2024人教A版高一数学：必修4122122同角三角函数的基本关系教学设计语文

2024人教A版高一数学：必修4122122同角三角函数的基本关系教学设计语文一、教学目标1.知识与技能目标理解同角三角函数的基本关系，能运用这些关系进行三角函数式的化简、求值和证明。能根据已知三角函数值求其他三角函数值，掌握已知一个三角函数值求其余三角函数值的方法。2.过程与方法目标通过探究同角三角函数的基本关系，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力，体会由特殊到一般的数学思想方法。在运用同角三角函数基本关系解题的过程中，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标通过自主探究与合作交流，让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神，激发学生学习数学的兴趣。二、教学重难点1.教学重点同角三角函数基本关系的推导与理解。运用同角三角函数基本关系进行化简、求值和证明。2.教学难点理解同角三角函数基本关系中"同角"的含义，以及在具体问题中如何灵活运用这些关系。三角函数值符号的确定，特别是在已知一个三角函数值求其他三角函数值时，要根据角所在象限准确确定符号。三、教学方法1.讲授法：讲解同角三角函数基本关系的概念、推导过程和应用方法，使学生系统地掌握知识。2.探究法：引导学生通过自主探究、小组合作等方式，探究同角三角函数基本关系的推导过程，培养学生的探究能力和创新思维。3.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用同角三角函数基本关系解题的能力。四、教学过程（一）新课导入1.复习回顾提问学生：什么是正弦函数、余弦函数和正切函数？让学生在直角坐标系中画出一个角\(\alpha\)，并指出\(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)、\(\tan\alpha\)的几何意义。2.情境引入展示一个直角三角形，已知其中一个锐角的正弦值，如何求出这个角的余弦值和正切值呢？引导学生思考：在同一个角\(\alpha\)的三角函数之间是否存在某种内在联系呢？从而引出本节课的主题同角三角函数的基本关系。（二）探究新知1.同角三角函数基本关系的推导让学生利用三角函数的定义，在直角坐标系中，设角\(\alpha\)终边上一点\(P(x,y)\)，\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，则\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)\)。引导学生探究\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\)的值：\[\begin{align*}\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha&=(\frac{y}{r})^{2}+(\frac{x}{r})^{2}\\&=\frac{y^{2}}{r^{2}}+\frac{x^{2}}{r^{2}}\\&=\frac{x^{2}+y^{2}}{r^{2}}\\&=1\end{align*}\]再探究\(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)与\(\tan\alpha\)的关系：因为\(\tan\alpha=\frac{y}{x}\)，\(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}=\frac{y}{x}(x\neq0)\)，所以\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)。总结同角三角函数的基本关系：平方关系：\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)。商数关系：\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(\alpha\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ)\)。2.对基本关系的理解强调"同角"的含义：即角是同一个角，但不一定是具体的某个度数，只要是同一个角的三角函数之间就满足这些关系。让学生思考：\(\sin^{2}2\alpha+\cos^{2}3\alpha=1\)是否成立？为什么？引导学生进一步理解同角的重要性。分析平方关系\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)的变形：\(\sin^{2}\alpha=1\cos^{2}\alpha\)。\(\cos^{2}\alpha=1\sin^{2}\alpha\)。强调商数关系\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)成立的条件是\(\alpha\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，因为当\(\alpha=k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)时，\(\cos\alpha=0\)，\(\tan\alpha\)无意义。（三）例题讲解1.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。分析：因为\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，所以\(\cos\alpha=\pm\sqrt{1\sin^{2}\alpha}\)。又因为\(\alpha\)是第二象限角，在第二象限中余弦值为负，所以\(\cos\alpha\lt0\)。解：由\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)可得：\(\cos\alpha=\sqrt{1(\frac{3}{5})^{2}}=\sqrt{1\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\)再根据\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，可得：\(\tan\alpha=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}\)总结：已知一个角的正弦值求余弦值时，要根据角所在象限确定余弦值的符号；求正切值时，直接利用商数关系。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\)的值。分析：将所求式子分子分母同时除以\(\cos\alpha\)，然后利用\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)进行化简求值。解：\[\begin{align*}\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}&=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}\\&=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha1}\\&=\frac{2+1}{21}\\&=3\end{align*}\]总结：对于含有\(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)的齐次式（即式子中各项的次数相同），可以通过分子分母同时除以\(\cos\alpha\)的适当次幂，将其转化为只含有\(\tan\alpha\)的式子来求值。3.求证：\(\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\)。分析：要证明等式成立，可以通过交叉相乘，将等式两边化为相同的形式，再利用同角三角函数基本关系进行证明。证明：左边\(=\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}\)，右边\(=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\)。左边\(\times\)右边\(=\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}\times\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{1\cos\alpha}\)。由\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)可得\(\sin^{2}\alpha=1\cos^{2}\alpha=(1+\cos\alpha)(1\cos\alpha)\)，即\(\frac{1+\cos\alpha}{1\cos\alpha}=\frac{\sin^{2}\alpha}{(1\cos\alpha)^{2}}\)。所以\(\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}\times\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=1\)，即左边\(=\)右边，原等式成立。总结：证明三角函数等式时，通常从一边开始，通过适当的变形，利用同角三角函数基本关系，逐步推导出另一边，也可以两边同时变形，使其都等于同一个式子来证明。（四）课堂练习1.已知\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)，且\(\alpha\)是第三象限角，求\(\sin\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。2.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，求\(\cos^{2}\alpha\)的值。3.求证：\(\frac{\cos\alpha}{1\sin\alpha}=\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}\)。（五）课堂小结1.同角三角函数的基本关系：平方关系：\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)。商数关系：\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(\alpha\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ)\)。2.运用同角三角函数基本关系解题时的注意事项：注意"同角"的含义。求三角函数值时要根据角所在象限确定符号。对于齐次式可以通过除以\(\cos\alpha\)转化为\(\tan\alpha\)来求值。证明三角函数等式时要灵活运用基本关系进行变形推导。（六）布置作业1.书面作业：教材P21练习第1、2、3题；习题1.2A组第5、6题。2.拓展作业：已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，\(0\lt\alpha\lt\pi\)，求\(\tan\alpha\)的值。五、教学反思