《浅析构造法在中学数学中的应用》4000字（论文）

浅析构造法在中学数学中的应用摘要构造法是一种体现数学思维的技巧方法，需要使用者拥有一定的技巧性和创新性，在构造过程中需要使用数学中观察发现、比较类推和归纳推理的思想。它在中学数学学习中的使用频率很高，是一种非常重要的数学工具。使用构造法需要拥有较强的观察能力、综合应用能力和创造能力，需要根据题目的特点，进行总结整理，对题目进行深入的分析。在解决一些数学问题时，它使用新的观点来观察、分析和理解。本文通过举例，对构造法在中学数学中的应用做出了一些归纳、整理和总结，分别具体地讨论了构造法在函数问题、几何问题、构造方程等方面的应用。从而将构造法的抽象性在具体的例子中直观地体现出来，可以更好的对学过的知识进行深入的理解归纳，也对未掌握知识的探索发现，完成构造法在中学数学中的有效体现。关键词：构造法；几何图形；方程；函数目录引言 11构造法在函数中的应用 11.1用构造三角函数法求解问题 11.2构造函数解决代数问题 32构造法在平面图形中的应用 42.1构造平面图形解决最值问题 42.2几何问题的证明 63构造法在方程中的应用 83.1构造方程解决代数问题 83.2构造方程解决数列问题 93.3构造方程解决几何问题 10结束语 12参考文献 13引言在中学数学的研究中，许多问题用单一的常规方法是不能很好地解决的。此时，必须使用其他方法来解决问题，构造方法便是是其中的一种方法。使用构造法体现了数学发现的创造性思维特征。使用构造法不是凭空想象，也不是随便捏造，它是基于我们所学的知识和题目所给的条件特征，通过仔细的观察和分析，思考它们之间的关联信息，进而寻找解决问题的方法。这种解决问题的方法不仅巩固了学生的基础知识，而且提高了学生的观察，分析，联想和假设的数学能力，激发了学生的创新思维。因此，在中学数学教育中，必须重视对学生的日常训练，使学生学会使用构造法去解决问题，并运用创造性思维建立数学模型来解决问题。使用构造法解决问题，不仅更加方便高效，学生们还可以从中获得学习的乐趣，体验成功的感觉，从而提升了学生对数学的兴趣和热情，提高了学生的数学涵养和能力。1构造法在函数中的应用用构造三角函数法求解问题三角函数是在高中数学学习内容中非常重要的一部分。研究三角函数主要方式与代数和几何有关，它是学习其他部分知识的重要工具，也是考察基础的重要内容。使用三角函数的解题方法灵活多样，学生掌握起来略显困难。例1若已知，则.解从问题可以看出，我们可以构造角使成已知角的两倍。因为，所以例2计算：[1].解我们可以看出，这道题目给出了三个角度不同的角，其中与互余，与相差，是比较特殊的角.这时我们可以尝试将所有的角转化成后，再用三角函数的诱导公式以及两角和与差的公式来解决，便可很轻松的得出答案.原式例3已知，且、、均为正.求证：证明这道题目给出角的限制条件，我们可以构造相应的三角形，最后利用正弦定理或余弦定理来解答.从题目中可以得出，、、三个角中至少有两个锐角，我们可以设、为锐角，则，，且.因此可构造一个以、、为内角的，不妨设，，.在中，由余弦定理得.由正弦定理得，，，为外接圆半径.代入上式得，即.所以.构造函数解决代数问题在求解一些数学问题时，根据问题的条件，建立新的关系函数，利用性质函数求解原问题。这个过程就是思维创造的过程，具有极大的灵活性和技巧性。在运用的过程中，我们要抓住关键信息，灵活运用。例4求证：如果，那么[2].证明构造函数易证在上是奇函数且单调递减因为所以,即.又因为是增函数所以即.例5求函数的最大值.解从题目中所给的条件看出且，由此我们能够联想到三角函数的关系式，构造函数来解决问题.令所以当即时，.2构造法在平面图形中的应用2.1构造平面图形解决最值问题在很多最值问题上，常规的代数方法往往不能解决问题。这时我们可以考虑用构造图形的方法，构造出一个平面图形并在坐标轴上表示出来，从而求出函数的最值。这种方法需要培养学生的创造性思维，并灵活地使用数形结合的方法，需要对解析几何公式和各种形状图形有深入的了解，并且需要对他们的数量，公式，形状等其他的性质有着准确深刻的理解。建立构造法的关键是敢于联想，善于构造图形去解决问题。例6求函数的最小值.图1解可将函数变形为：此变形式我们可以看成与和的距离之和，又因为是轴上的动点，所以我们可以在轴上找一点，使得与的距离和与的距离之和为最小值。点和分别在轴的上、下两侧，连接与轴的交点为，间的距离就是函数的最小值（如图1），为.例7求函数的最值.解从几何意义上分析，我们可以把原式看作是动点与定点连线的斜率,并且由此构造一个单位圆.从而把求函数最值问题转化为探究单位圆上动点与定点直线斜率的问题[3].图2如图2，当直线在切点处的斜率分别为最大值和最小值时，此时运动点在单位圆上运动时处于极限状态，我们不妨设切点分别为、,易知：所以即最小值为，最大值为.例8已知，，，求的最大值[4].解由于，，，又涉及到、、、、，而，.通过这个每个式子都含有的量，我们可构造出两个共边的直角三角形，最后结合三角形面积即可求解.图3如图3，以、为直角边及、为直角边分别构造和..而.亦及，故的最大值是.2.2几何问题的证明在解决几何问题时，借助相关的性质和巧妙的结构，寻找之间的联系并构造，可以让我们可以快速找到解决问题的方法，提高解题的效率。构造法不仅使证明问题更容易解决，而且还有助于提高学生的数学思维能力,从而提高解决证明几何问题的能力。例9如图4，在中，斜边的中垂线与直角的平分线相交于点.求证：.证明：我们从已知条件和所给的图形很容易联想到是的外接圆⊙的直径，只需作⊙，证明点在圆上就可以得证.作的外接圆⊙，则为直径，为圆心图4垂直平分通过弧的中点是的平分线也通过弧的中点、的交点必为弧的中心即点在⊙上.例10如图5，在中，，，的对边分别为，，，且，求证[5].图5证明：在这道题里，我们可以根据已知条件，通过构造相似三角形这个数学模型，来求证等式的形式特征，并利用相似三角形的性质，通过构造相似三角形来解决问题.延长至点，使，连接，,.,即.,,从而，故.3构造法在方程中的应用3.1构造方程解决代数问题作为中学数学最重要的研究内容之一，方程式经常涉及许多难题和要点，研究方程的方法也多种多样。尤其是当他们需要用构造法来解决问题，学生往往不知道该怎么去解决问题。如果用定向思维很难解决问题，或者问题越来越麻烦，可以考虑逆向思维，如构造一个方程，将问题转化为熟悉的问题，从而巧妙而简单地解决问题。例11设为实数，且，求的最值.解设①而②由①、②可解得.所以可看成是方程的两个实数根，由，解得.而根据题意又有，所以.所以的最大值为9，最小值为1.例12求证：当取遍所有实数时，代数式的值中至多有三个正整数[6].证明令，整理得.当时，方程化成.即时，，此时代数式的值中只有一个正整数.当时，由于，所以关于的方程的判别式，即,所以.所以的正整数值为1,2,3，即代数式的值中有三个正整数.综上所述，代数式的值中至多有三个正整数.例13求证[7].证明设,,则，.所以.由此得到关于的方程：，即.因方程的跟的判别式，无实数根，只有，即.3.2构造方程解决数列问题数列的通项公式是研究数列性质和处理诸如“求和”之类的综合问题的重要基础。构造方法主要通过递推式的变形，例如拆解和拼凑，或者构造辅助级数、辅助方程等来解决问题。例14若数列满足：且，试求[8].解将原递推公式展开得①将①式中的换成，得，即②由①、②知是方程的两根.根据韦达定理有，所以.所以是以2为公差的等差数列，易求得首项为，故有，所以.例15已知，，求的通项公式.解可设，整理得.又设，代入由待定系数法即得.所以构成了以为首项，3为公比的等比数列从而，故.例16已知数列中，，，求数列通项[9].解设即将数列构造为整理即得.由待定系数法可知：，解得.所以，数列是以为首项，2为公比的等比数列，故.3.3构造方程解决几何问题我们在谈求解析几何问题时，普通的几何方法无法为我们提供思路，这时我们可以考虑构造辅助方程，利用方程组来解决问题，往往会取得解题的突破口，“无中生有”正是构造法的精神所在。例17已知，求证：[10].证明因为，，所以、是方程的两根.因为，可知点介于方程的两根之间，所以.例18已知，直线与直线的交点在直线上，则.解由已知可设两直线的交点为，且、为方程的两个根.根据韦达定理有，所以.例19过点引直线与椭圆相交于、两点，若恰好是线段的中点，求直线的方程.解设，则，因为点、在椭圆上，所以整理得，即直线的方程.结束语从上面的例子中不难看出，合理巧妙地运用构造法去解决几何、函数以及方程问题都往往有着意想不到的效果。通过简单的“构造”，很多问题便可以快速高效地解决。使用构造法解题侧重于“构造”，我们往往通过仔细地观察和分析，找到问题和条件它们之间的联系，从而获得了解决问题方案。因此，在解题没有思路是，如果能够启发学生从多个角度和渠道进行广泛的联想，或许从中获得许多巧妙、新颖、独特且简单有效的解题方法，从而增强了他们对知识的理解和运用。引导学生恰当地使用构造法去解决问题，往往可以培养他们分析问题的能力，提高他们的思维灵活性，在“构造”的过程中去发现并欣赏数学的美，体验解决数学问题的乐趣。参考文献[1]臧华.“构造法”在三角函数求值中的应用[J].《新高考：高一数学》,2017:34-35.[2]高等数学习题全解全析[M].上海:高等教育出版社,2007.[3]线性代数与空间解析几何学习指导[M].北京:中国人民大学出版社,2009.[4]刘聪胜,吴健.妙用构造法求最值[J].数理化解题研究:初中版,2015:13-14.[5]潘丽丽.构造法在平面几何问题解决中的应用[J].数学学习与研究,2013:34-36.[6]耿瑞照.构造方程法在解题中的妙