两角差的余弦公式教学设计及点评

两角差的余弦公式教学设计及点评一、教学目标1.知识与技能目标理解两角差的余弦公式的推导过程，掌握两角差的余弦公式。能运用两角差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值。2.过程与方法目标通过利用单位圆上的三角函数线、向量等多种方法推导两角差的余弦公式，培养学生的逻辑推理能力和数学探究能力。在公式的应用过程中，提高学生运用公式进行运算、变形的能力。3.情感态度与价值观目标通过探索两角差的余弦公式的推导过程，让学生体会数学的严谨性和探索精神，激发学生学习数学的兴趣。在解决问题的过程中，培养学生的创新意识和合作交流的精神。二、教学重难点1.教学重点两角差的余弦公式的推导和应用。2.教学难点两角差的余弦公式的推导过程，特别是利用向量法推导时向量夹角的确定。三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合四、教学过程（一）复习导入1.引导学生回顾三角函数的定义，提问：在单位圆中，角\(\alpha\)的正弦、余弦值是如何表示的？学生回答：设角\(\alpha\)终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)，则\(\sin\alpha=y\)，\(\cos\alpha=x\)。2.复习两角和的正弦公式\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)，让学生思考两角差的余弦公式\(\cos(\alpha\beta)\)应该如何表示。引发学生思考，引出本节课的主题两角差的余弦公式。（二）公式推导1.利用单位圆上的三角函数线推导设角\(\alpha\)，\(\beta\)的终边与单位圆分别交于点\(A\)，\(B\)，则\(A(\cos\alpha,\sin\alpha)\)，\(B(\cos\beta,\sin\beta)\)。作\(\angleAOB=\alpha\beta\)，过点\(A\)作\(AC\perpx\)轴于点\(C\)，过点\(B\)作\(BD\perpx\)轴于点\(D\)，过点\(B\)作\(BE\perpAC\)于点\(E\)。引导学生观察图形，分析可得：\(OC=\cos\alpha\)，\(CA=\sin\alpha\)，\(OD=\cos\beta\)，\(DB=\sin\beta\)。在\(\triangleAEB\)中，\(\angleAEB=90^{\circ}\)，\(\angleBAE=\alpha\beta\)。根据三角函数的定义，\(\cos(\alpha\beta)=OA\cdotOB\cdot\cos\angleAOB\)。又因为\(OA=OB=1\)，所以\(\cos(\alpha\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)。教师详细讲解推导过程，让学生理解每一步的依据。2.利用向量法推导设单位圆上两点\(P_1(\cos\alpha,\sin\alpha)\)，\(P_2(\cos\beta,\sin\beta)\)，则\(\overrightarrow{OP_1}=(\cos\alpha,\sin\alpha)\)，\(\overrightarrow{OP_2}=(\cos\beta,\sin\beta)\)。因为\(\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}=\vert\overrightarrow{OP_1}\vert\vert\overrightarrow{OP_2}\vert\cos(\alpha\beta)\)，且\(\vert\overrightarrow{OP_1}\vert=\vert\overrightarrow{OP_2}\vert=1\)，所以\(\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}=\cos(\alpha\beta)\)。又\(\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)，所以\(\cos(\alpha\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)。教师引导学生分析向量法推导过程中向量夹角与\(\alpha\beta\)的关系，帮助学生理解。（三）公式讲解1.两角差的余弦公式\(\cos(\alpha\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)，强调公式中\(\alpha\)，\(\beta\)的任意性。2.分析公式的结构特点，让学生记忆公式。（四）例题讲解例1：已知\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(\sin\beta=\frac{5}{13}\)，\(\beta\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos(\alpha\beta)\)的值。分析：先根据已知条件求出\(\sin\alpha\)和\(\cos\beta\)的值，再代入两角差的余弦公式求解。解：因为\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，所以\(\sin\alpha=\sqrt{1\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1(\frac{4}{5})^{2}}=\frac{3}{5}\)。又因为\(\sin\beta=\frac{5}{13}\)，\(\beta\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，所以\(\cos\beta=\sqrt{1\sin^{2}\beta}=\sqrt{1(\frac{5}{13})^{2}}=\frac{12}{13}\)。则\(\cos(\alpha\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{4}{5}\times(\frac{12}{13})+\frac{3}{5}\times\frac{5}{13}=\frac{33}{65}\)。教师详细讲解解题过程，强调解题的步骤和注意事项。例2：化简\(\cos(15^{\circ}\alpha)\cos(15^{\circ}+\alpha)\sin(15^{\circ}\alpha)\sin(15^{\circ}+\alpha)\)。分析：观察式子的结构，发现符合两角差的余弦公式的形式，直接利用公式化简。解：原式\(=\cos[(15^{\circ}\alpha)+(15^{\circ}+\alpha)]=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。教师引导学生观察式子特点，让学生学会运用公式进行化简。（五）课堂练习1.已知\(\cos\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\in(\pi,\frac{3\pi}{2})\)，\(\sin\beta=\frac{1}{2}\)，\(\beta\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos(\alpha\beta)\)的值。2.化简\(\cos(\frac{\pi}{3}+\alpha)\cos\alpha+\sin(\frac{\pi}{3}+\alpha)\sin\alpha\)。学生在练习本上完成，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。（六）课堂小结1.引导学生回顾两角差的余弦公式的推导过程，包括利用单位圆上的三角函数线和向量法推导。2.强调两角差的余弦公式的内容及其结构特点。3.总结运用公式进行化简、求值的方法和步骤。（七）布置作业1.课本习题3.1A组第1，3，5题。2.思考：如何利用两角差的余弦公式推导两角和的正弦公式、余弦公式以及两角差的正弦公式？五、教学点评1.优点目标明确：教学目标清晰地阐述了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度的要求，符合课程标准和学生的实际情况，有助于学生全面发展。导入自然：通过复习三角函数的定义和两角和的正弦公式，自然地引出本节课的主题两角差的余弦公式，为新知识的学习做好了铺垫。推导过程详细：在公式推导环节，分别利用单位圆上的三角函数线和向量法进行推导，讲解详细，逻辑严谨。通过多种方法推导，让学生从不同角度理解公式的来源，有助于培养学生的思维能力和探究精神。例题讲解典型：例题的选择具有代表性，涵盖了利用公式求值和化简的常见类型。在讲解过程中，注重引导学生分析题目条件，找出解题思路，强调解题的步骤和规范，有助于学生掌握公式的应用。练习及时：课堂练习的设计紧扣本节课的教学内容，能够及时巩固学生所学的知识和技能。教师巡视指导，及时反馈学生的学习情况，有助于发现学生存在的问题并及时解决。小结全面：课堂小结环节对本节课的重点内容进行了全面回顾，包括公式的推导过程、公式的内容和应用方法，有助于学生梳理知识，加深记忆。作业布置合理：作业布置既有基础知识的巩固练习，又有拓展性的思考问题，能够满足不同层次学生的需求。通过思考问题，引导学生进一步探究三角函数公式之间的联系，培养学生的自主学习能力。2.不足之处及建议时间把控：在公式推导过程中，花费的时间较多，导致后面的例题讲解和课堂练习略显仓促。建议在今后的教学中，更加合理地安排时间，突出重点，确保每个教学环节都能得到充分的实施。学生主体地位体现不够：在教学过程中，虽然采用了多种教学方法，但学生的主体地位体现还不够充分。例如，在公式推导过程中，可以更多地引导学生自主思考、小组讨论，让学生