四川省绵阳市北川羌族自治县2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

2024-2025学年度绵阳市北川县九年级期末教学质量监测试卷（数学）一．选择题（共12小题，36分）1．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝11 D．（x+3）2＝93．如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径OA＝10m，桥拱的跨度AB＝16m，则拱高CD为（）A．4m B．6m C．8m D．10m4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是6π，则正六边形的边长是（）A． B．3 C．6 D．5．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．同时闭合两个开关小灯泡发光的概率是（）A． B． C． D．6．如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为36πm2，圆柱高为4m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A． B．144πm2 C． D．216πm27．已知点A是反比例函数的图象上的一个动点，连接OA，若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式是（）A．y＝3x（x＞0） B．y＝﹣6x（x＜0） C． D．8．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，得到△CDE，若点A的对应点D恰好在线段AB上，且CD平分∠ACB，记线段BC与DE的交点为F．下列结论中，不正确的是（）A．CA＝CD B．△CDE≌△CDA C．∠BDF＝∠ACD D．DF＝EF9．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（）A．2米 B．3米 C．4米 D．5米10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（）A． B． C． D．11．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．112．二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．二．填空题（共6小题,共24分）13．如果一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根为x1，x2，则x13+3x12﹣x1x2+2x2＝．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上，若∠ADE＝80°，则∠AOC的度数是．15．小红帮助母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小红家4月初连续8天每天早上电表显示的读数：日期12345678电表显示度数2124283339424649若每度电收费0.42元，估计小红家4月份（按30天计）的电费是元．（注：电表计数器上先后显示读数之差就是这段时间内消耗电能的度数）16．用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为cm2．17．如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为．18．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝10，AC＝6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，连接AC′，CC′，则△ABC′的面积为．三．解答题（共90分）19．（8分）解方程：2（x﹣1）2＝x﹣1．20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，3），B（﹣1，2），C（﹣2，1）．（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的旋转过程中，求点B旋转到点B2所经过的路线长（结果保留π）．21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．22．（10分）中山市图书馆购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全市学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）此次被调查的学生人数为名，并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是度；（3）李老师准备从甲、乙、丙、丁四位学生中随机选择两位进行访问．请用列表或画树状图的方法，求李老师选中乙、丙这两位同学的概率．23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3．O为AC的中点，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，当它到达点C时停止运动，设点P运动的路程为x（x＞0），连接OP，设△AOP的面积为y1．（1）直接写出y1与x的函数关系式为：．（2）在给出的平面直角坐标系中画出y1的函数图象，并写出这个函数的一条性质：；（3）如图2，的图象如图所示，根据函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围是.（结果保留一位小数，误差不超过0.2）24．（12分）直角三角形的两条直角边的长相差2cm，面积是24cm2，求两条直角边的长．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）判断DF与是⊙O的位置关系，并证明你的结论．（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．26．（14分）如图在平面直角坐标系中已知抛物线yx2x﹣2交x轴于点A、B，交y轴于点C．（1）求线段BC的长；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作CE∥BP交x轴于点E，连接PE，求△BPE面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线yx2x﹣2对称，对称后点P的对应点为点P′，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、P′、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由．

参考答案题号123456789101112答案CCABBACBBAAC13.-414.160°15.50.416.22517.118.1019.解：方程变形得：2（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0，分解因式得：（x﹣1）（2x﹣2﹣1）＝0，（x﹣1）（2x﹣3）＝0，可得x﹣1＝0或2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2．20.解：（1）△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示，点B1的坐标（1，﹣2）；（2）△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2如图所示，点A2的坐标（3，4）；（3）在（2）的旋转过程中，点B旋转到点B2所经过的路线长π．21.（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）＝4＞0，∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，∴（k+1）2+（k+3）2＝102，解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，∴k的值为5．22.解：（1）此次被调查的学生人数为：20÷20%＝100（名），故答案为：100；选择D的学生有：100﹣10﹣20﹣40﹣5＝25（名），补全的条形统计图如图所示；（2）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是：360°36°，故答案为：36；（3）树状图如下所示：由上可得，一共有12种等可能性，其中李老师选中乙、丙这两位同学的可能性有2种，∴李老师选中乙、丙这两位同学的概率为．23.解：（1）∵AB＝4，BC＝3，O为AC的中点，则AC＝5，AO＝OC，sin∠ACB；当点P在AB上运动时，此时0≤x≤4，如图1，过点O作OH⊥AB于点H，则OHBC，则y1AP×OHxx；当点P在BC上运动时，此时，4＜x≤7，如图2，则y1AO×PNAO×PC•sin∠ACB（3+4﹣x）7﹣x；故答案为：y1；（2）当x＝0时，y1＝0，当x＝4时，y1＝3，当x＝7时，y1＝0，描绘上述各点绘制图象如下：从图象看，当0＜x≤4时，y1随x的增大而增大，当4＜x≤7时，y1随x的增大而减小；故答案为：当0＜x≤4时，y1随x的增大而增大，当4＜x≤7时，y1随x的增大而减小（答案不唯一）；（3）联立y1x和y2并解得：x2.3，联立y1＝7﹣x和y2并解得：x6.4（不合题意的值已舍去），从图象看，当y1≤y2时x的取值范围是：0＜x≤2.3或6.4≤x≤7，故答案为：0＜x≤2.3或6.4≤x≤7．24.解：设一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为（x+2）cm．根据题意列方程，得x×（x+2）＝24．解方程，得x1＝6，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．答：一条直角边的长为6cm，则另一条直角边的长为8cm．25.（1）解：DF与⊙O相切，证明如下：连接OD，如图1所示：∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵点D在⊙O上，∴DF与⊙O的相切；（2）解：连接OE，如图2所示：∵∠CDF＝22.5°，DF⊥AC，∴∠C＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝67.5°，∴∠A＝45°，又∵OA＝OE＝4，∴∠OEA＝45°，∴∠AOE＝90°，∴阴影部分的面积4×4＝4π﹣8．26.解：（1）对于yx2x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，即点C（0，2），令yx2x﹣2＝0，则x＝﹣4或1，即点B（﹣4，0），则BC2；（2）过点P作PF∥y轴于点F，∵EC∥BP，∴S△PBE＝S△PBC，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx﹣2，设点P的坐标为：（m，m2m﹣2），则点F（m，m﹣2），则PFm﹣2﹣（m2m﹣2）m2﹣2m，∴S△PBE＝S△PBC＝S△PFB+S△PFCPF×OB4×（m2﹣2m）＝﹣（m+2）2+4≤4，∴△BP