2024-2025学年江苏省沭阳县高一下册第一次月考数学质量检测试卷（附解析）

2024-2025学年江苏省沭阳县高一下学期第一次月考数学质量检测试卷一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则与同向的单位向量为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据单位向量的定义即可求解.【详解】则与同向的单位向量为,故选：C2.若，，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求得的值.【详解】因为，则，所以，，因此，.故选：C.3.下列说法正确的是（）A.若且，则 B.若且，则C.若，则 D.【正确答案】C【分析】由向量的坐标运算可得A错误；当时可得B错误；由模长的运算和数量积的运算律可得C正确；由数量积的定义结合数乘向量定义可得D错误.【详解】A：设，则，且，但，故A错误；B：当时，由于零向量与任意向量都共线，所以与不一定平行，故B错误；C：因为，所以，所以，所以，故C正确；D：由数量积的运算可得与共线，与共线，由于不知道间关系，所以原式不一定相等，故D错误；故选：C.4.若中，，则此三角形的形状是（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形【正确答案】A【分析】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状.【详解】中，，已知等式变形得，，即，整理得，即，或（不合题意，舍去）．，，则此三角形形状为直角三角形．故选：A5.是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】利用二倍角公式可求值，从而可根据必要不充分条件的定义求解.【详解】因为，所以，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.6.（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值.【详解】.故选：C.7.在中，是直线上一点且，则（）A.-2 B. C. D.0【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求出，再利用数量积的运算律及定义计算得解.【详解】由，，得，由共线，得，解得，则，，所以.故选：B8.设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记作.同时把有序数对叫做点在斜坐标系xOy中的坐标，记作，已知在斜坐标系xOy中，的三个顶点，且A，B，C异于点，则下列结论错误的是（）A.B.C.若，则D.的重心的坐标为【正确答案】B【分析】先计算，再根据新定义计算、、，判断ABC的正误，利用向量线性运算得，根据斜坐标系坐标定义求解判断D的正误.【详解】依题意，.由向量，，则，故A正确；，故B错误；若，则，即，即，所以，故C正确；设为的中点，根据三角形重心性质知，则，所以，所以，所以，故D正确.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.9.下列式子运算正确的有（）A. B.C. D.【正确答案】ACD【分析】根据同角平方关系计算即可判断A；根据两角和的余弦公式计算即可判断B；根据二倍角的正切公式计算即可判断C；根据两角和正切公式计算即可判断D.【详解】A：，故A正确；B：，故B错误；C：由得所以，故C正确；D：，，，故D正确.故选：ACD10.下列命题中，正确的是（）A.在中，若，则B.在锐角中，不等式恒成立C.在中，若，则必是等腰直角三角形D.在中，若，，则必是等边三角形【正确答案】ABD【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D.【详解】对于A，在中，若，则，由正弦定理可得，A正确；对于B，锐角中，，则，故，B正确；对于C，中，若，则，即得，故或，故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误；对于D，，，则，故，，结合，可知是等边三角形，D正确，故选：ABD11.圆O半径为2，弦，点C为圆O上任意一点，则下列说法正确的是（）．A.的最大值为6 B.C.恒成立 D.满足的点C仅有一个【正确答案】AB【分析】根据题意建立适当的平面直角坐标系，设，分别写出，，的坐标，利用向量数量积的坐标表示可判断A；先写出的坐标，再将向量的模转化为求三角函数的值域可判断B；根据极化恒等式可判断C；令，得到可判断D.【详解】由题意，以O为原点，以平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，，，，设，，对于A，，∵，∴，∴，∴的最大值为6，故A正确；对于B，∴∵，∴，∴，故B正确；对于C，取AB的中点为E，则，故C错误；对于D，当时，即，解得，∵，∴或，即符合条件的点C有两个，故D错误．故选：AB．思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12.在中，，若此三角形恰有两解，则BC边长度的取值范围为___________．【正确答案】【分析】依题意得，由求解【详解】若恰有两解，则，解得，即边长度的取值范围为．故13.△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，中线AM长为m，角平分线AD的长为n，则__________【正确答案】【分析】中线用向量即可求的值；角平分线用即可求的值.【详解】AM为中线，则，则，则，AD为角平分线，则，即，得，则故14.如图，已知足球比赛的球门宽度大约为7米，在场地的底线上，与点距离5米，与底线垂直，长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点开始带球沿直线向点奔跑并选择一点处射门，要想获得最大的射门角度()，则他需要带球的距离是_________米【正确答案】【分析】设得出，由正切函数单调性，两角差的正切公式及基本不等式即可求解．【详解】设同理可得则，当且仅当，即时等号成立，此时故四、解答题：本大题共6小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知（1）求在上的投影向量的坐标.（2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据给定条件，直接求出在上的投影向量的坐标.（2）利用向量夹角公式，结合向量共线列式计算即得.【小问1详解】依题意，，故在上的投影向量为【小问2详解】依题意，，，由与的夹角为钝角，得，且与不共线，则且，解得，且，所以实数的取值范围是16.在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为.（1）求；（2）求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据条件求得，，再根据同角三角函数基本关系式，以及两角和的正弦公式，即可求解；（2）首先利用角的变换求，即可求解.【小问1详解】由题意可知，，，，，所以，，；【小问2详解】，，，由，得，，则，所以.17.如图，某大型厂区有三个值班室，值班室在值班室的正北方向3千米处，值班室在值班室的正东方向4千米处，仓库在边上且满足．（1）求仓库到值班室的距离；（2）保安甲沿从值班室出发行前往值班室，保安乙沿从值班室出发行前往值班室，甲乙同时出发，甲的速度为，乙的速度为．若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离不大于3千米，请问有多长时间两人不能通话？【正确答案】（1）千米（2）小时【分析】（1）借助勾股定理与正弦定理计算即可得；（2）表示出甲乙所出发后所处位置及到点的距离后，借助余弦定理可表示出甲乙距离，结合要求计算即可得.【小问1详解】是直角三角形，且，则，，又，在中，；【小问2详解】设甲乙出发后的时间为小时，甲在线段上的位置为，乙在线段上的位置为，则，且，由（1）可知：，在中，由余弦定理可知：，即：，若甲乙不能通话，则，即，解得或，又，故不能通话的时间为小时.18.如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点．（1）令，，用，表示；（2）求线段的长．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由向量的线性运算求解；（2）利用三点共线，三点共线，求得，同时证明是等边三角形，然后把平方可得．【小问1详解】∵，分别为，的中点，∴；【小问2详解】设，∵，分别为，的中点，所以，因三点共线，三点共线，所以，解得，即，由已知与平行且相等，因此是平行四边形，所以，是等边三角形，所以．19.已知函数．（1）若存在，使得成立，则求的取值范围；（2）将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，求函数在区间内的所有零点之和．【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先把函数关系式变形成正弦型函数，进