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文档简介

广东省六校联盟(深圳实验,广州二中,珠海一中,惠州一中,东莞中学2025年高三下学期综合练习(二)数学试题试卷请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,圆的半径为,,是圆上的定点,,是圆上的动点,点关于直线的对称点为,角的始边为射线,终边为射线,将表示为的函数,则在上的图像大致为()A. B. C. D.2.运行如图所示的程序框图,若输出的值为300,则判断框中可以填()A. B. C. D.3.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()A. B. C. D.4.函数(或)的图象大致是()A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图,则输出的的值是()A.8 B.32 C.64 D.1286.如图,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为()A. B. C. D.7.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一,其内容是:一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和,也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的,我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和,则拆成的和式中,加数全部为质数的概率为()A. B. C. D.8.定义在R上的函数满足,为的导函数,已知的图象如图所示,若两个正数满足,的取值范围是()A. B. C. D.9.设等差数列的前项和为,若,则()A.10 B.9 C.8 D.710.设集合A={y|y=2x﹣1,x∈R},B={x|﹣2≤x≤3,x∈Z},则A∩B=()A.(﹣1,3] B.[﹣1,3] C.{0,1,2,3} D.{﹣1,0,1,2,3}11.在中,点D是线段BC上任意一点,,,则()A. B.-2 C. D.212.函数的部分图像大致为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线在点(1,1)处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为,则实数=____。14.已知a,b均为正数,且,的最小值为________.15.已知为椭圆内一定点,经过引一条弦,使此弦被点平分,则此弦所在的直线方程为________________.16.在平面直角坐标系xOy中,A,B为x轴正半轴上的两个动点,P(异于原点O)为y轴上的一个定点.若以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1相外切,且∠APB的大小恒为定值,则线段OP的长为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某学校为了解全校学生的体重情况,从全校学生中随机抽取了100人的体重数据,得到如下频率分布直方图,以样本的频率作为总体的概率.(1)估计这100人体重数据的平均值和样本方差;(结果取整数,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)从全校学生中随机抽取3名学生,记为体重在的人数,求的分布列和数学期望;(3)由频率分布直方图可以认为,该校学生的体重近似服从正态分布.若,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.18.(12分)已知函数,其中e为自然对数的底数.(1)讨论函数的单调性;(2)用表示中较大者,记函数.若函数在上恰有2个零点,求实数a的取值范围.19.(12分)已知,均为给定的大于1的自然数,设集合,.(Ⅰ)当,时,用列举法表示集合;(Ⅱ)当时,,且集合满足下列条件:①对任意,;②.证明:(ⅰ)若,则(集合为集合在集合中的补集);(ⅱ)为一个定值(不必求出此定值);(Ⅲ)设,,,其中,,若,则.20.(12分)已知,且满足,证明:.21.(12分)已知函数,.(1)当x≥0时,f(x)≤h(x)恒成立,求a的取值范围;(2)当x<0时,研究函数F(x)=h(x)﹣g(x)的零点个数;(3)求证:(参考数据:ln1.1≈0.0953).22.(10分)设复数满足(为虚数单位),则的模为______.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域,即可排除错误选项,得到函数图象,即可求解.【详解】由题意,当时,P与A重合,则与B重合,所以,故排除C,D选项;当时,,由图象可知选B.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.2、B【解析】

由,则输出为300,即可得出判断框的答案【详解】由,则输出的值为300,,故判断框中应填?故选:.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.3、A【解析】

根据三视图可得几何体为直三棱柱,根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.【详解】由三视图可知几何体为直三棱柱,直观图如图所示:其中,底面为直角三角形,,,高为.∴该几何体的体积为故选:A.【点睛】本题考查三视图及棱柱的体积,属于基础题.4、A【解析】

确定函数的奇偶性,排除两个选项,再求时的函数值,再排除一个,得正确选项.【详解】分析知,函数(或)为偶函数,所以图象关于轴对称,排除B,C,当时,,排除D,故选:A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象,解题时可通过研究函数的性质,如奇偶性、单调性、对称性等,研究特殊的函数的值、函数值的正负,以及函数值的变化趋势,排除错误选项,得正确结论.5、C【解析】

根据给定的程序框图,逐次计算,结合判断条件,即可求解.【详解】由题意,执行上述程序框图,可得第1次循环,满足判断条件,;第2次循环,满足判断条件,;第3次循环,满足判断条件,;第4次循环,满足判断条件,;不满足判断条件,输出.故选:C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,结合判断条件求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.6、D【解析】

先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离,再加上侧面三角形的高,即可求解.【详解】设四个支点所在球的小圆的圆心为,球心为,由题意,球的体积为,即可得球的半径为1,又由边长为的正方形硬纸,可得圆的半径为,利用球的性质可得,又由到底面的距离即为侧面三角形的高,其中高为,所以球心到底面的距离为.故选:D.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征,以及球的性质的综合应用,着重考查了数形结合思想,以及推理与计算能力,属于基础题.7、A【解析】

列出所有可以表示成和为6的正整数式子,找到加数全部为质数的只有,利用古典概型求解即可.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知,所求概率为.故选:A.【点睛】本题主要考查了古典概型,基本事件,属于容易题.8、C【解析】

先从函数单调性判断的取值范围,再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围.【详解】由的图象知函数在区间单调递增,而,故由可知.故,又有,综上得的取值范围是.故选:C【点睛】本题考查了函数单调性和不等式的基础知识,属于中档题.9、B【解析】

根据题意,解得,,得到答案.【详解】,解得,,故.故选:.【点睛】本题考查了等差数列的求和,意在考查学生的计算能力.10、C【解析】

先求集合A,再用列举法表示出集合B,再根据交集的定义求解即可.【详解】解:∵集合A={y|y=2x﹣1,x∈R}={y|y>﹣1},B={x|﹣2≤x≤3,x∈Z}={﹣2,﹣1,0,1,2,3},∴A∩B={0,1,2,3},故选:C.【点睛】本题主要考查集合的交集运算,属于基础题.11、A【解析】

设,用表示出,求出的值即可得出答案.【详解】设由,,.故选:A【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算,需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义,属于基础题.12、A【解析】

根据函数解析式,可知的定义域为,通过定义法判断函数的奇偶性,得出,则为偶函数,可排除选项,观察选项的图象,可知代入,解得,排除选项,即可得出答案.【详解】解:因为,所以的定义域为,则,∴为偶函数,图象关于轴对称,排除选项,且当时,,排除选项,所以正确.故选:A.【点睛】本题考查由函数解析式识别函数图象,利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、或1【解析】

利用导数的几何意义,可得切线的斜率,以及切线方程,求得切线与轴和的交点,由三角形的面积公式可得所求值.【详解】的导数为,可得切线的斜率为3,切线方程为,可得,可得切线与轴的交点为,,切线与的交点为,可得,解得或。【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程,以及直线方程的运用,三角形的面积求法。14、【解析】

本题首先可以根据将化简为,然后根据基本不等式即可求出最小值.【详解】因为,所以,当且仅当,即、时取等号,故答案为:.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值,基本不等式公式为,在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况,考查化归与转化思想,是中档题.15、【解析】

设弦所在的直线与椭圆相交于、两点,利用点差法可求得直线的斜率,进而可求得直线的点斜式方程,化为一般式即可.【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点,由于点为弦的中点,则,得,由题意得,两式相减得,所以,直线的斜率为,所以,弦所在的直线方程为,即.故答案为:.【点睛】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程,一般利用点差法,也可以利用韦达定理设而不求法来解答,考查计算能力,属于中等题.16、【解析】分析:设O2(a,0),圆O2的半径为r(变量),OP=t(常数),利用差角的正切公式,结合以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1相外切.且∠APB的大小恒为定值,即可求出线段OP的长.详解:设O2(a,0),圆O2的半径为r(变量),OP=t(常数),则∵∠APB的大小恒为定值,

∴t=,∴|OP|=.故答案为点睛:本题考查圆与圆的位置关系,考查差角的正切公式,考查学生的计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)60;25(2)见解析,2.1(3)可以认为该校学生的体重是正常的.见解析【解析】

(1)根据频率分布直方图可求出平均值和样本方差;(2)由题意知服从二项分布,分别求出,,,,进而可求出分布列以及数学期望;(3)由第一问可知服从正态分布,继而可求出的值,从而可判断.【详解】解:(1)(2)由已知可得从全校学生中随机抽取1人,体重在的概率为0.7.随机拍取3人,相当于3次独立重复实验,随机交量服从二项分布,则,,,,所以的分布列为:01230.0270.1890.4410.343数学期望(3)由题意知服从正态分布,则,所以可以认为该校学生的体重是正常的.【点睛】本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计,考查了二项分布,考查了正态分布.注意,统计类问题,如果题目中没有特殊说明,则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.18、(1)函数的单调递增区间为和,单调递减区间为;(2).【解析】

(1)由题可得,结合的范围判断的正负,即可求解;(2)结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解【详解】(1),①当时,,∴函数在内单调递增;②当时,令,解得或,当或时,,则单调递增,当时,,则单调递减,∴函数的单调递增区间为和,单调递减区间为(2)(Ⅰ)当时,所以在上无零点;(Ⅱ)当时,,①若,即,则是的一个零点;②若,即,则不是的零点(Ⅲ)当时,,所以此时只需考虑函数在上零点的情况,因为,所以①当时,在上单调递增。又,所以(ⅰ)当时,在上无零点;(ⅱ)当时,,又,所以此时在上恰有一个零点;②当时,令,得,由,得;由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,因为,,所以此时在上恰有一个零点,综上,【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想19、(Ⅰ);(Ⅱ)(ⅰ)详见解析.(ⅱ)详见解析.(Ⅲ)详见解析.【解析】

(Ⅰ)当,时,,,,,,.即可得出.(Ⅱ)(i)当时,,2,3,,,又,,,,,,必然有,否则得出矛盾.(ii)由.可得.又,即可得出为定值.(iii)由设,,,,其中,,,2,,.,可得,通过求和即可证明结论.【详解】(Ⅰ)解:当,时,,,,,..(Ⅱ)证明:(i)当时,,2,3,,,又,,,,,,必然有,否则,而,与已知对任意,矛盾.因此有.(ii)..,为定值.(iii)由设,,,,其中,,,2,,.,..【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.20、证明见解析【解析】

将化简可得,由柯西不等式可得证明.【详解】解:因为,,所以,又,所以,当且仅当时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用,相对不难,注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.21、(1);(2)见解析;(3)见解析【解析】

(1)令H(x)=h(x)﹣f(x)=ex﹣1﹣aln(x+1)(x≥0),求得导数,讨论a>1和a≤1,判断导数的符号,由恒成立思想可得a的范围;(2)求得F(x)=h(x)﹣g(x)的导数和二阶导数,判断F'(x)的单调性,讨论a≤﹣1,a>﹣1,F(x)的单调性和零点个数;(3)由(1)知,当a=1时,ex>1+ln(x+1)对x>0恒成立,令;由(2)知,当a=﹣1时,对x<0恒成立,令,结合条件,即可得证.【详解】(Ⅰ)解:令H(x)=h(x)﹣f(x)=ex﹣1﹣aln(x+1)(x≥0),则,①若a≤1,则,H'(x)≥0,H(x)在[0,+∞)递增,H(x)≥H(0)=0,即f(x)≤h(x)在[0,+∞)恒成立,满足,所以a≤1;②若a>1,H′(x)=ex﹣在[0,+∞)递增,H'(x)≥H'(0)=1﹣a,且1﹣a<0,且x→+∞时,H'(x)→+∞,则∃x0∈(0,+∞),使H'(x0)=0进而H(x)在[0,x0)递减,在(x0,+∞)递增,所以当x∈(0,x0)时H(x)<H(0)

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