保角映射法在齿轮应力和计算中的应用

目录

前直

1复变函数论基础

1.1复数及其运算.....:..........................(1)

1.2复变函数•函数的极限♦函数的连续...........⑸

1.3基本超越函数...............................(8)

1.4函数的导致..................................(9)

1.5保角映射《保角变换).......................UO

1.6积分.........................................(25)

1.7级数.........................................“2》

1.8留数及其应用................................《49)

2平面弹性理论宣变函数解法的基本知识

2.1平面弹性理论概要............................⑹)

2.2平面弹性理论的复变函数解法.................(75)

2.3保角映射.............(83)

3渐开线齿轮齿鄢的保角映射函数

3.1渐开战齿轮的齿形坐标和映射函数.............《9)

3.2各种渐开线齿轮齿廓的保角映射函数-(92)

3.3会田一寺内式映射函数的性质.....:(99)

3.4映射函数的计算机求解...........(105)

4渐开线齿轮的应力和位移

4-1概述......................................(107)

4.2集中力作用下的应力函数的表达.............(108)

4.3赫兹(HettZ)分布压力作用于齿面时

的应力函数........(116)

4.4渐开线齿轮的齿根应力分布和最大应力.....(122)

4.5渐开线齿轮接触工区中点的位移和刚度计算…(129)

4-6渐开线直面轮的齿廊修形....................(132)

附录渐开线齿轮齿廓保角映射函数表.............(142)

2

1复变函数论基础

1.11数及其运其

1.1.1定义

1.复数

Z=z+jy

称为复数，其中，和）为任意实数,［二称虚单位中称为

复数z的实部，记为Rez”称为复数石的虚部，记为Im2o

2.红数相等

两复数的实部和虚部分别相等，则两度数相等.即若

STT7

或©+厉|=/z+i弱

则

9\=yt

1.1.2复数与平面上点的联系

复数与平面上的点i一对应，因而可以互相表示.，轴表

示复数的实部,y轴表示复数的虚部，乂称H轴为实轴4轴为

虚轴.平面上任何一点zO,y）都对应着一个发数2=工+对，又

称才四平而为复平面，也叫z平面（如图hl）.

点Z又与矢量荔---对应。即攵散右KZ十力也与矢量

1

前一一对应。夫量荔的模即复数Z的模的幅角d也即复数

Z的幅角.

|z|-r=//+j

Argz=G

困LI

除z=0外，幅角都是确定的，但不是唯一的.故规定

-n<O^n为复数。的幅角的主值argz.

Argz=argz+*2kn*—0»±1,±2».........

11-3复数的三种表示方式

L直角坐标形式z=工+叨

2•,三角形式2—r(cos<?4-isinP)

3.指数形式

由欧拉公式eJ~cos"+i6in0

可得

z-re

2

1.L4共弱复数

实部相同虚部相反的两个（一对）或数称为彼此共施的，

记为z和式见度1.2）.

图1.2

z=2+iy

z—z-iy

点Z与点工对称于实轴,模相等但幅角相反.

|z|=|c|=匕阡—

argz=­argz

11.5复数的运算

复数的加减可看作矢盘的加减法运算，设

♦=Tl+j料

则向+5=（阳士一）+建孙士力）

3

复数的乘除法，如上面所设

2］当=（zj+iyi）（.x2+ijz）

==——Vi夕？+1（力力+窃打）

£i_zi+iyi_（与+-3—必）

公工？+i"A+城

=工1科+的如+i（zz如一与力）

谴+ift

用指数形式与三角形式进行运算较为方便，设

51=JC4

z>=rje',1

则

ZiZ：=力“"。+，’

=52186（。1+优）+isinS+%）〕。

可见两个复数的积的模等于模的积，两个复数积的幅角

等于两幅角响和。同样可得，两复数的商的模等于模的商，商

的幅角等于而角的差.

复数的乘方可看作乘法的推广

2*—（，©"）■

=rB(cos»W+isinM)

4

也即是

1

Arg（2"）Zkn

更数的开方可由乘方反椎用，设

z=re

-1■1阳如

"（小纥匕5+⑻口旺的）

H口

1.2复变函数、函数的极根、函数的连度

1.2.1函数的概念、平面到平面的映射

定义：如果对于复数集月中，每一数£都有某--复数徵与

之对应，就说在片上定义了一个复变数z的曳函数：

u>—/（c）

规定：以工和y表示02=工+%

以“和”表示叫

以r和。表求Z,Z-re9i

以〃和W表示叫卬=/，。

几何意义：以r曲平面表示2,以皿?'平®表示，，以平面上

的集E中的每一点Z在u，平而上都仃对应的一点叫",叫做二

的像,，尸/⑴使々平面的集合片映射到“，平面上的集合品,

品是£的像（见图1.31.

5

图1.3

w—f(z)

u+iv=f(z+iy)

＜例＞设w=(z+『)+iw，K在全2平面上，求用.

即

[M=x+g

；a=工¥

则有x——♦«＜=-4-y

，y

整理得

jr1—ny4-M=0

v土-

——2-

，有.实根的条件是:

/_•4好》0

6

即V

函数UH（H+y）+i可把点

集以即全Z平面映射到外平面

上的机，即抛物线”=1下'面

2

的域（见图1.4〉&==彳时，y=

4

可得k-5，即工;人故该函

数将（直线）映射为£二手

（抛物线）.

I.2.2复数序列和极限图L4

复数序列：有序的一列复数匕＞=的1,……，&称为亚依

序列。

有界序列：若有正数M存在•能够使对于•一切”都

有liVM，就说序刊｛幻是有界的。

一个发数序列有界相当于两个实数序列有界。

几何解释：若以原点为中心，以M为半径作一四，能够他

序列中的所有的项表示的点都包含在圆周的内部，则称序列

上I是有界的.

。是㈠.｝的极限：任给心＞0,存在正整数N,只要"八,总

有|1一』|＜3则称名是（z"的极限，记为hmm.或工《•”“

■▼、、

几何解释।若以之为中心，以任较小的iF数c为半伦，不

论C如何小.总能以序列H；'中伐到•.、.辿：.、口后的切项衣

示的点落在圆周的内部,则称复数X是序列（子的板限，

7

｛&｝的极限是8：任给加＞。，存A：正整数M只要"〉押

就有以＞〃，则称匕.｝以g为极限，或说趋」•无穷，记为

lim^koo,或;.-*ooc

注意：复数中只有一个9，不像实数中有二+8,而且以复

数的观点来看K｝行极限，在实数中则认为没有极限,

1-2.3函数的极限

定义：任给。＞0,存在正数公当0＜|z—比IV。时就有

I八力八|J,则称当…为时〃=」（功的极限为工,记作

limj（s）—Ae

几何解释：若点~足够接近.时，对应的点«'便任意接近

点4则称，:f时/（z）f4.

注意t实函数中方是沿数轴变化的，复函数中z的变

化是沿任意方向和任意曲线趋近于备，"z＞趋于同一个复数

儿

1.2.4函数的连续

定义：设“力在4的邻域|2—玄|＜〃内有定义，若

1而/（切=/（而），就称“切在点连续。

…。2ft

定理：若函数/（2＞=”和八+6（2,歹）在2c=Zo+iyo连续.

则”（了,〃）在（外,如）连续，”（r.y）在（桁.如）连续。

1.3基本超越函数

1.3,1指数函数

8

C—C'e"­«、'(cosy+isiny)

指数函数有如下性旅；

(J)e，ex?=el+F：

(2)e,是个周期函数，周期为

证：e‘•e*1'—e~(cos2n+isjn2n)-e5

(3)e，与c；共姬。

1.3.2三角函数

1.3.3双曲函数

1.3.4对数函数

若则始称为2的对数，记为w-Lnz

Lnz=7」n|z|-f-iArgz=In\z\+iargz+2Hi

(比=0.士！,+2,.......)

主值为：Inz=In|;：|+iarg£

1.4函数的导致

b4.1定义

设单侑函数，『="切是定义在飞平而上区域。上的函数，

当自变量。在点二处有•改变吊k时，函数相应地有改变量

Au；(z-F9)—,如果

f(2+Au)-f(z)

lirn-=Km

Ar-*OAx~«0

存在，就称u=，G）在点a处可导，并称这个极限值是吁f

（7）的导数，记为r（2），"，，孚.¥，r（z）==Jim

dedswoAZ

复变函数求导的步骤、方法和法则与实变函数一致，因而

有许多与实变函数求导相似的公式。

1,九2函数的导数马函数连续的关系

函数的导数存在则函数一定连续,但连续函数不〜定可

＜例＞函数a，=Rez在*平面上处处连续，但此函数处处

无导数。

证：卬=f（£）=Rez—x

两边对Z求偏导数

az=a(x-Fiy)

又两边对夕求偏导数

＜f（£）

10

=K±Q=o

ay

.二r（2）=0

两者矛盾，故ra）不存在.

1.4.3柯西一黎曼条件（C—R条件）

函数切=，（切=雇工〃）+迎（/“）在点2=z+iy处可导的

必要条件是

"BVBV

az叫‘aray

1.4.4函数M="Z）在z处可导的充分条件

若函数《;=f（2）=xQ,,）+ie（*y）满足。一R条件且

“，切和”（*y）在点z处有全微分，则函数在z点处可导.

1.4.5解析函数

定义।在一区域。内，每一点都可导的函数s=fG）称为

。域内的解析函数。

解析函数又称为正则函数、全纯函数等.

如果f（Z）是点为的一个邻域内的解析函数，就称“外在

点笈处解析。

所有的基本初等超越函数都是其定义域内的解析函数，

且其求导公式与实数域中的求导公式有相同的形式。

凡由基本初等超越函数经有限次复合的函数均为初等超

11

越函数。

一切初等超越函数都是其定义域内的解析函数，且其求

导公式有与实数域中的求导公式相同的形式.

＜例＞＞设眇=“(八")+岳"?)是。域I:的解析函数，试

证明在域。上二曲线族,

=4|

=k：

是正交的曲线族。

证：该题的核心是证明交点处切级的斜率互为负倒数。

=tj

dM（f,y）=（―）dx+（巴）dy—0

些

ar

au

V

这里条件是分子和分母不同时为零。

”(p)—kz

d”Q,y)—(-)dx4-(­)dy

由解析函数的柯西一黎曼条件。八条件），有

3V琬

az_ay

故

9V9U

ayar

证毕。

注意：这里要求r«）关0.

1.4.6解析函数与调和函数

（1）调和函数

凡满足拉普拉斯方程

ar1"

的函数称为调和正数。

（2）解析函数与调和函数的关系

解析函数一定满足C-8条件

W9UW

—•*———

驱刊.ayaz

对此二式再求一次导数（若导数存在），得

3%a%6,廿

9Z2agjH'a，ajray

因此

士+，0

kay

13

同理营段工。,

所以，解析函数的实部与虚部若有二阶连续偏导数，则它

们都是调和函数.

后面可知,解析函数在其定义域内有任意阶导数存在，上

面的条件总可以满足.因此，任意一个域。内的解析函数的

实部和虚部都是D内的调和函数。

注意：实部“04）与虚部乂上疗）是调和函数时，八切=

M（z,y）+i〃（£4）不一定是调和函数。

知道解析函数的实部，可以求其虚部，反之亦然.

1・5保角映射（保角变换）

若解析函数，。="弱在Z平面上点2c处有导致f（2o）

K0,则在M="N）映射下通过点玄的任意二光滑曲线的夹

角的大小和指向均保持不变.如图1.5所示,a=/?.

75）的模1/（20）I表示30处无穷小线段经切映

14

射后伸长或缩短的倍数。因而也称为线性放大系数或伸缩系

数等.

「S)的幅角arg/，表示过分点的任意曲线经吁

映射后，其切线转动了这个角度，又称这个角度为映射小

=“外在点0处的转动角。

说的无穷小邻域内，各方向的导数值相同，就是说各方向

的伸缩系数相同.因此,在无穷小邻域内的图形经映射形状相

似，故又称保形映射、共形映射等。

下面介绍几种有关的保角变换.

(1)整式线性变换.

w=az+b

该变换由于

养=。=0

也

因而在全平面处处可导，故处处保角.该变换由三个简单变换

复合而成；

15

这一变换把£平面上的工点平移一个矢量b得到平面

上的":点（见图1.6），也就是把？平而上的任一国形平移矢

量［得到“，平面上的映射图形（象）。

＜例＞求在映射，”f+i卜圆周|z|=l的象。

圆周bl=1上的短一点、.经，r=r+i映射到if'平面后平

移一个虚单位i（见国1.7）.

图1.7

这一变换又称平移变换。

这一变换把2平面上的N点绕原点旋转B角得到«■平而

16

上的〃；点（见国L&），也就是将右平面上的任一图形绕原点

旋转P角得到"平面上的映射由形（象九

设z~reM

则w=e,N=rK"十0'

＜例＞求在映射"g。’''卜，一周I11h1的家。

圜周|z-l|=l上的用一点经一上映射到，，,平面后

旋话/3角（见图L9）。这一变换乂称为旋转变换。

图1.9

图1.10

17

③，。=。句。为正实数。

这一变换把z平面上的点z的模放大。倍得到"，平面上

的“，点（见图LI。）,也就是将工平面的图形以原点为中心放

大（或缩小）得到n，平面的映射图形.

设t-re'0

则

〈例〉求在映射w-CIZ下，圆周|z--11=J的象。

圆周|Z-1|KI上每一点的模变为原来的二倍得到3平

面上的相似的图形（见图1.11）,这一变换又称为相似变换.

设a=rte'1*

则整式线性变换的一般形式可写为：

〃j=oz+b=b

设z'=e'，2………(4)

............(/?>

2，=Z"+5(C)

则4为旋转变换,，，为相似变换,C为平移变换；M=

18

(2)反演变换.

1

切田一

Z

设2=re1*

则w=-L•©-"

设划=d”

则p=-”=一日

T

因此反演变换可看作由两个对称变换复合而成，其模互

为倒数，幅角相反.

①对于圆周的对称变换

图1.12

如图L12所东，一般情况下，圆周为上一明=*.若

|Z1--ZcI•IZj—So|=/f2

这两个点牙,与叫做对圆周上一』I=R的对低点.在我仃的讨

论中，将两个坐标系重合在一起研究。

0♦T-1

即是相对于单位圆周的对称变换。

②对子坐标轴的对称变换

如图L13所示。

也就把说，反演变换•将Z平面上的£点通过相对于

圆粉⑶=1的对称变换及对乳的对称变换得到平面的

象«*.

〈例>求在映射k；卜.圆周3=2及|"<2的区域

20

的象0

解对「卜：|一2,♦：zr2c”（0〈Y2Ji）

则，，'-！r]e-，故映射储的象仍为圆（虬国LJ4），但

,中=一〃

（2对J!，卜2,由于|力行|一1

故"I、、1,11当|.：!不0时，1"“一8.即映射后的象为

单位网以外的区域。

当把忏线看作半径为无穷大的M周时，变换妙=；具有

保圆性，即把二平面的H线或网周变换成“，平面上的直线或

圆周。

现在花们对此加以讦明。

设二丁7+i0,〃=〃+m

_y

rTy

u*+J"

2i

则一+「=目『

故/+M=（j）z

XV

＜例＞设点2在圆周/+/.一“工一助一。=0上。S+彳+

：＞0）,试分析在变换吁士下,z映射在“平面的象的情况。\

解I根据上述论证，则有点U,在曲线.

uU

7Tp0……(1)

eKO时，上式可整理为

("於+5—Q=^+%+今

=弘+7+V>3

故曲线（1）是圆周.

r=0时.有

1•一m一尿=0

则曲线（1）为直线。

3,分式线性变换

"=_一1'（必一秘）工0

22

分式线性变换是线性变换和反演变换复合而成.

(abe-ad

%?n=+6—一7--•'-+-------♦1

cz+4c、ccz+d

设

ZfKt1，+d(4)

(«)

「•=”二生/+?(C)

cc

4C为整式线性变换,。为反演变换

w=zm

分式线性变换与整式线性变换及反演变换同样具有保圆

性及在扩充平面上具有保角性（包括无穷起点的平面称为扩

充平面）。

＜例〉求把点和.力，方变换为助=0,*=l.g=00的分

式线性变换.

弗依题意，当

z—Zi时，to=t«i=0

z-Zj时•tr=西=1

2=£j时，物H"3=8

由第1和第3个条件可以看出所求分式变换应有如下形

式：

式中为为待定系数.由条件2可知

23

所⑶所求分式变换为

K一八£一：；3

v例?正明，"一2"4"户三'一£［是将

（er••四）（">—M?1）（乙一7〉（7't）

O—.：1,二,，T变换为上一明.岭的分式就件变换出数“

证：依题意.当

二=苞时,W'—W|

二rZt时，”=Wz

Z-Zz时♦«-Wj

下面的分式饯性变换满足第1,3条件，

是分式线性变换.由第2条件有

故有

—W|)(w—Wj)(z-S|)(z—为)

,1-_，.—・・2-4z0.•'—■・•———1.—・-2—

(w--U,5)(«2—U»l)("一为)(％-Si)

该例题可作为公式，已知时应他三个点求其分式变换.

1.6积分

i.6.i，a）沿曲线弧c的积分的意义

设2平面上有一曲线弧C,起点为I,终点为九曲线是光

滑的或分段光滑的。并设由知到2为弧的正方向C,则由z到

二。的方向为“一。。设”2）在。上是连续的.将C分为几个子

弧（见图1.⑸，其分点为由，而……,j则记

5=为一比

)

r

25

江出“〃，，.……，小分别为讦段弧上的也。做和式〃川）\%

।v--i........+/（”.）\..三£八〃.）\:■,令H・g（即,广弧

<=I

收无限增93则|\二/…、（即r弧长7）•则

»

v'

tim_//（八）\.i

•'-'*Jfa-{

称为闲故八.：）沿曲线（’的也分，记为［7（9-

1.6.2积分的主要性质

I.[/.(=)+J2(；JM=J八(；”1.4J

2.JZJ<)d--*j(A为常数)

3.JJ⑴d:--J/(>ck

$.若，•”,+(,?+....卜3,则

|=|f(.)d74-[/(:)dr.■+......4

7

7(=)dcv

♦r•

5.J<1.-i

G«IjjJf(r.)||dc|

7.若「泊K度为石俅K，,在C上切点处|〃二)|&财,

则

||/(世|〈”/

26

1.6.3积分（J（z）d;.的计算

函数”）沿曲f的积分川当于两个实变函数的曲线

枳分，设

；■:ig,J（工）=忖+i八

则其中〃力分别为八〃的函数

u=〃（」・夕）

r--r（^

由于

d二一：d】：id”

则

Jcf（Gd2=j（、”+i”〉（dr+idy）

［（ndr-id//）+i（rdi+〃dg）］

-J（iJilz+iJ（rd/T〃dy）

〈例〉计并枳分［Re4,］［中C为

（J）连拉-0到Ll+i的电线

<?>连接；=0到--J和由3Hli；lJ.=1-ri的

仃线段所组成的折线

解式1）曲线（•的力悭为

（Oy，41）

由于

在C上有

Zhr+II

k(]+i)7

五=(]+i)dr

又由于

Re^^z

Readk=JE(1+i)dr

-<l+i)yl；

(2)积分曲线「由两段直线g和g蛆成，其中a的方

程为

28

1)

dz=dz

5的方程为

z—1+iy1)

dz=idy

则积分

ReHz=ReHz+

Jri

xdx+

=4+'

由此可以看出函数Rez的枳分是与路径有关的.

x

图1.17

〈例〉计算积分S一出一，「兄中心为2・=。+仍,半径

JcZ一%

为r的圆周，方向为逆时针。

解：如图L17所示曲线q的方程可以表示为参数形式：

z-"二寸c”

式中£为参数2n

d，=re”•W

则职分

=2ni

由此可见，$［虹沿圆周C的积分与。的半径无关。

JC-F

1.6.4柯西定理

阿西定理：若函数“外在单连通域〃内解析，目r(切为

连绘函数，则f")沿域。内任何分段光滑闭曲线的积分为

零。

证明：如图1.18所示，设“2〉在〃域内解析，域"在0

内♦边界为C

/(i)=«4-ir

式中H和，'为］,y的函数，即

«=u（7,y）

30

V=o（T,y）

X

图1.18

由于

2二7+iy

Az-dz+idy

则有

,f(£)dz=§(bdx-tidy)+if(JXJZ+ndy)

利用格林公式得

£“幻击=+可e一争ds

由条件八外在域/>.内也解析,应满足柯西一黎曼条件.

au_0r

所以

31

$f（2）dz=0.

柯西定理推论:若函数“外在域D内除一点2。处是单值

解析的，则沿着所有围境证的。域内的闭曲线的同方向积分

必相等.

证明：如图1.19所示设有两条围绕为的闭曲线和月和

"MN,连接加，则域为--单连通域，而且不包括

备点,所以有

（Df（£）dz=0

J4CKAB!tMBA

也即

L*粒+J/a粒+心,j⑸丁+J/⑺山

=0

由于

f(z)dz=—/(£)dz

ABB.4

所以

/(«)ds+Q>JG)dz=0

4C84J

32

if(z)dz=—(p

JACfiAJ0"6

(Lf")d2=Q)/(2〉d;

JACfiAJBMKfi

y

图1.19

柯西定理推论扩充:若在域D中有有限个不解析点内,

备，……,二,G,“，……,G分别为包围这些不解析点的闭曲

线/为域，的边界，则有

图120

33

।f(z)(Jz=:f(z)dz++“z)dz

见图L20.证明以略。

＜例＞试证积分“一备）；=。’其中“在闭曲线’的

内部，"为不等于I的整数，参见图1-21.

证明：若"为负整数或零，则被枳函数

“2）=昌*"”

其中£=一人为正整数或零，“口为一多项式，在全2平面处

处解析，所以

卜泮^二0

若比为不等于1的正整数•则被枳函数

有唯一的不解点之二2。

.以“为例心，以r为半在撕网g根据加西定理推论，沿

H1曲线i和沿刚阖（'函也JJ）的枳分相等

34

(—生—=®

I(--Q”J。

将被积函数写成指数函数形式，由于

re

「小•加

r'e‘“

则有

re”•id〃

一•，，dO

--e«叫。

1-W

©"•”,一]]

一R

而当＞»=1时，，应用柯西推论

同样可得

35

由此,我们可以得到一个重要的结论，当菊在I内时，积

分

2m(«=1)

0Gr0)

而当的在*外部时，由于函数在2内部处处解析，则有

1-6.5柯西积分公式

若函数”切在一条闭曲线，内的区域〃上及£上是解析

的，且为为/内任意一点,则

•图1.22

证明：这个公式的求证可以归结为下式的求证。

J":9—^―--/(Co)=0

Zn»Jizzo

由于

36

所以，可以有

于是.我们所要证明的关系变为

如图1.22所示以2。为圆心，以r为半径作网周,山柯

西定理推论可以得到

小改＞二,5几=$四2二山也

j।z一讥Jrz一为

这里需要说明的是，所求积分是确定的复数值，并不I目圆周「

的大小而变化,即与，无关。由于小外在/)域内解析•所以其

导数r(沅)存在，也即

hm—------------J'5)

-DN一%

存花，所以它们的模

.../(-)/(2)I[J

-****0

37

有界，设

I笑二空当〈人一

**“U

其中A-为有界数，有

I<f,l<K£|ds|

=K•2nr

不管r多么小，我们都有上式存在•所17

Jr2-20

于是有

若将面看作动点£,便得到下式

这就是柯西积分公式，右面的积分称为柯西积分，柯西积分公

式建立了解析函数在域内各点的函数值和边界上各点函数值

的关系。

<例>求枳分£—三一五的值/为由工=土2及"=士

''2+3」

2围成的闭曲线。

解：在所求的积分电一0：不比中

?在所给定的用曲线所围成的域内是解析的，—淮域内的

-一点，由柯西枳分公式对

k2川*（一1）

="2n

1.6.G解析函数的高阶导数

在:实变函数中一个一数的阶导效苗住，乂高阶S数不

-定。花.1（1］住址变函数中，解析由我的任何高阶的导致总是

存在的.运用轲西公式川小说明这个事实U

.JL）为用曲线/I.及，斯围成的域内的解机•函数.二为

域内的乩则按阿西也分公，弋

39

,⑶=白£铝业

按导致的定义

..，仁+，\2》一“2》

79)=HUI——"""**J-----------------

At-*0

而

仆+M)7(2)=白«「((2\

2mJ：々…(z+\z)2川)遥一之

_1J；/⑷心也

2niJ<(t,-•-z—七)«—z)

所以有

也可以写成为

/s)=.£.”W

dmQZL•£

由此形式可以看出，解析函数的导函数可以用其柯西积分对

Z求导得到,而这个求导过程可以在积分号内进行。

同样可以得到其二阶及高阶导函数

「⑺=白£/里产

40

f⑺一2ni*«—切田国

由此，可以得到这样的结论：解析函数在其闭曲线内任意

点z处的任意阶导数存在，解析函数的导函数仍为解析函数。

上面的公式均称为柯西积分公式，在理论上和实际计算

上都是很有用处的.

£口为尸必，为圆心在一、半径为

〈例〉计算积分21

的圆周。

解：如图】.24所示。函数e,在所给定的域内是解析的，用

阿西积分公式有

e

4但+2Y

弃”)

2%-2

3}

ni

图1.24

L6.7沿无限直线的柯西积分

以上讨论的都是有限闭域内的情况，而半无限平面域的

情况下的柯西极分对于我们所将要研究的问题来说是很有意

义的。这里，给出几个有用的结论,详细的证明请读者参阅文

献［2］第四章的内容.

设函数人切在上半I7面解析•」£在上半平面及实轴，，上

41

连续,当二4人，时/（z）=a,则当z在上半平面时

而当之在下半平面时

=——--a

若雨数八~）在F半平面内解析」［在下半平面及实轴L

上连续,当*—时f（2〉=a,则当Z在下.半平面内时

口"dJ/（，）+，

J,八3十2

当Z在I.半平面内时

图1.25

1.7级数

级数是研究而数的重要工U,用简单的函数（如嘉级数,

'：角由数级数）束衣达亚杂的由故,这杆就可以由＜1简单函数

的研竞来研究匕杂的函数。

42

这一节将介绍台劳(Taylor)级数和罗朗(Laurent)级数。

1.7.1解析函数的台劳级数

我们来研究解析函数”£)在2=之点附近的台劳级数展

开式。

如图1.26所示,设“z)在四周G的内部所有点处是解析

的.二。为4的中心，则在4内任意点z处有

图1.26

f(z)=/(%)+7(%)(2%)+—20)'+.........+

r-u)

J,.一(2-Zo)'+...........

«!

证明1由于”2)在C内解析，我们在4内以为为中心作

圆周,把工包含在内，则圆周2的'K径P>“|N-备|eQ.所以

八0在以［为边界的闭域上解析二乂在/内，根据河西积分公

式

:侬业

作如下空攒

1

%)

1

,一

为1—A

式中

而且

由于E是无穷等比级数…的和式,由下

式可以看出t

1=(1—4)(1+同+⑷+....+*T)+#

-：-=(1+A+/+........+4*T〉+丁<,人

L—AJ-A

式中最后一项称为余项,因此•我们可以写

1一1riZ一为（z一/）2J1（£-%）•一、,

;一^=L-一tuf。++77g」+

C一£5%+々L一-比+代N一£。）«一~比）

（::一为）'1

（一0）n”

1z-（2—^o）：

十

（2一a）1（£一为）’

（。一为＞（C一方）Yt—z）

冷空+卢幼⑷+■«）+……+

（Z-ZQ）*

（L2。）（匕-Z。

1£0*（"z。）…”

而

余项

然=而£，-2）«-丁心”一

由柯西积分公式可以得到

，€=）="知）+「（备）（名一备）+l"；；）Q-曲）'+…-+

由于

m=~2AlJf，7（74~-~z祟）（《~一~A）^ddk-SoP

，为，《）所在解析域的边界有最大值，设〃为|『（z）|

在亡匕的最大值，又有

IC--z\=|（C-z«）—（ss»）l3〃一r

所以

）贴…

l«.）<LXl«

2nJ（|t,-a||t,—^o|

45

2nJi{p--r)p*

Mr*£

=1，・.—•・--—・■>*w-①QT

2n(p--r)p*J/

=.%L(二)・

p-rp

显然

lim|".|nlim——（二），=0

■—F•♦、>/>Tp

所以函数f（£）可以展开成台劳级数

/（«）=，（片）+7（Z°）（Z—a）十符产（吁20尸+…”•+

«!

这里特别要指出的是当比=0时，得到马克劳林

（Maclaurin）级数展开式，这是台劳级数的特例

f（z）=f（O）+r（0）汗阴1+……+……

〈例〉试求e,的马克劳林级数。

解：函数/（z）=e，在金z平面解析，且2=0时

"2)=J(O)=1

P(0)=r<0)=…=/!,>(0>=…=I

所以

e=[+z+^y+/+...+三十......

2J3；*】

46

＜例＞试求sinz的马克劳林级数.

解；函数，a)=8iCK在全Z平面解析，且/(0)=0

ff(0)—cos(0)—1

r(0)=—)n<0)r0

/*(0)---CQS(0)=~1

等等,所以

a

(7)…京F。

h7.2解析函数的罗朗级数

设有两个同心圆周，硼心为曲，如图1.27所示.

口：化一方|二，1(2：忆一口！=7*2

若函数八二)。一和5上以及的阳周之间的环杉区域内

是解析的,则在该K域内，八力可以川.的|1群勺仇解的

收敛级数发表示

47

8B

/<2)=4)*+2厂公£

•-0I-Zc)

c为C|,G之间的以比为心的圆周。

这就是罗朗级数.台劳级数是罗朗级数的一定条件下的

特例，与证明台劳级数存在一样我们也可以证明罗朗级数存

在。

可以把系数。・，