2025年中考数学三轮复习之代数式

第24页（共24页）2025年中考数学三轮复习之代数式一．选择题（共10小题）1．（2025•南岗区模拟）如图，用★摆出下列一组图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要★（）个．A．13 B．14 C．15 D．162．（2025•潮阳区一模）如图所示，将形状和大小完全相同的“•”按一定规律摆成下列图形．第1幅图中“•”的个数为3，第2幅图中“•”的个数为8，第3幅图中“•”的个数为15，…，以此类推，第7幅图中“•”的个数为（）A．35 B．48 C．56 D．633．（2025•重庆模拟）下列图形都是由同样大小的圆圈按一定规律组成，如图①中共有3个圆圈，图②中共有8个圆圈，图③中共有15个国图，图④中共有24个圆圈，⋯，按此规律排列，则图⑩中圆圈的个数为多少（）A．120 B．99 C．143 D．1214．（2025•徐州模拟）有依次排列的3个数：6，2，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：6，﹣4，2，6，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：6，﹣10，﹣4，6，2，4，6，2，8，继续依次操作下去，问：从数串6，2，8开始操作第2023次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（）A．4056 B．4058 C．4060 D．40625．（2025•重庆模拟）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律连线组成的，其中第①个图形一共有4个实心圆点，第②个图形一共有7个实心圆点，第③个图形一共有10个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（）A．16 B．19 C．21 D．236．（2025•沈阳模拟）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22010的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22010①，将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+22010+22011②，②﹣①得得2S﹣S＝22011﹣1，即S=请你仿照此法求1+3+32+33+34+…+32024的值为（）A．32025-12 B．32024-12 C．7．（2025•重庆模拟）由n（n≥2）个正整数组成的一列数，记为x1，x2，x3，⋯xn，任意改变它们的顺序后记作y1，y2，y3⋯yn，若M＝（x1+y1）（x2+y2）（x3+y3）⋯（xn+yn），下列说法中正确的个数是（）①若x1＝2，x2＝4，x3＝6⋯xn＝2n，则M一定为偶数；②当n＝3时，若x1，x2，x3为三个连续整数，则M一定为偶数；③若M为偶数，则n一定为奇数；④若M为奇数，则n一定为偶数；A．4 B．3 C．2 D．18．（2025•广东校级模拟）如图是一个俄罗斯方块游戏，将正整数1至2024按一定规律排列如图表．通过按键操作平移或90°旋转图表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．20249．（2025•濂溪区校级模拟）如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第1个图案由2个小正方形组成，第2个图案由4个小正方形组成……依此规律，第25个图案由m个小正方形组成，则m的值为（）A．25 B．48 C．50 D．5210．（2025•丛台区校级一模）已知式子x﹣3y的值是3，则式子1﹣3x+9y的值是（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8二．填空题（共5小题）11．（2025•秦都区校级模拟）某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是米．12．（2025•赛罕区校级模拟）若x+y＝3，xy＝2，则x﹣y+xy2的值是．13．（2025•沈丘县校级一模）请写出abc的一个同类项：．14．（2025•望城区一模）在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的12，得到52和72两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的13第4次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的14；经过4次操作后所有数的和是15．（2025•汇川区一模）数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具．比如在学习化学式时，甲烷化学式为CH4，乙烷化学式为C2H6，丙烷化学式为C3H8，按此规律，当碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目是．三．解答题（共5小题）16．（2025•蠡县一模）自从有了用字母表示数，我们就可以表达、研究具有更普遍意义的数量关系，有助于我们发现一些有趣的结论，并能解释其中的道理．根据下列步骤来完成一个有趣的题吧!第一步：从2到9中选一个喜欢的自然数；第二步：用这个数乘3，再减去1；第三步：将第二步的结果乘﹣4，再加上7；第四步：将第三步的结果加上你选择的数．（1）若选的自然数为3，求按以上步骤操作所得的数；（2）小明发现按以上步骤操作后所得的数始终能被11整除，设选择的自然数为x，请论证小明的发现正确．17．（2025•全椒县一模）观察下列各式的规律．第1个等式：52第2个等式：7第3个等式：94…（1）根据上述规律，直接写出第4个等式：．（2）猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立．18．（2025•金安区校级一模）将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．（1）如果剪n次共能得到个等边三角形，（2）若原等边三角形的边长为1，设an表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如a1=1①试用含n的式子表示an＝；②计算a1+a2+a3+．．．+an＝；（3）运用（2）的结论，计算1319．（2025•阜平县校级一模）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连结AF、CF、AC．（1）用含a，b的代数式表示△AFC的面积S1；（2）△AEF的面积为S2，△FGC的面积为S3，当CG＝6，AE＝2时，求2S1﹣（S3﹣S2）的值．20．（2025•石家庄一模）聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序A和B，如图，在程序A中△处输入一个正整数，则程序自动在□处填补出一个比△处大1的数字并显示计算结果，同时程序B会复制程序A中相应位置的数值完成程序B的计算并显示计算结果．例：△处输入1，则程序A完成运算11×2=12，程序探究：若△处输入数字2，则程序A的结果为，程序B的结果为；若△处输入数字5，则程序A的结果为，程序B的结果为；若△处输入数字100，设程序A的结果为a，则a1100应用：请利用“探究”中发现的结论证明1n

2025年中考数学三轮复习之代数式参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DDADBABBCA一．选择题（共10小题）1．（2025•南岗区模拟）如图，用★摆出下列一组图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要★（）个．A．13 B．14 C．15 D．16【考点】规律型：图形的变化类．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】D【分析】根据所给图形，依次求出图形中★的个数，发现规律即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，第1个图形中★的个数为：4＝1×3+1；第2个图形中★的个数为：7＝2×3+1；第3个图形中★的个数为：10＝3×3+1；…，所以第n个图形中★的个数为（3n+1）个．当n＝5时，3n+1＝3×5+1＝16（个），即第5个图形中★的个数为16个．故选：D．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现★的个数依次增加3是解题的关键．2．（2025•潮阳区一模）如图所示，将形状和大小完全相同的“•”按一定规律摆成下列图形．第1幅图中“•”的个数为3，第2幅图中“•”的个数为8，第3幅图中“•”的个数为15，…，以此类推，第7幅图中“•”的个数为（）A．35 B．48 C．56 D．63【考点】规律型：图形的变化类．【专题】几何图形；运算能力．【答案】D【分析】根据前几幅图中“●”的个数，可以发现它们的变化规律．【解答】解：．第1幅图中“•”的个数为3，第2幅图中“•”的个数为8，第3幅图中“•”的个数为15，…，以此类推，由题意可得，第1幅图形中“●”的个数为3＝22﹣1，第2幅图形中“●”的个数为8＝32﹣1，第3幅图形中“●”的个数为15＝42﹣1，由此可得第n幅图中，“●”的个数为（n+1）2﹣1则第7幅图形中“●”的个数为82﹣1＝63，故选：D．【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中“●”的个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．3．（2025•重庆模拟）下列图形都是由同样大小的圆圈按一定规律组成，如图①中共有3个圆圈，图②中共有8个圆圈，图③中共有15个国图，图④中共有24个圆圈，⋯，按此规律排列，则图⑩中圆圈的个数为多少（）A．120 B．99 C．143 D．121【考点】规律型：图形的变化类．【专题】几何图形；运算能力．【答案】A【分析】根据已有图形中规律，进行找规律求解即可．【解答】解：如图①中共有3个圆圈，图②中共有8个圆圈，图③中共有15个国图，图④中共有24个圆圈，图①中共有圆圈3＝1+1×2（个）；图②中共有圆圈8＝2+2×3（个）；图③中共有圆圈15＝3+3×4（个）；图④中共有圆圈24＝4+4×5（个）；⋯；图⑩中共有圆圈10+10×11＝120（个）．故选：A．【点评】本题考查了图形规律探究，读懂题意，找出规律是解题的关键．4．（2025•徐州模拟）有依次排列的3个数：6，2，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：6，﹣4，2，6，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：6，﹣10，﹣4，6，2，4，6，2，8，继续依次操作下去，问：从数串6，2，8开始操作第2023次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（）A．4056 B．4058 C．4060 D．4062【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型；实数；数据分析观念；运算能力．【答案】D【分析】首先根据题意，分别求出前三次操作得到的数分别是多少，再求出它们的和各是多少；然后总结出第n次操作：求和结果是16+2n，再把n＝2023代入，求出算式的值是多少即可．【解答】解：第一次操作：6，﹣4，2，6，8，求和结果：18第二次操作：6，﹣10，﹣4，6，2，4，6，2，8，求和结果：20第三次操作：6，﹣16，﹣10，6，﹣4，10，6，﹣4，2，2，4，2，6，﹣4，2，6，8，求和结果：22……第n次操作：求和结果：16+2n∴第2023次结果为：16+2×2023＝4062．故选：D．【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类，解答的关键是理解清楚题意，求得存在的规律．5．（2025•重庆模拟）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律连线组成的，其中第①个图形一共有4个实心圆点，第②个图形一共有7个实心圆点，第③个图形一共有10个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（）A．16 B．19 C．21 D．23【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：第n个图形中实心圆点的个数为2n+n+1，据此求解可得．【解答】解：∵第①个图形中实心圆点的个数4＝2×1+2，第②个图形中实心圆点的个数7＝2×2+3，第③个图形中实心圆点的个数10＝2×3+4，……，∴第⑥个图形中实心圆点的个数为2×6+7＝19，故选：B．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中实心圆点的个数为2n+n+1的规律．6．（2025•沈阳模拟）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22010的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22010①，将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+22010+22011②，②﹣①得得2S﹣S＝22011﹣1，即S=请你仿照此法求1+3+32+33+34+…+32024的值为（）A．32025-12 B．32024-12 C．【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．【专题】规律型；运算能力．【答案】A【分析】设原式＝S，则得出3S﹣S，即可求出S的值．【解答】解：仿照范例，令S＝1+3+32+33+34+…+32024①，等式两侧同乘3得：3S＝3+32+33+34+…+32024+32025②，将②式﹣①式得：3S﹣S＝（3+32+33+34+…+32024+32025）﹣（1+3+32+33+34+…+32024），整理得：2S＝32025﹣1，∴S=12（32025﹣故选：A．【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据原式得出正确的倍数关系是解题的关键．7．（2025•重庆模拟）由n（n≥2）个正整数组成的一列数，记为x1，x2，x3，⋯xn，任意改变它们的顺序后记作y1，y2，y3⋯yn，若M＝（x1+y1）（x2+y2）（x3+y3）⋯（xn+yn），下列说法中正确的个数是（）①若x1＝2，x2＝4，x3＝6⋯xn＝2n，则M一定为偶数；②当n＝3时，若x1，x2，x3为三个连续整数，则M一定为偶数；③若M为偶数，则n一定为奇数；④若M为奇数，则n一定为偶数；A．4 B．3 C．2 D．1【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】根据偶数+偶数＝偶数，偶数+奇数＝奇数，奇数+奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，分别对每一结论进行推断即可．【解答】解：①∵x1＝2，x2＝4，x3＝6⋯xn＝2n，∴y1，y2，y3⋯yn也分别是偶数，∴x1+y1、x2+y2、x3+y3、⋯、xn+yn的结果分别是偶数，∴M是偶数，故①符合题意；∵x1，x2，x3为三个连续整数，∴三个数中必有两个偶数一个奇数或两个奇数一个偶数，任意改变它们的顺序后y1，y2，y3中必有两个偶数一个奇数或两个奇数一个偶数，∴x1+y1、x2+y2、x3+y3中一定有一个偶数，∴M一定为偶数；故②符合题意；∵M为偶数，∴x1+y1、x2+y2、x3+y3、…，xn+yn中一定有一个偶数，若x1，x2，x3，⋯xn均为偶数时，n无论奇数还是偶数，M都是偶数，故③不符合题意；∵M为奇数，∴x1+y1、x2+y2、x3+y3、…，xn+yn中一定都是奇数，∴x1，x2，x3，⋯xn中奇数与偶数的个数相等，∴n是偶数，故④符合题意；故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，理解题意，根据奇数与偶数的性质进行推断是解题的关键．8．（2025•广东校级模拟）如图是一个俄罗斯方块游戏，将正整数1至2024按一定规律排列如图表．通过按键操作平移或90°旋转图表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【考点】列代数式；规律型：数字的变化类．【专题】整式；推理能力．【答案】B【分析】设方框中中间的数字为x，则另外两个数分别为（x﹣1），（x+1）或（x﹣8），（x+8），将三个数相加，可得出三个数之和为3x，进而可得出三个数之和为3的倍数，再结合2022÷3＝674，即可得出结论．【解答】解：设方框中中间的数字为x，则另外两个数分别为（x﹣1），（x+1）或（x﹣8），（x+8），∴三个数之和为x﹣1+x+x+1＝3x或x﹣8+x+x+8＝3x，∴三个数之和为3的倍数．又∵2022÷3＝674，∴方框中三个数的和可能是2022．故选：B．【点评】本题考查了列代数式以及规律型：数字的变化类，根据各数之间的关系，找出三个数之和为3的倍数是解题的关键．9．（2025•濂溪区校级模拟）如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第1个图案由2个小正方形组成，第2个图案由4个小正方形组成……依此规律，第25个图案由m个小正方形组成，则m的值为（）A．25 B．48 C．50 D．52【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型；运算能力．【答案】C【分析】根据前面几个图形可得到第n个图形中小正方形的数量为2n，即可求解．【解答】解：第1个图案由2个小正方形组成，第2个图案由4个小正方形组成，第3个图案由6个小正方形组成，第4个图案由8个小正方形组成，⋯⋯，第n个图形由2n小正方形组成，∴第25个图案由m＝25×2＝50个小正方形组成，故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据规律归纳出第n个图形中小正方形的数量解题的关键．10．（2025•丛台区校级一模）已知式子x﹣3y的值是3，则式子1﹣3x+9y的值是（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【考点】代数式求值．【专题】计算题；整体思想；整式；运算能力．【答案】A【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．【解答】解：∵1﹣3x+9y＝﹣3x+9y+1，∴当x﹣3y＝3时，原式＝﹣3x+9y+1＝﹣3（x﹣3y）+1＝﹣3×3+1＝﹣8．故选：A．【点评】本题考查代数式求值，把代数式中的字母用具体的数代替，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．二．填空题（共5小题）11．（2025•秦都区校级模拟）某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是60米．【考点】代数式求值；有理数的混合运算．【专题】实数；整式；运算能力．【答案】60．【分析】根据流程图得到路程是正多边形，根据外角得到边数，再求解即可得到答案．【解答】解：由题意知飞行轨迹是正多边形，多边形外角为30°，∴正多边形的边数为360°30°∴勇勇的无人机飞行的总路程是12×5＝60（米），故答案为：60．【点评】本题考查正多边形的性质与流程图，解题的关键是掌握正多边形的性质．12．（2025•赛罕区校级模拟）若x+y＝3，xy＝2，则x﹣y+xy2的值是3．【考点】代数式求值．【专题】整体思想；整式；运算能力．【答案】3．【分析】利用整体代入的方法先将xy代入，合并同类项后再代入运算即可．【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2，∴x﹣y+xy2＝x﹣y+（xy）y＝x﹣y+2y＝x+y＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了求代数式的值，整体代入的解题思想，熟练运用整体代入的方法是解题的关键．13．（2025•沈丘县校级一模）请写出abc的一个同类项：4abc（答案不唯一）．【考点】同类项．【专题】整式；运算能力．【答案】4abc（答案不唯一）．【分析】根据同类项的定义解答即可．【解答】解：答案不唯一，如4abc．故答案为：4abc（答案不唯一）．【点评】本题考查了同类项的定义，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键．14．（2025•望城区一模）在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的12，得到52和72两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的13第4次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的14；经过4次操作后所有数的和是【考点】规律型：数字的变化类．【专题】计算题；推理能力．【答案】32．【分析】按照题干操作，列举出第四次操作的结果，再计算即可得解．【解答】解：设每一次操作之后所有数的和为S，第一次操作：1，4，3，S1＝4+4＝8，第二次操作：1，52，4，72，S2＝S1+52+7第三次操作：1，76，52，136，4，156，72S3＝S2+76+13此时我们可以发现每次增加的数比前一次多2，所以S4＝S3+10＝32，当然我们也可以继续探究一次得出结果，第四次操作：1，1324，76，1112，52，76，136，3724，4，138，156，32，S4＝S3+1324+11所以经过4次操作后所有数的和是32；故答案为：32．【点评】本题主要考查了数字规律探究，列举法操作对比数据是解题关键，15．（2025•汇川区一模）数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具．比如在学习化学式时，甲烷化学式为CH4，乙烷化学式为C2H6，丙烷化学式为C3H8，按此规律，当碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目是2n+2．【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．【专题】跨学科；规律型；推理能力．【答案】2n+2．【分析】根据给出的三个化学式的例子可知，C原子每增加1个，H原子增加2个，由此找到规律．【解答】解：因为甲烷化学式为CH4，乙烷化学式为C2H6，丙烷化学式为C3H8，所以C原子每增加1个，H原子增加2个，所以当碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目是2（n﹣1）+4＝2n+2．故答案为：2n+2．【点评】本题考查了以化学学科为背景的列代数式相关的知识，根据给出的例子，找到规律是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2025•蠡县一模）自从有了用字母表示数，我们就可以表达、研究具有更普遍意义的数量关系，有助于我们发现一些有趣的结论，并能解释其中的道理．根据下列步骤来完成一个有趣的题吧!第一步：从2到9中选一个喜欢的自然数；第二步：用这个数乘3，再减去1；第三步：将第二步的结果乘﹣4，再加上7；第四步：将第三步的结果加上你选择的数．（1）若选的自然数为3，求按以上步骤操作所得的数；（2）小明发现按以上步骤操作后所得的数始终能被11整除，设选择的自然数为x，请论证小明的发现正确．【考点】列代数式．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）﹣22；（2）详见解析．【分析】（1）根据题意列出式子进行计算即可；（2）根据题意列出代数式，得到结果是11的倍数．即可得到答案．【解答】解：（1）根据题意可得（3×3﹣1）×（﹣4）+7+3＝8×（﹣4）+10＝﹣32+10＝﹣22；（2）证明：根据题意可得：﹣4（3x﹣1）+7+x＝﹣12x+4+7+x＝11﹣11x＝11（1﹣x），∵x是2到9的自然数，∴1﹣x是整数，∴11（1﹣x）能被11整除．【点评】本题考查了列代数式，掌握列代数式的方法是关键．17．（2025•全椒县一模）观察下列各式的规律．第1个等式：52第2个等式：7第3个等式：94…（1）根据上述规律，直接写出第4个等式：115+4+1=（2）猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立．【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．【专题】规律型；运算能力．【答案】（1）115（2）2n【分析】（1）模仿题意，直接写出第4个等式56（2）结合（1）的结论，易得2n【解答】解：（1）模仿题意，直接写出第4个等式为：115故答案为：115（2）由（1）的规律得第n个等式：2n证明如下：左边==2=n∴2n【点评】本题考查了数字类的规律以及分式的加减混合运算．发现规律及熟练掌握分式的运算法则是关键．18．（2025•金安区校级一模）将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．（1）如果剪n次共能得到（3n+1）个等边三角形，（2）若原等边三角形的边长为1，设an表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如a1=1①试用含n的式子表示an＝12n②计算a1+a2+a3+．．．+an＝1-12（3）运用（2）的结论，计算13【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．【专题】规律型；猜想归纳；推理能力．【答案】（1）（3n+1）；（2）①12②1-1（3）511768【分析】（1）每剪一次，等边三角形的个数增加3，据此可解决问题；（2）①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解决问题；②根据①中的结论即可解决问题；（3）运用（2）的结论，进行计算即可．【解答】解：（1）由题知，剪1次共得到的等边三角形个数为：4＝1×3+1；剪2次共得到的等边三角形个数为：7＝2×3+1；剪3次共得到的等边三角形个数为：10＝3×3+1；…，所以剪n次共得到的等边三角形个数为（3n+1）个．故答案为：（3n+1）．（2）①由题知，因为原等边三角形的边长为1，所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为：12第2次所剪出的小等边三角形的边长为：14第3次所剪出的小等边三角形的边长为：18…，所以第n次所剪出的小等边三角形的边长为：12即an故答案为：12②由题知，a1+a2+a3+．．．+an=1令S=12则2S=1+12②﹣①得，S=1-即a1+a2+a3+．．．+an=1-故答案为：1-（3）由题知，原式==1=2=511【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键．19．（2025•阜平县校级一模）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连结AF、CF、AC．（1）用含a，b的代数式表示△AFC的面积S1；（2）△AEF的面积为S2，△FGC的面积为S3，当CG＝6，AE＝2时，求2S1﹣（S3﹣S2）的值．【考点】列代数式．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）12（2）12．【分析】（1）利用S△AFC＝S1＝S△ABC+S梯形AFGB﹣S△GCF即可求解；（2）根据三角形面积公式分别表示出S2，S3，代入2S1﹣（S3﹣S2）中，化简后，由GC＝a+b＝6，AE＝b﹣a＝2，代入计算即可．【解答】解：（1）由条件可得S△AFC＝S1＝S△ABC+S梯形AFGB﹣S△GCF=1=1（2）S2=12b（a﹣b）=12ab-1∴2S1﹣（S3﹣S2）＝2×12a2﹣（12ab+12b2-＝（a+b）（a﹣b），∵CG＝6，AE＝2，∴a+b＝6，a﹣b＝2，∴2S1﹣（S3﹣S2）＝6×2＝12．【点评】本题主要考查列代数式，单项式乘多项式与几何图形的面积，化简求值．熟练掌握以上知识点是关键．20．（2025•石家庄一模）聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序A和B，如图，在程序A中△处输入一个正整数，则程序自动在□处填补出一个比△处大1的数字并显示计算结果，同时程序B会复制程序A中相应位置的数值完成程序B的计算并显示计算结果．例：△处输入1，则程序A完成运算11×2=12，程序探究：若△处输入数字2，则程序A的结果为16，程序B的结果为16；若△处输入数字5，则程序A的结果为130，程序B的结果为130；若△处输入数字100，设程序A的结果为a，则应用：请利用“探究”中发现的结论证明1n【考点】规律型：数字的变化类．【专题】实数；运算能力．【答案】16，16，130【分析】探究：按照程序的含义列出运算式并计算即可；应用：当若△处输入数字n，则程序A的结果为1n(n+1)，程序【解答】解：探究：若△处输入数字2，则程序A的结果为12×3程序B的结果为12若△处输入数字5，则程序A的结果为15×6程序B的结果为15若△处输入数字100，设程序A的结果为a，∴a=∵1100∴a=1应用：当若△处输入数字n，则程序A的结果为1n程序B的结果为1n∴1n同理：1(∴等式的左侧==1=n=2等式的右侧为=2左侧＝右侧，即：1n故答案为：16，16，130【点评】本题考查的是运算类规律探究，分式的混合运算，正确进行计算是解题关键．

考点卡片1．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分