2024-2025学年山东省济南市高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省济南市高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数6+4i(1+i)2所对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，则(

)A.BE=−13AB+23AD 3.若圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为(

)A.π B.2π C.3π D.4π4.已知向量a，b满足|a|=2，b=(1,3)，且a⋅b=4，则向量aA.55 B.255 5.在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，则△ABC的面积为(

)A.1532 B.66 6.已知复数z的实部大于等于1，则|1z+1+i|的最小值为A.2 B.3 C.137.已知正四棱锥P—ABCD的底面边长为2，高为3，则其内切球半径是(

)A.1 B.3−32 C.8.如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标，则该坐标系中A.(x1−x2)2+(y二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1，z2，则下列命题一定成立的有(

)A.若|z1+z2|=0，则z1−=−z2−10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是(

)A.若sinA>sinB，则A>B

B.若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC是锐角三角形

C.若a=10，b=8，A=60°，则符合条件的△ABC有两个

D.对任意△ABC，都有cosA+cosB>011.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.按照以下方式可构造一个半正多面体：如图1，在一个棱长为4的正方体中，B1E1=B1F1=B1G1=a，A1A.当a=1时，该几何体是一个半正多面体

B.若该几何体是由正八边形与正三角形围成的半正多面体，则边长为4−22

C.若该几何体是由正方形与正三角形围成的半正多面体，则体积为1603三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设a，b为实数，且ab≠0，虚数z为方程ax2+bx+a=0的一个根，则|z|的值为______．13.如图所示，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=2，等边三角形ADB以AB所在直线为轴旋转，当平面ADB⊥平面ABC时，CD=______．14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点)如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为4，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=6，则cos∠PAC=______；若AC：AB：BC=6：5：4，则PA+PB+PC的值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，我国南海某处的一个海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为35海里.∠BAD为钝角，且sinA=35．

(1)求小岛A与小岛D之间的距离；

(2)已知∠BCD与16.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，所有棱长均为4，D是AB的中点．

(1)求证：BC1//平面A117.(本小题15分)

在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且(ac−1)sinC=sin(A+2C)．

(1)求角B；

(2)若a=218.(本小题17分)

如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点．

(1)若cos∠CAB=13，当k为何值时，AC+2AB与kAC−AB垂直？

(2)若G为△ABC的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且AP=λAB,AQ=μ19.(本小题17分)

如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角P−ABC，∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，二面角A−PC−B的大小为θ，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosθ．

(1)如图2，在三棱锥A−BCD中，△ABD为等腰直角三角形，∠BAD=90°，△BCD为等边三角形，∠ABC=90°，求二面角A−BD−C平面角的正弦值；

(2)如图3，在三棱锥A−BCD中，AH⊥平面BCD，AE⊥BD，连接HE，AB=4，∠ABD=45°，∠CBD=60°，∠ABC=90°，BC+BD=6，求三棱锥A−BCD体积的最大值；

(3)当α、β、γ∈(0,π2)时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理．参考答案1.D

2.A

3.B

4.C

5.B

6.C

7.D

8.D

9.AC

10.ABD

11.BCD

12.1

13.2

14.34

；2315.16.(1)证明：连接AC1交A1C于O，

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，所有棱长均为4，

因此四边形AA1C1C是正方形，所以O是AC1的中点，而D是AB的中点，

因此有OD//BC1，而OD⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，

所以BC1//平面A1DC；

(2)解：由(1)可知：OD//BC1，

因此异面直线A1D与BC1所成角为∠A117.18.19.解：(1)取BD的中点P，连接PA，PC，如图所示，

则BD⊥PA，BD⊥PC，于是∠APC是二面角A−BD−C的平面角，

设AB=1，则AP=22,PC=62,AC=3，

由余弦定理得cos∠APC=AP2+PC2−AC22AP⋅PC=12+32−32×22×62=−33，

故sin∠APC=63．

(2)二面角A−BD−C的平面角的大小为θ，

利用三面角余弦定理得cos90°