2024-2025学年海南省海口市高一下册3月月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年海南省海口市高一下学期3月月考数学检测试卷一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据集合的补集及交集计算即可.【详解】因为集合，，则，则.故选：A.2.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【正确答案】B【分析】通过举反例排除A,C两项，利用不等式的性质进行推理，可以排除D项，证得B项.【详解】对于A,当时，显然不成立，故A错误；对于B，由，利用不等式的性质易得，故B正确；对于C，当时，取，则，故C错误；对于D，当时，，由不等式的性质，可得，故D错误.故选：B.3.为了得到函数图象，可以将函数的图象（）A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位【正确答案】B【分析】根据函数图象平移变换进行判断.【详解】将的图象向右平移个单位，可得的图象.故选：B4.若，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】将已知等式平方后可直接构造方程求得结果.【详解】，.故选：C.5.已知向量，的夹角为，，，则（）A. B.3 C. D.12【正确答案】A【分析】利用条件进行数量积运算即可求出，从而可得出的值.【详解】，，，，，故选：A.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．6.如图，在中，点为线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，则（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】将用、表示，然后利用平面向量的减法可得出关于、的表达式.【详解】因为为线段的中点，则，因为点是线段上靠近的三等分点，则，因此，.故选：A.7.已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】分别与0和1比较后可得．【详解】，，，∴，即．故选：A．方法点睛：本题考查幂、对数、三角函数值的大小比较．对于具体实数的比较大小，如果能应用函数单调性的应用单调性比较大小，如果不能应用单调性，不同类型的数可以借助中间值如0或1等比较大小后得出结论．8.在等腰中，，AD平分且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果.【详解】由余弦定理可知，，，AD平分且与BC相交于点D，是等腰三角形，是中点，，由图可知向量在上的投影向量为，.故选：B本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分）9.下列式子化简后等于的是（）A. B.C. D.【正确答案】ABC【分析】对于A：根据两家和差公式分析判断；对于BD：根据倍角公式分析判断；对于C：切化弦结合倍角公式分析判断.【详解】对于选项A：因为，故A正确；对于选项B：因为，故B正确；对于选项C：因为，故C正确；对于选项D：因为，故D错误；故选：ABC.10.（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（）A.当时，的方向与的方向一定相反B.当时，的方向具有任意性C.D.当时，的方向与的方向一定相同【正确答案】ABD【分析】根据向量的数乘运算概念判断ABD,再根据向量的模长性质判断C.【详解】根据实数与向量的积的方向的规定，A正确；对于B，当时，，零向量的方向具有任意性，故B正确；对于D，由可得，同为正或同为负，所以和或者都是与同向，或者都是与反向，所以与是同向的，故D正确；对于C，，故C错误．故选：ABD.11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.函数在单调递减D.该图象向右平移个单位可得的图象【正确答案】ABD【分析】根据函数的图象，可求出的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.【详解】由函数的图象可得，周期，所以，当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，故函数.对于A，当时，，即点是函数的一个对称中心，故A正确；对于B，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故B正确；对于C，令，解得，则函数的单调递减区间为，故C错误；对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D正确.故选：ABD.本题考查根据图象求三角函数解析式以及三角函数性质，考查推理能力与计算求解能力，属中档题.三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分，将答案填在答题纸上）12.已知角的终边在直线上，则_____.【正确答案】##【分析】根据角的终边所在直线可求得，将化为关于正余弦的齐次式的形式，分子分母同时除以即可构造出关于的方程，代入求解即可.【详解】角的终边在直线，，.故答案为.13.已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围___________．【正确答案】【分析】根据二次函数的对称轴，列不等式，即可求解.【详解】由题意，或，解得：或.故14.已知，且，则______.【正确答案】##【分析】利用诱导公式及同角公式求解.详解】由，得，而，所以.故答案为.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，，与的夹角为60°，（1）当何值时，？（2）当为何值时，？【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量定理求解.（2）利用数量积的定义及运算律，结合垂直关系的向量表示列式求解.【小问1详解】依题意，，由，得，而与不共线，则，解得，所以当时，【小问2详解】由，，与的夹角为60°，得，由，得，解得，所以当时，.16.已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点P，作扇形的内接矩形，记，矩形的面积为y.（1）写出y与x的函数关系式，并化简；（2）求矩形面积的最大值，并求此时x的取值.【正确答案】（1），（2）当时，【分析】（1）利用锐角三角函数表示出，，，再根据及三角恒等变换将函数化简，即可得到函数关系式；（2）根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：在直角中，，，在直角中，，又，所以，所以，即，.【小问2详解】解：因为，所以，所以当，即时，.17.已知，，若，（1）求的值；（2）求函数的单调递减区间；（3）若存在，使，求m的最小值．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先把表达式化简为正弦型函数，再计算即可；（2）利用整体代换求出单调递减区间即可；（3）由得，由得，根据题意，解不等式即可.【小问1详解】由题意得，所以；【小问2详解】令，得，，所以的单调递减区间为.【小问3详解】因为，所以，由得，即，所以，解得，故m的最小值为．18.已知函数，且.（1）求的值，并指出函数在上的单调性（只需写出结论即可）；（2）证明：函数是奇函数；（3）若，求实数的取值范围.【正确答案】（1）2，在上为增函数；（2）证明见解析；（3）（，1）.【分析】（1）由，代入解析式，解方程求出的值，利用指数函数的单调性即可求解.（2）利用函数的奇偶性定义即可判断.（3）利用函数为奇函数，将不等式转化为，再利用函数为增函数可得，解不等式即可求解.【详解】（1）因为，所以，即，因为，所以.函数在上为增函数.（2）由（1）知定义域为.对任意，都有.所以函数是奇函数，（3）不等式等价于，因为函数是奇函数，所以，又因为函数在上为增函数，所以，即.解得.所以实数的取值范围为（，1）.本题考查了利用定义判断函数的奇偶性、利用函数的单调性解不等式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.19.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；（2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由；【正确答案】（1）（2）存在点【分析】（1）根据向量的伴随函数求出，再将所求角用已知角表示