两角和与差的正弦余弦和正切公式课件-高一上学期数学人教A版

第五章三角函数5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

在坐标平面内的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如图，过P1,P2分别作x轴，y轴的垂线交于点Q，则Q的坐标为(x2,y1)，则由勾股定理，可得：所以平面内P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间距离：xyOP1(x1,y1)P2(x2,y2)Q(x2,y1)∟平面内P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间距离公式：

前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到简化、求值或证明的目的．

这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换．观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和（或差）的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系．

如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和（或差）的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？

下面来研究这个问题．

α终边β终边α-β终边如图，设单位圆于x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α-β，它们的终边分别与单位圆相交于点下面我们来探究cos(α-β)角α，β的正弦、余弦之间的关系．不妨令α≠2kπ+β，k∈Z，

P1，

A1，P．探究：如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α－β的正弦、余弦吗？

α终边β终边α-β终边A(1，0)，P(cos(α-β)，sin(α-β))，A1(cosβ，sinβ)，P1(cosα,sinα)．

连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合.根据圆的旋转对称性可知:AP与A1P1重合，从而AP=A1P1，所以AP=A1P1．根据两点间的距离公式，得：化简得当α=2kπ+β,k∈Z时，容易证明上式仍然成立．

此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α-β).所以，对任意角α，β有口诀：余余正正符号异

给值求值问题

给值求角问题

给值求角问题

【推导】我们以C(α-β)为基础，推导出其他公式.

（C(α+β)）探究：由公式C(α-β)出发，能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？由公式C(α-β)出发，能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？于是得到了两角和的余弦公式探究：我们知道，用诱导五（六）可以实现正弦、余弦的互化.你能根据C(α-β)、C(α+β)和诱导五（六），推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin(α+β)，sin(α-β)公式吗？于是得到了两角和与差的正弦公式（S(α+β)）（S(α-β))口诀：余正正余符号同5.两角和的正切公式(T(+))探究：我你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从Ｃ(α±β)Ｓ(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan(α+β)，tan(α-β)的公式吗？6.两角差的正切公式(T(-))那么两角差的正切呢?口诀：上同下异两角和与差的正弦、余弦公式：和角公式差角公式例1利用和（差）角公式计算下列各式的值：化简与求值：课本P219课本P220化简与求值：两角和与差的正切公式有两种变形形式正切公式正逆用：练习册P210例2（2）

解：给值求值：课本P218课本P220给值求值：给值求值：换练习册P210例3给值求角：练习册P2124给值求角问题的解题策略解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；

第二步，确定角所在的范围；

第三步，根据角的取值范围写出所求的角．选三角函数的方法：若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在一、二或三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在一、四或二、三象限，则选