全国高中数学评优课大赛数学赛课教学设计(点评)一等奖作品专辑

全国高中数学评优课大赛数学赛课教学设计（点评）

一等奖作品专辑

目录

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k全国高中数字评优课大褰数字赛课T奖作品单位圆与周期性、诱导公式教学设计.doc

回全国高中数字评优课大褰数学褰课一等奖作品等差数列的性质点评.doc

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&全国高中数学评优课大褰数学褰课一等奖作品点到直线的距离点评.doc

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值全国高中数字评优课大蹇数字蹇课一等奖作品

对数与对贩算点评.doc

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旗!与对数运算教学设计.doc

日全国高中数学评优课大蹇数学塞课一等奖作品分类加法计数原理与分步乘法计数原理点评.doc

口全国高中数学评优课大蹇数字褰课一等奖作品分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计.doc

&全国高中数字评优课大褰数学褰课一等奖作品

教学设计皮doc

M全国高中数学评优课大褰数字褰课T奖作品教学设计说明.doc

全国高中数学评优课大褰数字赛课一等奖作品空间几何体漏构有正点评.doc

叵全国高中数学评优课大褰数学赛课一等奖作品空间几何体的结构特征教学设计.doc

叵全国高中数字评优课大赛数字蹇课一等奖作品类比推理点评.doc

全国高中数学评优课大塞数学褰课T堂作品类比推理教学设计.doc

回全国高中数字评优课大褰数学褰课一等奖作品抛物线及其标准方程点评.doc

口全国高中数字评优课大蹇数字赛课一等奖作品抛物线及其标准方程教学设计.doc

&全国高中数学评优课大襄数字赛课一等奖作品

平面向量的实际背量及基本概念点评.doc

回全国高中数学评优课大褰数字褰课一等奖作品平面向量的实际背置及基本概念教学设计.doc

&全国高中数字评优课大蹇数字蹇课一等奖作品

平面向量复习-数量积点评.doc

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■全国高中数学评优课大褰数字褰课一等奖作品桶圆及其标准方程点评.doc

电全国高中数字评优课大蹇数字褰课一等奖作品

桶圆及其标准方程教学设计.doc

值全国高中数学评优课大褰数字塞课一等奖作品圆锥曲线起始课点评（.doc

■全国高中数学评优课大赛数学褰课T奖作品圆锥曲线起始课点评（上.doc

电全国高中数学评优课大褰数学蹇课T奖作品

圆锥曲线起始课点评.doc

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所全国高中数字评优课大赛数学蹇课一等奖作品图锥曲线起始课教学设计（上.doc

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g全国高中瓣踊大襄解褰课T奖帽:戢与平面垂直的脆翻故

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a全国高中数学踊大襄数学褰保肯奖作品:圆与圆的位置关系点密docx

a全国高中数学脚大赛教学襄保一等奖作品：圆与圆的位置关系教学设计,docx

单位圆与周期性、诱导公式教学设计

课堂教学设计

学科数学授课年级高二

课题名称单位圆与周期性、诱导公式

设计者单位

章节第一章三角函数

学时1课时

名称4.2单位圆与周期性4.3单位圆与诱导公式

课标1.借助单位圆推导出诱导公式

依据

2.了解三角函数的周期性

1.知识与技能

教学1.建构合理的问题情境，让学生体验公式的推导过程并能够理解借助三角函数的定

目标义推导三角函数的诱导公式：

2.在理解记忆的基础上，能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问

题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。

2.过程与方法

1.经历由观察图形、直观感知探讨数量关系式的过程，培养学生的数学发现能力和

概括能力；

2.通过对诱导公式的发现和探究、运用过程，培养学生的化归能力，提高分析问题

和解决问题的能刀。

3.情感、态度、价值观

1.通过对诱导公式的探究，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度；

2.在诱导公式的探究过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神

内容1正.、余弦函数是在学习了指数函数、对数函数、呆函数等基本初等函数后的又一

分析个基本初等函数，同时也是中学阶段学习各类函数中首先遇到的周期性函数

2.单位圆具有直观性，借助单位圆有助于理解正、余弦函数的诱导公式，同时本节

学习的诱导公式为即将学习的求值化简，以及正、余弦函数图像的学习打下基础

学情1.学生刚开始接触任意角三角函数，基础相对薄弱但对新知识比较渴望

分析2.学生已经掌握单位圆概念、任意角三角函数定义，但关于对称问题还缺少比较清

晰的认识

知识点

学编号学习目标层次具体描述语句

习

目

标4.2-1了解通过对正、余弦函数的分

描析使学生能初步了解函数的周

述期性

4.3-1.2.3理解借助单位圆、三角函数定

义、对称性等知识点引导学生

积极参与诱导公式的产生过

程，加深对诱导公式的理解

项

目内容对策

借助多媒体结合图形精讲

教学1、周期函数的定义总结探求一a的诱导公式推导

重点2、探求诱导公式的推导和应用过程，并在允许学生犯错的前

提下鼓励学生自己推出公式

教学1、a+n,a与角a终边位置的几何关系1讲.解到位

难点的发现以及表示2.在适当时机揭示内在规律

2、发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）

的坐标关系

1、预习单位圆与周期性和单位圆与诱导公式

学生课前

2、任意角三角函数的定义

需要

3、关于x轴、y轴、原点对称的点坐标之间的关系的相关内容

做的准备

4、完成有效作业相关内容

工作

学习多媒体教室

环境

教学环节教师的活动学生的活动媒体的应用设计意图

创设情景，揭示

导入新课课题：引导学生思考、发言、图片展示吸引学生注意

课回顾本章第一节小组讨论力、自然引入周期

周期现象有关内的话题

容

堂教师语言：大家

观察四幅图片，

展示的是我国哪

教种自然现象这种

自然现象又有什

么规律？

学

教师提问：周期归纳、总结、理1、图形展示1.使抽象的问题具

过现象是自然界中解性记忆形成过程体化

非常普遍的现

象，那在我们所

程学过的函数中是

否存在周期现象

学习新知哪？

设

1.探讨函数中是归纳、理解、小

否有周期现象，组讨论、总结性2.图形展2.培养学生合作意

计借助单位圆得出发言示、学生总识、归纳总结能力

正、余弦函数为结

周期函数。并学

思习周期函数定义

路2.提出猜想

71/乃、.让学生带着问题

COS—COS（-）3

44去发现探索规律

之间是否存在关

联？

:过对猜想的分

析引出诱导公式

的必要性

3.借助单位圆合思考、发言、小3.配合学生培养学生合作意

作探究诱导公式组讨论归纳、总识、归纳总结能力、

的产生，在小结结、理解性记忆语言表达能力

-Q的诱导公式总结性发言

发现过程的基础

上，教师的引导

学生合作推出a

+Ji、a—JI的诱

导公式（分组竞

技）

4.乘胜追击4.小组讨论归纳、4.多媒体出培养学生独立解决

学生合作推出总结性发言示问题能力

n—«的诱导公

式

1.求值分组讨论、竞赛、多媒体出示运用合作学习的方

例1总结性发言。式进行，培养学生

例2求解并分析问题团结协作的精神

归纳方法

巩固练习

2.化简分组讨论、

例3总结性发言。

求解并分析问题

课

堂

课堂脉络：

教

学

创设情境——问题引导——整合定义——提出猜想——自主探究

过

程

——归纳方法——合作探索——巩固反馈——开放小结

结

构

设

计

4.2-4.3单位圆与周期性、诱导公式

一.周期函数二.诱导公式例题：多媒体

板书

设计公式一：

公式二：

公式三：

公式四：

《单位圆与周期性，单位圆与诱导公式（一）》课例点评

常葆华老师这节课的内容是北师大版必修4第一章《三角函数》第4节的4.2

单位圆与周期性和4.3单位圆与诱导公式（一）.

根据普通高中数学课程标准的要求，是借助单位圆推导出诱导公式，了解三

角函数的周期性，这两节的内容既有区别，又有非常密切的联系.北师大版教材

4.2单位圆与周期性这节只有一个周期函数的定义，把这两个内容放在一节课里,

既丰富了课堂内容，又使学生对三角函数的周期性和诱导公式的推导有了更深刻

的理解.这节课的主要特点：

1.准确的把握了课程标准的要求和教材的编写意图,从教学目标的设置及

课堂活动过程看，突出了对实例的感悟及诱导公式推导的过程，使学生较好的理

解了函数的周期性的意义，并巧妙地落实了诱导公式的推导和应用，切实突出了

本节的重点.

2.教学活动的系列问题设计与实施，充分的为学生的自主学习与合作学习

提供良好的条件，创设合理的问题情境启发学生积极思考，不仅课堂活动严建有

序，强化了学生对知识形成过程的感知，而且为学生提供了科学的学习与研究问

题方法的指导.

3.课堂学习小组活动的实施，有效的促进了学生的自主学习与合作学习，

教师的点拨与精讲，既符合本节知识内容的特点，又在时机上把握的恰到好处，

切实体现了课改对教师角色转变的要求.

4.充分利用多媒体平台辅助教学，不仅丰富了学生的直观感悟与经历，化

解了教学难点，较好的提高了课堂教学的效益.

5.常老师的课突出的特点是教态亲切自然，课堂气氛融洽。语言亲和，富有

激情，能为学生营造加良好的学习环境。

《等差数列性质》点评

高三一轮复习，重在夯基释疑，培养和提高学生运用知识、解决

问题的能力。本节课以学生为主体，教师为主导，充分调动了学生的

积极性。教师教态自然，亲和力好，课堂气氛融洽。教学环节的设置

松弛有度，从例题入手，探索实验，概括提炼，综合应用，步骤层次

感强，学生参与度高，老师指导有方，引导得法，学生能充分体会成

功的喜悦，从而促进学生学习的兴趣。

1.选题针对性强，点评到位

选材取自学生练习，针对性强，内容相对集中；从学生问题的点

评答疑中，提炼结论，符合从具体到抽象的认知规律

2.充分发挥学生学习的自主性

学生在课堂上体现了高度的参与和热情。学生对于本节课的内容

由于事先做好了导学案，所以有充分的思考和训练时间，通过合作学

习，进一步应用定义解决问题，学生积极主动参与复习的全过程，特

别是让学生参与归纳、整理的过程，为学生提供了充分的锻炼机会。

3.系统有效的完成教学任务

系统规划复习和训练的内容，帮助学生将所学的分散知识系统化。

注意从学生的认识出发，通过学生解题的体验，挖掘提升数学方法和

知识；注意细节和纠错，及时反馈作业中的问题。学生错误得到点评

纠正，学生的思维和创造性得到提高。

《等差数列性质》教学设计

一、内容和内容解析

数列是高中数学的重要内容之一，也是培养学生数学学习能力的好素材.本章内容首先

从学习数学的概念开始，然后学习等差数列和等比数列两种常用的数列.数列在实际生活中

有着广泛的应用，如堆放物品总数的计算、储蓄、分期付款问题等都要用到数列知识.同时,

数列起着承前启后的作用，数列与前面学习的函数知识紧密联系，又为进一步学习数列的极

限等作好准备。

等差数列是一种最基本的数列,研究它的性质，需要通过观察、分析♦、归纳和猜想才能有

所发现.在探究等差数列性质的过程中使学生学会研究数列的基本方法，提高数学再创造学

习的能力.掌握研究数列的基本方法对于学好《数列》整章内容起着举足轻重的作用。

木节内容是人教A版高中数学必修五第二章第二节一一等差数列。本节是第二课时。等

差数列在日常生活中有着广泛的应用，是学生学习了等差数列的概念，通项公式的基础.匕

研究等差数列的性质，让学生通过本节课的学习要求理解等差数列的性质，并且了解等差数

列与一次函数的关系。

本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点

内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启

后的作用。同时也是初步培养学生运用等差数列模型解决问题的良好题材。等差数列是学生

探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意

义“

所以把教学重点定为理解等差数列的性质，并用性质解决一些相关问题，体会等差数列

与一次函数之间的联系。

二、目标和目标解析

（一）教学目标

1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前〃项和公式，了解等差数列与一

次函数的关系。

2.探究、发现等差数列的性质，并能利用等差数列的概念及通项公式给予证明，掌握性质

及运用性质解决一些简单问题;通过优化问题设计,探究等差数列的性质，培养学生观察、分

析、猜想、归纳和自主探究的能力。

3.能在具体问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。

4.通过经历和体验等差数列性质的探索过程,体会过程的重要性，并在探索的过程中学

会学习、学会探究；同时通过对等差数列性质的研究去感受和掌握研究数列的基本思想方法。

（二）教学目标解析

1.本节课的内容脉络是：先复习等差数列性质.一共三个，然后是三道基础检测小题，

对于本节课的例题及习题进行一下热身，再通过对三个例题的解决，让学生体会等差数列性

质的应用比不用性质要简单的多，并进一步体会其巧妙之处，最后是七道达标训练习题继续

强化训练。本节课以等差数列性质为主要研究的对象，通过对例题习题的观察、分析、探究、

归纳和概括，进而叫学生对等差数列性质有更深的认识。

2.这节课突出了对等差数列三个性质的灵活应用，学生通过这节课的学习，加强了通

过对等差数列的研究，还有认识问题、研究问题和解决问题的能力。

3.这节课通过经历和体验等差数列性质的探索过程,让学生体会过程的重要性,并在探

索的过程中学会学习、学会探究；同时通过对等差数列性质的研究去感受和掌握研究数列的

基本思想方法。

4.通过这节课的学习，使学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养

学生良好的思维品质，提高学生思维能力.通过小组合信的方式，也可以增强学生们之间的

合作意识，培养学生的综合能力。

三、教学问题诊断分析

学生已经学习了集合与函数的初步知识，掌握了数列的基本知识,理解数列是定义域为

正整数集或其子集的函数.通过第一课时，学生己经学习了等差数列的概念、通项公式,并理

解等差数列中项与项之间的关系.本节课主要是从等差数列的概念、通项公式出发研究其性

质.对于大多数已经理解等差数列概念的学生来说,学习本课并不是太难。

学生通过对高中数学中集合与函数的学习，初步具有对数学问题自主探究的意识与能力.

高三学生思维活跃,积极性高,但同时由于个体认知水平、学习能力等方面的差异,表现出不

同的学习状态。

高三学生是一个特殊的学习群体.根据皮亚杰关于心理发展的阶段学说，他提出儿童青

少年认知发展经历四个阶段，即感知运算、前运算、具体达算和形式运算阶段，高三学生处于

形式运算阶段.认知水平从形象向抽象过渡，思维能力的提高是一个转折期;高三学生的自我

意识不断增强,好胜心、进取心进一步提高，他们富有激情,感情丰富,爱冲动,爱幻想.高三学

生已经具备了一定观察、猜想、分析和归纳的能力，但是学生的抽象思维能力还不是很强，

此时学生已掌握了等差数列的概念及其简单应用.教材没有对等差数列的性质进行分析与探

究,而在例题与习题中有所体现，因而学生在解题中会碰到一些盲点.因此,本课的教学设计

旨在搭设台阶，降低坡度，引导学生从等差数列的概念出发，通过观察、分析、归纳、推理来

探究其性质，为我所用，激发学生自主探究的学习热情，让学生在探究中学会学习、学会合作、

学会创造。

综上所述，我把教学难点定为加深对等差数列性质的理解，学生在以后的学习过程能从

不同角度看问题，解决问题，学会研究问题的方法。

针对以上这些问题，课堂形式将采用小组合作学习的方式，指定数学小组长，并提前叫

课代表分好小组展示的题目，进行讨论，小组中的同学可以取长补短，还可以与其他小组进

一步的讨论和探究。

四、教学策略分析

1、教法和学法分析

友好三中有效课堂流程图

课件展示三维目标

U-

小组合作学习

学生课堂展示

学生质疑对抗

教师精讲点拨

学生达标训练

课堂小结

JJ

（1）合作学习

在合作学习过程中，学生的潜能得到充分的发挥，个性得到张扬，需要得到满足，建立

起学习的信心；合作学习活动能使学生体会到相互间的关心和帮助，使学生在多维互动、相

互砥砺、取长补短的过程中达到和谐进取的境界。我们的做法是将每个班级的学生都划分到

不同的学习小组（i般情况下为异质性小组，由班主任与科任根据班级学生的实际情况进行

调整、安排）中，每个小组成员根据学习情况可细分为A、B、C三个级别。在合作学习时，

小组内同级别的同学之间进行质疑对抗，不同级别之间A教B,B教C,实现兵教兵、兵练

兵，彼此之间取长补短，互助学习，共同完成学习任务。每节课的前一天我们都会有相应的

一节学科自习，一节学科自习45分钟，叫学生在这45分钟完成第二天要讲的学案，然后教

师要在上课前进行学案的一次批改，在课前5分钟为学生合作学习的时间，让学生把在自主

学习中遇到的问题带到课堂上来，在合作中解决。要让小组成员明确自己在小组合作实现日

标中的角色定位，承担起自己的责任。这种责任主要体现在两个方面：•是做好自己在组内

分工的任务；二是在做好“本职工作”的同时，积极主动地协助他人，这是每一个小组成员

应尽的义务和不可推辞的责任，因为在小组合作学习中，既有个人的成功，只有小组共同目

标的达成。我们还采用小组评价的方法，以小组为单位，侧重于小组整体能力的提高，并给

予相应的奖励，也增强了学生的集体荣誉感。

（2）展示学习成果

把课堂还给学生，让学生做学习的主人。课堂上重要的环节是让学生来展示他们的

学习成果，解决学习中的问题。学生在经历了自主、合作学习之后，要在课堂上展示其

学习成果。可由教师或科代表将一节的知识点在课前分解到各个学习小组，井由小组长

将任务分解到小组成员的每个人来完成展示，学生自主设计其展示问题的形式与方式。

展示的内容应具有典型性，要突出重点、解决难点；展示的形式主要有板书展示、口头

展示及模型展示等。在展示的过程中，其它同学要认真倾听，积极思考，对存在的问题

提出置疑和不同的见解，未解决的问题则由其它同学解决。在这里给学生一个舞台，让

他们来证明自己的实力。这是一种持久的、强大的驱动力，促使学生高质量地完成自主、

合作学习，通过展示调动学生的内趋力来推动学生的学习过程和课堂教学任务的完成。

（3）精讲点拨

“有效课堂”强调以生为本,强调以学生的学习状态或者心智发展为主要课堂样态,

师生之间教与学关系的重心最大可能地向学生转移。学生以主动的态度面对学习内容，

积极去探究、发现，而非被动“盛装”。教师主要为学生创设学习交流探究的平台。在

课堂上，教师要放弃话语统治权，逐渐淡化成为课堂上学生精彩的“背景”和学生成长

路上的“路牌”，精讲点拨则是其具体体现。精讲，在于善抓重点，突破难点，按教材

固有的规律性与学生学习的规律性，揭示教材内容的内在联系，教会学生剖析知识的逻

辑方法，拓宽学生视野，引导学生进入更广阔的思维空间。精讲解决的是“学习过程中

由不知到知的矛盾精讲的目的不是知识的“打包”和“复制”，而是思维的盘整、境

界的提升,精讲要求教师讲到“点”上。在学生展示的过程中教师要根据学生展示的情

况和质疑对抗的过程来决定精讲点拨的内容。教学的灵活度很大，当学生有实在解决不

了的难题或学生的挖掘深度不够或学生的讲解存在问题时，教师才出场进行精讲点拨，

这样的讲解才是“雪中送炭”，才是学生最需要的。教师讲什么，讲多少，完全取决于

学生的掌握情况。这样的课堂灵活度很大，表面上教师看似很轻松，实则不然，教师要

将更多的时间用在课前，并在课上要保持高度紧张，因为学生的问题是随时生成的，因

此更有挑战性。

（4）目标达成

在每节课学案中都设置了目标检测题，检验学生掌握情况。检测题也分为A、B、C、

D四个级别，分别适应不同层次的学生，学生可根据自己的能力选择解答，让不同层次

的学生都有所得，教师可通过目标检测题完成情况及时调整教学进度。

（5）教师点评

教师的评价在有效课堂教学环节中主要体现在两处：一处是随时进行的即时评价，

另一处则是在课堂教学结束时的小组评价。在学习过程中把握好评价的时机，给予学生

适时的、适当的鼓励、表扬、赞许，让学生体验成功的喜悦，激发积极的情感，从而使

学生产生浓厚的学习兴趣。评价必须切中要害，好就是好，不好就是不好，好在哪里，

不好在何处，必须具体而明确，绝不可以模棱两可。一句好的评价语，应该是在激励学

生的同时，能进一步打开他的思路，激发他们深入探究的欲望。同时既是这一个教学环

节的完美结局，又是下一教学环节的强有力的前奏，成为前后两个教学环节之间不着痕

迹的过渡。我们的小组评价集中体现在本节课结束时，统一对各小组进行综合评价，量

化的结果呈现在黑板上，最终记入学生的课堂表现分或用于班级的一些评比活动中。

（6）点火预热

课堂的最后一个环节是“点火预热”，设置在一节课的后5分钟左右。此时教师下

发下一节课的导学案并明确下一节课的学习目标，学生进入下一节课导学案的学习过程

中，也就是说下一节课就是从本节课的后5分钟开始的，让学生有一个充分的自主学习

时间，学生将在今天的学科自习完成新发的导学案，我们最后收上本节课的学案，进行

第二次批改，监管学生的听课效果。

在学法上，学生已对等差数列有一定的认识，而且已经是高三学生一轮复习，关键在

于适当的引导分析，让学生通过探究讨论分析并能对己学知识联系运用，同时鼓励学生大

胆猜想，动手实践，并验证猜想，体会合作学习的乐趣，并能够自我成长。

2、教辅手段

以板书为主，多媒体为辅的教学手段。

五、教学过程设计

本节课的教学过程由一、重温目标二、小组讨论三、学生展示教师点拨四、

小组评价

五、课堂总结六、点火预热六个友好三中有效课堂

标准步骤进行。

一.重温目标，找同学大声朗读本节课目标，重难点，考纲解读。

（一）、学习目标

知识与技能：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前.〃项和公式，了解等

差数列与一次函数的关系。

过程与方法：能在具体问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问

题。

情感态度价值观：学会其常用的数学方法和体现出（I勺数学思想，促进思维水平的发展。

（二）、学习重难点

重点：等差数列性质的应用难点：等差数列性质的应用

（三）、考纲解读

1、理解等差数列的概念。2、掌握等差数列的通项公式与前〃项和公式。3、能在具体

问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。4、了解等差数列与一

次函数的关系。

二.给学生对完学案答案之后，小组讨论问题，教师下去答疑。

三.学生展示，教师点拨

（一）、先展示知识链接

引入：我们已经学习过等差数列的概念，本节课我们学习的等差数列性质知识点有哪些？

下面请xx同学展示本节课的知识链接。（随机找个同学不看学案展示如下本节课的相关知

识点）

1、等差数列的性质

（1）若m+n=p+q（m,n,p,q£N*）,则有,特别地，当n=2p时，

注：此性质常和前〃项和S〃结合使用.

（2）等差数列中，S,SLSQS如一治成等差数列.

（3）等差数列的单调性：若公差力0,则数列为；若K0,则数列为

—;若d=0,则数列为.

（4）在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然

是等差数列，但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列.

2、S”的最值的求法。若｛a｝是等差数列，求前〃项和的最值时，

a>0

（1）若q>0,d<0,且满足《"，前n项和Sn最大；（2）若q<0/>0,

a..<0

且满足1"八前〃项和S“最小；（3）将｛q｝的前〃项和的最值问题看做S〃关于〃的二

次函数问题，利用二次函数的图像或配方法求解.（4）利用与〃的函数关系,进行求导

来求最值。

师生活动：学生黑板前展示，教师认真聆听纠正其中错误，对1中的（1）可能拓展不

到位，教师要把这个性质拓展；对于2可能会讲的不准确，，并强调求S〃的最值的求法有两

种方法。

设计意图：知识链接的内容都是高考考察方向，是本节课即将用到的知识点，通过知识

链接，可以帮助学生复习并且做好下面例题与习题的铺垫。

（二）、继续展示基础检测

A级1、如果数列｛七｝是等差数列，则（）

A.Q[+4V4+a5B.4+%=。4+a5C.。1+%>%+a5【）.

4%=4G

A级2、等差数列｛4｝各项都是负数，且。32+。：+2/融=9,则它的前10项和加

等于（）

A.-llB.-9C.-15D.-13

A级3、在等差数列｛q｝中，已知前20项的和§2。=170，则。6+。9+。”+《6=（）

A.30B.34C.60D.56

师生活动：学生黑板前展示，教师认真聆听纠正其中错误，因为这三个小题特别筒单,

所以可以加快速度，快速处理，仔细聆听学生的过程，教师认真纠错。

设计意图:对于等差数列的性质•先热身，直接应用,达到对于性质1特别熟悉的目的。

（三）、继续展示学习过程

例1、A级（1）等差数列｛&｝的前〃项和为S”已知I=72,则的+%+%=

Q1S

A级（2）等差数列｛a｝的前〃项和为S,已知二二—,则/等于（）

S63S12

3111

A8CD

一--

389-

10

设计意图：通过例1（1）（2）学生能够感觉到运用等差数列的性质解题的巧妙性及简

便性。

B级例2、等差数列｛&｝的前n项和为S,4=2O,S]°=S/求当〃取何值时，S有最

大值，并求出它的最大值。

设计意图：引导学牛求数列前n项和S〃最值不一定非从S“本身入手，可以从数列〃“入

手去求，叫学生领略多角度思考问题的巧妙之处。

C级例3.若两个等差数列｛〃“｝,｛〃｝的前〃项和分别为4和Bn,且满足

氏二品外心喘的值是，）A.lB.|c4

设计意图：继续强化等差数列性质的应用，提高学生的综合能力。

师生活动：学生黑板前展示，教师认真聆听纠正其中错误，这三个例题是本节课重点研

究内容，例2学生展示出一种方法之后，再叫别的学生展示第二种方法，两种方法学生可能

都能展示出来，但是此题还有一种简单方法，学生可能展示不出来，教师可以补充上第三种

方法；例3此题比较有难度，学生可能会出现一种错误做法，就是令

A“=7〃+l,B“=4〃+27,然后叫a”/”二8”一用1,教师可先叫学生解决，

学生可能会讲不明白，教师要完美解决这个问题，最后此题教师要引导学生总结出一般规律,

如何求幺。

b.

（四）、继续展示达标训练

A级1、在等差数列｛。“｝中，有Sa+Gj+ZG+qo+aJu48,则此数列的前13项

和为（）

A24B39C521）104

B级2、等差数列｛。•”I｝中，qI+小+%=-24,%180+《i9+a,-。I）=78,则此数列前20项

和等于（）

A.160B.180C.200D.220

B级3、等差数列｛〃“｝的公差是d,前〃项和为S“，当首项q和d变化时，a2+%+6]

是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）A.S7B.C.S13D.515

B级4、设S”是等差数列｛4｝的前〃项和，若马二，则‘■等了（）

%9S5

A.1B.-1C.2I）.-

2

师生活动：学生黑板前展示，教师认真聆听纠正其中错误，第1题学生可能还会用等差

数列原始公式去做，教师要点拨用等差数列性质做，此题简单的多；第4小题是例题3的逆

向思维，教师要点拨做以对比。

设计意图：在有基础检测和例题讲解的基础同时，学生继续对本节课的知识点强化应用，

达到灵活应用的目的。

四、教师对本节课知识总结，再次强调本节课知识点，也可叫学生自行总结。

五、然后对小组的板书，展示，质疑次数跟质量进行评价打出小组分数，评出优胜小

组。

六、发下节课学案，教师进行下节课点火预热，收上本节课的学案进行二次批改，

点火预热内容：请同学们注意等比数列前n项和公式的分类，例题1就是考察的这个知

识点，还有例题3中答案是两种情况，请同学们不要丢根，希望同学们认真完成下节课等比

数列的导学案。

《点到直线的距离》点评

本节课能充分考虑到学生的学情及课程标准的要求，课堂教学的各个环节都能较好地

依据学生的认知水平而设计，同时又着眼于学生的最近发展区；因此整个课堂进程自然、流

畅，师生互动效果良好，但又不失挑战性，学生积极性高，探究欲望强烈。

本节课最大的亮点在于，教师将自己的角色定位成解决这个问题团队中的一员，把点

到直线的距离当作一个数学问题来研究，与学生共同体验探究过程。在各种解决方案的对比、

联系、优选中渗透了数形结合、转化与化归，函数与方程等思想，扎实有效地实现了学生

获得“四基”的目标。在具体的探究过程中，先特殊后一般的思路是值得推荐的。这是因

为，其一，在具体的例子中，各种方法都能彻底地求出距离，增强了方法间的对比与联系；

其二，没有参数的干扰，更容易激发学生的发散思维，课堂上呈现出令人可喜的多种解法;

其三，深刻领会各种方法的优势与劣势，为抽象问题解决方案的优选做好铺垫。

当然，教学过程还存在一些不足之处：方法的详略处理需要再做深入研究，以便更好地

分配时间；在侧重公式推导的同时，课堂上公式的应用相对较少，当然这个可以通过课后习

题加以巩固。

《点到直线的距离》教学设计

一、教学内容解析

《点到直线的距离》这节课的内容是从初中平面几何的定性作图向高中解析几何定最计

算的过渡.点到直线的距离公式是解析几何后续学习的一个基础工具，属于概念性知识.本节

课蕴含分类与整合，转化与化归，数形结合，函数与方程等丰富的数学思想；它既是两点间

距离公式的延续，又为导出两平行线间距离公式作了铺垫，具有承上启下的重要作用.本节

课的教学重点是点到直线距离的探索与应用；难点是点到直线距离公式的推导.

二、教学目标设置

【知识与技能】

（1）探索并掌握点到直线的距离公式；

（2）学会点到直线距离公式的应用.

【过程与方法】

通过经历公式多种推导方案的设计及比较，领会特殊到一般，转化与化归，分类与整合,

数形结合，函数与方程等数学思想.

【情感、态度、价值观】

在探索问题的过程中，感受数学的严谨与统一，感受数学的形式美与简洁美.

三、学生学情分析

面授学生的数学基础知识扎实、思维活跃、有较强的创新能力。学生已经学习了两点

间的距离公式，且具备了相关的几何知识，如：交点、垂直、三角函数等.学生对坐标法解

决几何问题有初步的认识.

四、教学策略分析

本节课采用以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式，结合多媒体辅助

教学.通过合作交流，类比联想，归纳化归，总结提升，让学生在学习中学会怎样发现问题、

分析问题、解决问题.

五、教学过程

（一）温故知新，引出课题

复习平面直角坐标中两点间的距离公式，同时，引出课题一一点到直线的距离.

【设计意图】平面图形最基本的要素是点和线.在研究了两点间距离公式后，很自然地会去

研究点线间的距离，当然还可以更深入地去探究两平行线间的距离.这三个距离公式是一脉

相承的，因此，这样引入自然、贴切，符合学生的认知规律.

（二）特例引入，巧作铺垫

引例：在平面直角坐标系中，求点尸（1,2）到直线/:x+y—5=0的距离.

问题1.点到直线的距离指的是？

问题2.为什么选择垂足与点P的距离作为点线距离？选直线上其它点与P点距离可以

问题3.点到直线的距离还可以怎么定义？

【设计意图】复习点到直线距离的垂线段定义法，同时引出广义定义法，即点到直线上所有

点距离的最小值，为后续目标函数的推导方法的展开埋卜.伏笔.

自主探究：请同学计算引例中的距离，并考虑用多种方法进行解答.

【设计意图】从具体的例子出发求距离，相对来说，计算量更小，学生有更充裕的时间去发

现解法的多样性，为后续求抽象的点线距离做好准备.预计会出现以下几种解法.,

1.垂线段法\y

如图1,过P作PQ1I于Q.\

Stepl.求出直线PQ的方程：x-y+l=0；XQ

Step2.联立直线PQ,/的方程，求出交点。的坐标（2,3）；

Step3.求出距离，|PQ|=J5.

评注：很好，该思路自然、简单、清晰.

2、解直角二角形法

如图2,在图1的基殆上，过户作P昭Zr轴交直线/于点R.

Stepl.求出点P到直线/的水平距离|PR|=2；

Step2.在RMQR中,ZP/?2=45°：

故，\PQ\=\PP\sinZPRQ=42,

评注：这种方案将点到直线的距离问题转化为解直角三角形问题。在斜边及

角度已知的情况下，显然运用三角函数的知识可以轻松求解。

3、等面积法

如图3,在图2的基础上，过尸作尸轴交直线/于点S.

Stepl.求出RASPA的三条边长；

易得，|PR|=2,|PS|=2,|RS|二2g；

Step2.利用等面积法求出斜边上的高.

解|=笔照=能二夜-

72

评注：直角三角形构造巧妙，避开研究三角形的内角，计算简洁，快速得出结果.

问题4.还有别的做法吗？如果从刚才点到直线的本原定义来看的话，我们可以先将点

到直线上任意一点的距离表示出来，再求这个距离的最小值即可.那么，要求最小值，我们

可以从什么地方切入呢？

【设计意图】引出目标函数法.

4、目标函数法

Stepl.求出点P到直线I上任一点加优刈的距离的平方：

|PM|2=(x-l)2+(y-2)2

Step2.消元，转化为一元二次函数；

|PM|2=2X2-8X+10=2(X-2)2+2,XER

Step3.求目标函数的最小值；当且当x=2时，取到最小值2；此时，|PM|=J5.

评注：该方法运用函数思想，将几何问题代数化，是典型的解析几何解法.

（三）公式推导，殊途同归

问题一般化：在平面直角坐标系中，求点尸（为,为）到直线/：Ar+8），+C=0的距离.

问题5.以上这些方法应该都可以用来解决该问题，但同学们会选择哪种，或者哪比方

法来做呢？为什么？

【设计意图】进行方案比较，优选；在比较中，再次领会各种方案的思想方法，比较它们的

优缺点，选择合适的方案执行.

在比较之后，师生合作，详细演示等面积法的推导过程.

构造直角三角形，使得所求垂线段为斜边上的高，用等面积法求出高。

Stepl.过P作q轴的垂线，分别交直线/于M、N,构造直角三角形MPN；

PQ为斜边上的高（如图4）

Step2.求出直角三角形三条边长；

易得,＞。+州0+0|,|PN|=|例+B%+C|;

B.4

JA%+的)+C|

|MN\=7lPM+\PN|2VA2+B2

|A||S|

Step3.利用等面积法求出|PQ|。

।pQ|=JPMHPNI=\Ax（^By0+C\

JlPMf+IPNfVA2+B2

问题6.在上述推导过程有没有不够严谨的地方？

【设计意图】由学生自我排查，发现A8必须都不等于0的条件以及夕与a还可能相等等

问题，培养学生思维的严谨性.

（四）公式记忆，学以致用

教师引导学生验证A=0或B-0的特殊情况也符合一般的距离公式.最后得到点到直线的

距离公式可统.为d=l的+3），o+C|

问题7.这个公式如何记忆？

问题8.这个公式的对点、线的位置有没有要求？

【设计意图】强化公式记忆，明确公式的适用范围.

例1.求点夕（-1,2）到下列直线的距离.

2

⑴），=(2)rn=1(3)3x=2(4)5x+2y+l=O

例2.已知点A（l,3）,8（3,l）,C（T0）,求A46C的面积.（预设）

（五）归纳总结，思维提升

1、学习了点到直线距离的定义；

2、学习了点到直线跑离公式的四种不同推导方法；其实点到直线距离公式的推导方法

还有很多种，如：向量法、参数法、不等式法、坐标平移法等.

3、在公式推导过程中，领悟特殊到一般，转化与化归，分类与整合，数形结合，函数

与方程等数学思想.

（六）课后作业，巩固实践

1、上网查阅点到直线距离公式的多种推导方法；感受数学知识的广博与统一.

2、书面作业：P110A9,10B4,5

对数与对数运算（第一课时）

评课稿

听了申秀兰老师讲授的《对数与对数运算》（第一课时），深有感触。申老师

对新课程理念有着深刻的理解，体现了以学生为主体的教学思想。她的教学构思

新颖，“知识从生活中来到生活中去“，教学方法与手段先进，不仅课堂教学方式

别开生面，而且使听课者真正地感受到数学教学艺术的魅力。我认为，申老师对

本讲的处理有点颇多，例如：

1.勇敢地处理教材，对“对数的概念”进行分层次教学，显示了教师过硬

的基本功，具备很强的把握知识能力；增设对数产生的历史背景这一环节，

激发了学生的求知欲望；创设实例情境，引发学生思考，从而合理引题一一

对数的概念。

2.创新教学方法，大胆突破传统教学模式，问题形式引领整节课，积极采

用分组讨论、个别强问、成果展示等形式，使课堂气氛很活跃，学生个性发

展得到锻炼，从而课本内容得以顺势拓展，扩大学生的知识面。申老师所使

用的科学的教学方法，使教学效果总体很好，达到“三维目标”的要求。

3.教学程序设计合理，思路清晰，通过学生探究、小组活动等促进师生互

动，学生的主体地芍得到充分体现，新知由学生自主生成。教学时间分配合

理，包括优差生活动，体现了面向全体学生的教学理念，使每个学生能有所收

获.

4,能合理利用多媒体进行直观教学，很好地突破教学中的一些难点。

我对本节课的建议：对学生的活动，多给出积极评价，可以“夸张”式表扬

学生。

对数与对数运算（第一课时）教学设计

【教学内容解析】

本节课是高中数学人教A版必修一§2.2.1《对数与对数运算》第一课时。

对数的概念对高一学生来说比较抽象，学起来较困难。本节课从对数产生的背景

入手，用图片形式向学生展示对数发明的原因。接着，从上节课两个实际问题开

始，逆向提出两个问题让学生解答，学生感受到求解的困难，从而体会到引入对

数的必要性。在给出定义后，通过以下几种方式引导学生逐步理解其含义：（1）

让学生进行具体的对数表述，并通过完成练习归纳出指数与对数互化的步骤，发

现出指数与对数的等价关系，初步理解定义；采用填表、连线的方式，进一步体

会指数与对数的等价关系。（2）应用定义解决对数求值问题，并总结出求值方法，

使学生的知识技能化。（3）通过完成计算，让学生关注两个重要对数，得出三个

结论；通过指数与对数的等价关系，使学生获得对数式中N的限制条件，

达到精致定义，深读概念的目的。在整个教学过程中渗透类比、转化、归纳、方

程的数学思想方法，培养抽象概括的能力。

【教学目标设置】

1.让学生了解对数发明的历史，理解对数定义，准确应用符号。

2.学生能熟练进行指数式与对数式的互化，并根据定义求对数的值。

3.学生能体会到转化、类比、归纳、方程的数学思想方法，并能提高其抽象

概括能力。

【学生学情分析】

学生在必修一§2.1学习了指数与指数累的运算和指数函数，掌握了实数指

数幕的相关运算，能理解指数函数的概念、图像和性质°但学生整体基础差，数

学思维能力较低，学习主动性不够，因此教师要将所学内容进行分解，设置比较

合适的台阶，让学生跳一跳够得着，体会完成一个小任务的成就感，从而提高学

习兴趣，提高教学效率。

【教学策略分析】

教学内容问题化。本节内容化为七个问题五个练习，促进学生独立思考，再

通过合作探究、展示交流等形式，使学生理解概念，学握方法。在例题分析时紧

扣定义、总结方法以达到知识技能化的目的。

【教学过程】

一、对数产生的历史背景

（如图1）,16世纪末人们热衷于航

海，而测量船只在海上的位置等等，需要

大数字的计算。同时代，地心说向口心说

转变，天文学家计算行星的轨迹与运动规

律也面临着大数的乘除开方，繁琐的计算

令天文学家苦不堪言，因此，尽可能地简图1

化计算是时代的需求。在这个时代背景下,

英国数学家纳皮尔（如图2）发明了简化计

图2

算的专用工具一对数，实现了化幕为乘法,乘法为加法,除法为减法的降级运算。

那么，什么是对数？它长什么模样呢？18世纪，瑞士数学家欧拉发现：“对数

源于指数”。欧拉为什么会这样说？让我们从上节课的两个例题出发，开始我们

的探索吧……

设计意图：使学生了解对数产生的背景，体会引入对数的必要性，激发学生

的学习兴趣。

二、实例分析，引出对数概念

（1）有一种纸，它的厚度是1毫米，对折1次厚度是2毫米，对折2次是

4毫米，对折3次是8亳米……，对折x次后纸的厚度为产2、（毫米）。

那么，对折多少次厚度是16亳米、32亳米、64毫米……，大概对折多少次

后可达到珠穆朗玛峰的高度（8848米）？

（2）§2.1.2例8,截止到1999年，我国人口约13亿，如果今后能将人口

年平均增长率控制在1%,经