湖南省衡阳市蒸湘区呆鹰岭中学、蒸湘中学、雨母山中学联考2025届九年级下学期3月月考数学试卷(含详解)

湖南省衡阳市蒸湘区呆鹰岭中学、蒸湘中学、雨母山中学联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．下列一元二次方程有实数解的是（）A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝03．下列运算中错误的是（

）A． B． C． D．4．如图，在中，弦的长为6，圆心O到的距离，则的半径长为（

）

A．4 B． C．5 D．5．如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．6．如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（

）A． B． C． D．7．下列说法正确的是（

）A．“任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件 B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确 D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是8．关于二次函数，下列说法正确的是（

）A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是C．该函数有最大值，最大值是5 D．当时，y随x的增大而增大9．如图，在中，，，，则的长为（

）A．5 B． C． D．210．如图，在矩形中，是边的中点，于点，连接，分析下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（

）A．①②④ B．②③④ C．①③ D．①②③④二、填空题11．计算：．12．从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是．13．已知、是方程的两个实数根，则．14．如图，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子与甲的影子的末端恰好在同一点，已知甲、乙两同学相距1m，甲身高1.8m，乙身高1.5m，则甲的影子是m．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝．16．如图，点A，B，C在上，，则度．17．如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为．18．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．

三、解答题19．计算：．20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点为位似中心，在轴的右侧将各边放大为原来的两倍得到．(1)画出；(2)分别写出、、三点的对应点、、的坐标．21．在中，是斜边上的高．

(1)证明：；(2)若，求的长．22．某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：(1)①此次调查一共随机抽取了________名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；③扇形统计图中圆心角________度；(2)若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；(3)刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．23．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．

(1)求教学楼的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．24．某服装店销售一批衬衫，每件进价元，开始以每件元的价格销售，每星期能卖出件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价元，每星期能卖出件．已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低元，销售会增加件，若店主想要每星期获利元，应把售价定为多少元？25．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求证：CE2＝EH•EA；(3)若⊙O的半径为，sinA＝，求BH的长．26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；(3)如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．①求点和点的坐标；②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值．《湖南省衡阳市蒸湘区呆鹰岭中学、蒸湘中学、雨母山中学联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题》参考答案1．D解：∵在实数范围内有意义，∴，∴，故选：D．2．CA选项中，，故方程无实数根；B选项中，，故方程无实数根；C选项中，，故方程有两个不相等的实数根；D选项中，，故方程无实数根；故选C．3．A根据二次根式的运算法则分别判断即可：A、和不是同类根式，不可合并，故此选项运算错误，符合题意；B、，故此选项运算正确，不合题意；C、，故此选项运算故此选项运算正确，不合题意；D、，故此选项运算正确，不合题意．故选A．4．C解：∵，，∴，在中，，由勾股定理可得：，故选：C．5．B解：∵PA，PB是的切线，∴，，，则，故选B．6．D解：∵点分别为边的中点，∴，，故正确；∵，∴，故正确；∵，∴，∴，故错误；故选：．7．A解：“任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件，表述正确，故A符合题意；调查全国中学生的视力情况，适合采用抽样调查的方式，故B不符合题意；抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越不准确，故C不符合题意；十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率不是，与三种灯的闪烁时间相关，故D不符合题意；故选A8．D解：对于y=（x-1）2+5，∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；顶点坐标为（1，5），故B错误；该函数有最小值，最小值是5，故C错误；当时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D．9．B解：过点作，如图在中，，，∴，在中，，，∴，∴；故选B．10．D解：如图，过作交于，四边形是矩形，，，，于点，，，，故①正确；，，，，，，故②正确，，，四边形是平行四边形，，，，于点，，，，故③正确；，，，，又，故④正确；故选：D．11．4解：；故答案为：4．12．/0.4【分析】先确定无理数的个数，再除以总个数．【详解】解：，是无理数，（恰好是无理数）．故答案为：．13．4根据题意得x1+x2=−=−=4故答案为414．6解：设甲的影长是x米，∵BC⊥AC，ED⊥AC，∴△ADE∽△ACB，∴，∵CD=1m，BC=1.8m，DE=1.5m，∴，解得：x=6．所以甲的影长是6米．故答案是6．考点：相似三角形的应用．15．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sinA＝＝，∴cosB＝＝．故答案为：．16．31解：由圆周角定理可知：故答案为：31．17．解：这个圆锥的侧面展开图中的长为．故答案为：．18．解：如图所示：

当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程，即有相等的实数解，即解得，所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜﹣1，故答案为：．19．1解：．20．(1)见解析(2)，，（1）解：∵以原点为位似中心，在轴的右侧将放大为原来的两倍得到′，∴，，；如图，即为所作图形（2）解：由（1）得：，，．21．(1)见解析(2)（1）证明：∵是斜边上的高．∴，∴，∴又∵∴，（2）∵∴，又∴．22．(1)①200；②见解析；③54(2)1120(3)（1）解：（1）①；②组人数，补全的条形统计图如图所示：③；（2）解：；（3）解：画树状图如下：从甲、乙、丙、四位学生中随机抽取两人共有12种等可能性的结果，恰好抽中甲、乙两人的所有等可能性结果有2种，因此，（恰好抽中甲、乙两人）．23．(1)教学楼的高度为米(2)无人机刚好离开视线的时间为12秒（1）解：过点B作于点G，根据题意可得：，米，，∵，，，∴四边形为矩形，∴米，∵，，∴，∴，∴米，∵长为米，∴（米），答：教学楼的高度为米．（2）解：连接并延长，交于点H，∵米，米，∴米，∵米，，∴，∴，米，∴（米），∵无人机以米/秒的速度飞行，∴离开视线的时间为：（秒），答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．

4．应把售价定为185元或175元．解：设每次降价的百分率为，解得，，（舍去），即每次降价的百分率是；设店主将售价降价元，解得，，∴，，即应把售价定为元或元.25．（1）证明见解析；（2）见解析；（3）（1）如图，∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）连接AC，如图2所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH•EA；（3）连接BE，如图3所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为，sin∠BAE=，∴AB=5，BE=AB•sin∠BAE=5×=3，∴EA==4，∵，∴BE=C