方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它的最短路线的长是______cm．

15.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为

16.如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是20cm、长是50cm、宽是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是

．

17.古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是_______________．

18.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑2m，那么梯子的底端向外滑动______米.

19.图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB=AB′，AB⊥B′C于点C，BC=0.5尺，B′C=2尺.则AC的长度为______尺.

20.如图，学校操场边上有一块四边形空地ABCD，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，∠ADC=∠DAE=∠DCE=90°，CD=8m，AD=6m，BC=24m，AB=26m，那么需要绿化部分的面积为______．

21.如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则∠α+∠β=

．

三、解答题：22.某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图.测得AC长为322km，CD长为34(2+6)km，BD长为32km，∠ACD=60°，∠CDB=135°(A、B、C、D在同一水平面内)．23.如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边的D′处，AE是折痕．已知AB=6cm，BC=10cm，求CE的长．

24.在本节“史海漫游”中，提到丢番图的一个结论：设m>n，m，n都是正整数，(m2−(1)验证这个结论当m=3，n=2时是正确的；(2)证明丢番图结论的正确性．25.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且AB=5，BD=3，AD=4，且△ABC的周长为18，求AC的长和△ABC的面积．26.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．

(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)；

(2)确定C港在A港的什么方向．27.一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

(1)这个梯子的顶端距地面有多高？

(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

28.在Rt△ABC中，∠C=90∘，a，b，c分别表示∠A，∠B，∠C的对边．

(1)如图1，已知a=7，c=25，求b．(2)如图2，已知c=25，a:b=4:3，求a，b．29.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

(1)①请叙述勾股定理；

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)

(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有______个；

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；

(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含参考答案1.【答案】C

【解析】解：A、2+4=6，故不能构成三角形，故不符合题意；

B、42+62≠82，故不是直角三角形，故不符合题意；

C、32+42=522.【答案】A

【解析】解：如图，

由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，

则AB=62km，

则PC=32km，

则从点P向北偏西45°走32km到达l，选项A错误；

则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；

则从点P向北走3km后，再向西走3km到达l，选项D正确．3.【答案】B

【解析】解：(1)∵一个角等于另外两个内角之和，

∴这个角=12×180°=90°，是直角三角形；

(2)三个内角之比为3：4：5，

∴最大的角=53+4+5×180°=512×180°<90°，是锐角三角形；

(3)设三边分别为5k，12k，13k，

则(5k)2+(12k)2=25k2+144k2=169k2=(13k)2，是直角三角形；

(4)∵52+242=25+576=601≠4.【答案】A

【解析】解：如图所示：在Rt△ABC中，

BC2=AB2−AC25.【答案】C

【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，设BD=x里，则CD=(14−x)里，在Rt△ABD中，AD在Rt△ADC中，AD∴13132解得x=5，在Rt△ABD中，AD=132∴△ABC的面积=12BC故选：C．6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算，得到答案．

【解答】

解：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=6，AC=8，

根据勾股定理可得AB=10，

△ABC的面积=12×BC×AC=7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查勾股定理.要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解，然后考虑另一种情况就是蚂蚁在圆柱体上方走直径这一情况，最后比较可得结果．

【解答】

解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距

离为线段AC的长，点A、C的最短距离为线段AC的长，

在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，

所以AC=34+π22，

所以最短路径为38.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．

由折叠的性质可得AE=AB=8cm，CE=BC=AD=6cm，∠E=∠B=90°，由“AAS”可证△CEF≌△ADF，可得CF=AF，由勾股定理可求AF的长．

【解答】

解：∵把长方形纸片沿直线AC折叠，

∴AE=AB=8cm，CE=BC=AD=6cm，∠E=∠B=90°，

在△CEF和△ADF中，

∠CFE=∠AFD∠E=∠D=90°CE=AD,

∴△CEF≌△ADF(AAS)，

∴CF=AF，

∵AF2=DF2+AD2，

∴AF2=(8−AF9.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了勾股数，数式规律问题，满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．

依据每列数的规律，即可得到a=n+12−1，b=2n+1，c=n+12+1，(n为正整数)，进而得出x+y的值．

【解答】

解：由题可得，3=22−1，4=2×2，5=22+1，

8=32−1，6=2×3，10=32+1，

15=42−1，8=2×4，17=42+1，

24=52−1，10.【答案】2【解析】【分析】

本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

根据勾股定理即可得到结论．

【解答】

解：如图，第一步到①，第二步到②，落点与出发点间的最短距离为12+12=11.【答案】22.5

【解析】解：∵1宣=12矩，1欘=112宣，1矩=90°，∠A=1矩，∠B=1欘，

∴∠A=90°，∠B=112×12×90°=67.5°，

∴∠C=180°−90°−∠B=180°−90°−67.5°=22.5°，

故答案为：22.5．12.【答案】16

【解析】解：设小正方形的边长为x，

∵a=4，b=2，

∴BD=2+4=6，

在Rt△BCD中，DC2+BC2=DB2，

即(4+x)2+(x+2)2=62，

整理得，x2+6x−8=0，所以x2+6x=8，

而矩形的面积=(x+4)(x+2)=x213.【答案】25

【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，

∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8=4，

∴大正方形的面积为：4×12ab+(a−b)2=16+9=2514.【答案】4【解析】解：∵展开后由勾股定理得：AB2=42+(4+4)2=80，

∴AB=45．

故答案为：415.【答案】13cm

【解析】本题考查的是勾股定理的应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可．【详解】解：长方体侧面展开图如图所示．由题意，得PA=2+4+2+4=12cm，QA=5cm在Rt▵PQA中，PQ∴PQ=13cm．故答案为：13cm．16.【答案】130cm

【解析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用两点之间线段最短．【详解】解：将台阶展开成平面图形．在Rt▵ABC中，AC=50cm，BC=120cm，AB=其爬行的最短长度AB=130cm

故答案为：130cm．17.【答案】25

【解析】【分析】

本题考查了平面展开最短路径问题.立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．

【解答】

解：如下图，

一条直角边(即枯木的高)长20尺，

另一条直角边长5×3=15(尺)，

因此葛藤长为202+152=25(尺)18.【答案】2

【解析】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10米，AC=8米，

由勾股定理得BC=102−82=6(米)，

在Rt△A′CB′中，∠C=90°，A′B′=AB=10米，CA′=6米，

由勾股定理得CB′=102−62=8(米)，

∴BB′=B′C−BC=8−6=2(米)，

∴底端将水平滑动2米．

故答案为：2．

已知AB，AC，在Rt△ACB中即可计算BC，梯子的顶端下滑219.【答案】3.75

【解析】解：设AC的长度为x尺，则AB′=AB=(x+0.5)尺，

在Rt△AB′C中，由勾股定理得：AC2+B′C2=AB′2，

即x2+22=(x+0.5)2，

解得：x=3.75，

即AC的长度为3.75尺，

20.【答案】96m【解析】解：连接AC，

∵∠ADC=∠DAE=∠DCE=90°，

∴四边形ADCE是矩形，

∴CD=AE=8m，AD=CE=6m，

在Rt△ACD中，AC=AD2+CD2=62+82=10(m)；

∵AC2+BC2=10221.【答案】45°

【解析】【分析】

本题考查了勾股定理及逆定理，勾股定理列式求出EB2、BC2、EC2，然后利用勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质解答即可．

根据勾股定理列式求出EB2、BC2、EC2，然后利用勾股定理逆定理和全等三角形的判定与性质解答，可得答案．

【解答】

解：如图，

由勾股定理得，

EB2=12+22=5，

EC2=12+22=5，

BC22.【答案】解：(1)过A作AE⊥CD于E，如图所示：

则∠AEC=∠AED=90°，

∵∠ACD=60°，

∴∠CAE=90°−60°=30°，

∴CE=12AC=342km，AE=3CE=346km，

∴DE=CD−CE=34(2+6)−342=346km，

∴AE=DE，【解析】(1)过A作AE⊥CD于E，由含30°角的直角三角形的性质得CE=12AC=342(km)，AE=3CE=346(km)，再证AE=DE，即可求解；

(2)由23.【答案】解：∵四边形ABCD为长方形，

∴AD=BC=10cm，DC=AB=6cm，

∠B=∠C=∠D=90°，

又∵△AD′E是由△ADE折叠得到，

∴AD′=AD=10cm，D′E=DE，∠AD′E=∠D=90°，

在Rt△ABD′中，由勾股定理得BD′=102−62=8cm，

∴CD′=2cm，

设CE=xcm，则D′E=DE=(6−x)cm，

在Rt△D′CE中，

D′E2=EC2【解析】本题考查了折叠的性质，长方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．

由四边形ABCD为长方形，AB=6cm，BC=10cm，即可求得AD与AB的长，又由折叠的性质，即可得AD′=AD，然后在Rt△ABD′中，利用勾股定理求得BD′的长，即可得CD′的长，然后设CE=xcm，在Rt△D′CE中，由勾股定理即可得方程：(6−x)2=24.【答案】【小题1】解：当m=3，n=2时，m2−n2=5∵52+【小题2】证明：∵m>n，m，n都是正整数，∴m2−n2，2mn‘∵(m2−n2∴(m∴当m>n，m，n都是正整数时，(m

【解析】1.

见答案

2.

见答案25.【答案】解：∵32+42=52，

∴BD2+AD2=AB2，

∴△ABD是直角三角形，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵△ABC的周长为18，

∴AC+CD=18−5−3=10，

设CD=x，则AC=10−x，

在Rt△ADC中，AD2=AC2−CD【解析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形周长和面积的计算.熟练掌握勾股定理，熟练应用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．

通过计算得出BD2+AD2=AB2，由勾股定理的逆定理得出△ABD是直角三角形，26.【答案】解：(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，

∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，

∴∠ABQ=30°，

∴∠ABC=90°．

∵AB=BC=10，

∴AC=AB2+BC2=102≈14.1(km)．

答：A、C两地之间的距离为14.1km．

(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，

∴∠BAC=45°，【解析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，是基础知识，比较简单．

(1)由题意得∠ABC=90°，由勾股定理，从而得出AC的长；

(2)由∠CAM=60°−45°=15°，则C点在A点北偏东15°的方向上．27.【