2024-2025学年陕西省榆林市高二下册3月月考数学质量检测试题（附解析）

2024-2025学年陕西省榆林市高二下学期3月月考数学质量检测试题一、单项选择题：（本题共8小题，每小题·5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知(均为有理数),则的值为（）A.90 B.91 C.98 D.99【正确答案】D【分析】根据二项式的展开式通项公式代入运算即可.【详解】因为的展开式的通项公式为，所以．故选：D2.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率()A. B. C. D.【正确答案】B【详解】事件A：“第一次拿到白球”，B：“第二拿到红球”，则P(A)＝＝，P(AB)＝·＝，故P(B|A)＝＝.3.若二项式的展开式中所有二项式系数之和为32，则含项的系数是（）A.80 B.-80 C.40 D.-40【正确答案】A【分析】根据题意，可得，然后结合二项式的通项公式即可得到结果.【详解】由题知，解得，则，通项公式为，所以二项式的展开式中含项的系数为.故选：A.4.用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（）A.240 B.360 C.480 D.600【正确答案】C【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解.【详解】将区域标号，如下图所示：因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；所以共有种不同的涂色方法.故选：C.5.学校要安排一场文艺晚会的8个节目的演出顺序，学生的节目有6个，教师的节目有2个，如果教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，那么不同的排法数为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先排两个学生节目在最前最后，在中间六个位置排剩下节目即可.【详解】先排两个学生节目在最前最后位置，然后排在中间六个位置排剩下节目，运用分步乘法原理，总排法数为.故选：C．6.如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.A. B. C. D.【正确答案】D【分析】对、号无人机颜色与至号的无人机颜色是否相同进行分类讨论，再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果.【详解】根据题意可知，至号的无人机颜色有4种选择；当、号无人机颜色与至号的无人机颜色相同时，号无人机颜色有3种选择；当、号无人机颜色与至号的无人机颜色不同时，、号无人机颜色有3种选择，号无人机颜色有2种选择；再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种.故选：D7.已知的展开式中的系数为40，则的值为（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【正确答案】B【分析】首先变形得，然后利用二项式展开式的通项公式求出的系数即可.【详解】由题意可得，在的展开式中，由，令无解，即的展开式没有项；在的展开式中，由，令解得，即的展开式中的项的系数为，又的系数为40，所以，解得.故选：B8.已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（）X123Pab2b—aA. B.3C.6 D.5【正确答案】C【分析】根据概率和为得到求得，根据分布列求得，求的最大值，再求的最大值即可.【详解】因为分布列中概率和为，故可得，解得，又，则，又，故可得，则当时，的最大值为，又，故的最大值为.故选：C.二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（）A. B.C. D.【正确答案】ACD【分析】根据随机分布的定义和随机分布的期望方差计算进行求解即可.【详解】对于选项A：随机变量X服从两点分布，因为故，故选项A正确；对于选项B：，故选项B错误；对于选项C：，故选项C正确；对于选项D：，故D正确.故选：ACD10.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（）A.四位回文数有90个B.四位回文数有45个C.（）位回文数有个D.（）位回文数有个【正确答案】AC【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】根据题意，对于四位回文数，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……、9009、9119、9229、……、9999，其首位和个位有种选法，第二为和第三位有种选法，故共有个，则A正确，B错误；对于位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第个数字，即最中间的数字有10种选法，则共有种选法，即（）位回文数有个，故C正确，D错误.故选：AC11.某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（）A.从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法B.从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同选法C.将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种D.8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法.【正确答案】BCD【分析】选项A可以看做从8个人中取2个人的排列；选项B先从男生中选1个有种情况，再从女生中选1人有种情况，进而可得；选项C先排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况，进而可得；选项D依次把3个女生插入队伍中，共有种.【详解】选项A：从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误；选项B：从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确；选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况，共有种情况，故C正确；选项D：8名学生排成一排，已知5名男生已排好，先排第一个女生可以排5个男生中间的4个空或2头，有6种情况，再排第二个女生可以排到排好的6个人中间的5个空或2头，有7种情况，最后排第三个女生可以排到排好的7个人中间的6个空或2头，有8种情况，共有种情况，故D正确，故选：BCD三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是_____________．【正确答案】【分析】求出任选3人的方法总数，再求得至少有1名女生的方法数后可计算概率．【详解】任选3人的方法数为，其中至少有1名女生的方法数为．所以概率为．故．13.下列说法中正确的是______.①设随机变量X服从二项分布，则②小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；③【正确答案】①②【分析】由二项分布的概率公式求得概率判断①；利用条件概率计算公式求得概率判断②；由期望和方差的计算公式判断③.【详解】①设随机变量X服从二项分布，则故①正确；②设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，小赵独自去一个景点，则有4个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为种，所以小赵独自去一个景点的可能性为种；因为4个人去的景点互不相同的可能性为种，所以，故②正确；③，故③错误.故①②.14.已知随机变量X的分布列为，，则的值为____________．【正确答案】##04【分析】根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果．【详解】∵，，∴，∴，故．四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，顾客购买满一定金额商品后即可抽奖，在一个不透明的盒子中装有10个质地均匀且大小相同的小球，其中5个红球，3个白球，2个黑球，搅拌均匀．每次抽奖都从箱中随机摸出3个球，设顾客抽奖1次摸出白球的个数为X，写出X的分布并求方差．【正确答案】分布列见解析，【分析】首先确定所有可能的取值，由超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望和方差公式计算可得数学期望和方差；【详解】由题意知：X所有可能的取值为0，1，2，3，所以；；；；所以X的分布为：，所以；所以．16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．【正确答案】（Ⅰ）（Ⅱ）说法不正确；【详解】试题分析：（Ⅰ）利用列举法列出所有可能的结果即可；（Ⅱ）在（Ⅰ）中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的；试题解析：（Ⅰ）所有可能的摸出结果是：（Ⅱ）不正确，理由如下：由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为共4种，所以中奖的概率为，不中奖的概率为，故这种说法不正确．考点：概率统计【名师点睛】古典概型中基本事件的探求方法1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时（x，y）可以看成是有序的，如（1,2）与（2,1）不同．有时也可以看成是无序的，如（1,2）（2,1）相同．17.已知二项式．（1）求二项展开式中各项系数之和；（2）求二项展开式中含的项；（3）求二项展开式中系数绝对值最大的项．【正确答案】（1）（2）（3）或【分析】（1）令，求二项展开式中各项系数之和；（2）根据，令计算即可；（3）设第项的系数的绝对值最大，设，建立不等式组，解之求得，从而可得答案．【小问1详解】令，二项展开式中各项系数之和；【小问2详解】展开式的通项为：，二项展开式中含的项，令，则含的项为：；【小问3详解】展开式的通项为，设第项的系数的绝对值最大，设，则，即，解得，又，所以，所以展开式中系数的绝对值最大的项为，．18.某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为．（1）若出现故障的机器台数为X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．【正确答案】（1）见解析（2）【分析】（1）首先利用题意判定该随机变量服从二项分布，再利用二项分布的概率公式求出每|个变量对应的概率，再列表得到分布列；（2）列出随机变量的所有可能取值，利用对应关系得到每个变量的概率，列表得到分布列，进而得到期望值．【小问1详解】一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为，则事件的概率为，该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，因出现故障的机器台数为，故，，，，，．的分布列为：01234【小问2详解】设该厂获利为万元，则的所有可能取值为：18，13，8，，，，即的分布列为：18138则，故该厂获利的均值为．19.在一次购物抽奖活动中，假设某张券中有一等奖券张