一元二次方程习题集

一元二次方程习题集一、教学目标1.理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程的一般形式，会根据实际问题列一元二次方程。2.掌握一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程。3.了解一元二次方程根的判别式，能运用判别式判断方程根的情况，并根据判别式确定方程中字母系数的取值范围。4.掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用根与系数的关系解决相关问题，如已知方程一根求另一根、求方程中字母系数的值等。5.通过解一元二次方程的练习，培养学生的运算能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力，体会数学的应用价值。二、教学重难点1.重点一元二次方程的概念、解法和应用。根的判别式和根与系数的关系及其应用。2.难点选择合适的方法解一元二次方程。理解和运用根的判别式及根与系数的关系解决综合性问题。三、教学方法讲授法、练习法、讨论法相结合四、教学过程（一）知识讲解1.一元二次方程的概念定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。一般形式：\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），其中\(a\)是二次项系数，\(b\)是一次项系数，\(c\)是常数项。举例：\(2x^2+3x1=0\)，\(x^24=0\)等都是一元二次方程。2.一元二次方程的解法直接开平方法对于形如\(x^2=p\)（\(p\geq0\)）或\((ax+b)^2=p\)（\(p\geq0\)）的方程，可以直接开平方求解。例如：解方程\(x^2=9\)，可得\(x=\pm3\)；解方程\((2x1)^2=4\)，则\(2x1=\pm2\)，进而解得\(x_1=\frac{3}{2}\)，\(x_2=\frac{1}{2}\)。配方法步骤：先把常数项移到等号右边，再把二次项系数化为1，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后用直接开平方法求解。例如：解方程\(x^2+6x7=0\)。移项得\(x^2+6x=7\)；二次项系数化为1得\(x^2+6x\div1=7\div1\)，即\(x^2+6x=7\)；配方：\(x^2+6x+9=7+9\)，即\((x+3)^2=16\)；开平方得\(x+3=\pm4\)；解得\(x_1=1\)，\(x_2=7\)。公式法对于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），其求根公式为\(x=\frac{b\pm\sqrt{b^24ac}}{2a}\)。步骤：先确定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值，再计算判别式\(\Delta=b^24ac\)的值，最后代入求根公式求解。例如：解方程\(2x^25x+1=0\)，这里\(a=2\)，\(b=5\)，\(c=1\)。计算\(\Delta=(5)^24\times2\times1=258=17\)；代入求根公式得\(x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}\)，即\(x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}\)，\(x_2=\frac{5\sqrt{17}}{4}\)。因式分解法把方程右边化为0，左边分解因式，然后根据"若两个因式的积等于0，则至少有一个因式等于0"，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解。例如：解方程\(x^23x=0\)，因式分解得\(x(x3)=0\)，则\(x=0\)或\(x3=0\)，解得\(x_1=0\)，\(x_2=3\)。3.一元二次方程根的判别式定义：对于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），\(\Delta=b^24ac\)叫做根的判别式。当\(\Delta>0\)时，方程有两个不相等的实数根；当\(\Delta=0\)时，方程有两个相等的实数根；当\(\Delta<0\)时，方程没有实数根。例如：方程\(x^22x+3=0\)，其中\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=3\)，\(\Delta=(2)^24\times1\times3=412=8<0\)，所以此方程没有实数根。4.一元二次方程根与系数的关系对于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），如果方程的两根为\(x_1\)和\(x_2\)，那么\(x_1+x_2=\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)。例如：已知方程\(2x^23x1=0\)的两根为\(x_1\)，\(x_2\)，则\(x_1+x_2=\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)，\(x_1x_2=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)。（二）例题讲解例1：判断下列方程是否为一元二次方程。\(x^32x^2+5=0\)（）\(3x^2\frac{1}{x}+1=0\)（）\((x+2)(x1)=x^2+3x\)（）\(ax^2+bx+c=0\)（）解：不是，因为未知数最高次数是3。不是，因为方程不是整式方程。不是，化简后为\(x^2+x2=x^2+3x\)，即\(2x+2=0\)，是一元一次方程。不一定，当\(a=0\)时，不是一元二次方程，当\(a\neq0\)时，是一元二次方程。例2：用适当的方法解下列方程。\(x^24x+3=0\)\(2x^25x3=0\)\(x^26x+9=0\)\(x^2+2x+2=0\)解：因式分解法：\(x^24x+3=0\)，分解因式得\((x1)(x3)=0\)，则\(x1=0\)或\(x3=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=3\)。因式分解法：\(2x^25x3=0\)，分解因式得\((2x+1)(x3)=0\)，则\(2x+1=0\)或\(x3=0\)，解得\(x_1=\frac{1}{2}\)，\(x_2=3\)。配方法或直接开平方法：\(x^26x+9=0\)，即\((x3)^2=0\)，解得\(x_1=x_2=3\)。公式法：\(x^2+2x+2=0\)，其中\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=2\)，\(\Delta=2^24\times1\times2=48=4<0\)，所以方程没有实数根。例3：已知关于\(x\)的一元二次方程\(x^2(2k+1)x+k^2+k=0\)。求证：方程有两个不相等的实数根。若\(\triangleABC\)的两边\(AB\)、\(AC\)的长是这个方程的两个实数根，第三边\(BC\)的长为5，当\(\triangleABC\)是等腰三角形时，求\(k\)的值。解：证明：\(\Delta=(2k+1)^24(k^2+k)\)\(=4k^2+4k+14k^24k\)\(=1>0\)所以方程有两个不相等的实数根。由求根公式可得\(x=\frac{(2k+1)\pm1}{2}\)，则\(x_1=k+1\)，\(x_2=k\)。当\(AB=AC\)时，\(k+1=k\)，无解。当\(AB=5\)时，\(k+1=5\)，解得\(k=4\)；当\(AC=5\)时，\(k=5\)。所以\(k\)的值为4或5。例4：已知方程\(x^23x1=0\)的两根为\(x_1\)，\(x_2\)，求下列各式的值。\(x_1^2+x_2^2\)\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)\((x_12)(x_22)\)解：由根与系数的关系得\(x_1+x_2=3\)，\(x_1x_2=1\)。\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^22x_1x_2=3^22\times(1)=9+2=11\)。\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\frac{3}{1}=3\)。\((x_12)(x_22)=x_1x_22x_12x_2+4=x_1x_22(x_1+x_2)+4=12\times3+4=16+4=3\)。（三）课堂练习1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A.\(x+3y=0\)B.\(x^23x+2=0\)C.\(x^2\frac{1}{x}=1\)D.\(x(x^22)=0\)2.用配方法解方程\(x^24x1=0\)，配方后所得方程是（）A.\((x2)^2=1\)B.\((x2)^2=4\)C.\((x2)^2=5\)D.\((x2)^2=3\)3.方程\(x^2+6x5=0\)的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定4.已知方程\(2x^2+3x4=0\)的两根为\(x_1\)，\(x_2\)，则\(x_1+x_2=\)______，\(x_1x_2=\)______。5.解方程：\(x^24x5=0\)\(3x^26x2=0\)\(x^2+4x+4=0\)（四）课堂小结1.请学生回顾一元二次方程的概念、解法、根的判别式和根与系数的关系。2.强调解一元二次方程时要根据方程的特点选择合适的方法，注意计算的准确性。3.鼓励学生在解决实际问题中运用一元二次方程的知识。（五）课后作业1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）A.\(x^2+2y=1\)B.\(x^32x=3\)C.\(x^2+\frac{1}{x^2}=5\)D.\(x^2=0\)2.用公式法解方程\(x^22x1=0\)，\(x=\)______。3.若关于\(x\)的一元二次方程\(kx^22x1=0\)有两个不相等的实数根，则\(k\)的取值范围是______。4.已知方程\(3x^25x+1=0\)的两根为\(x_1\)，\(x_2\)，求\((x_1x_2)^2\)的值。5.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬