2025年中考数学三轮复习之图形的旋转

第38页（共38页）2025年中考数学三轮复习之图形的旋转一．选择题（共10小题）1．（2025•石家庄一模）如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转一定角度，得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连接CC'，则∠ACC'的度数为（）A．95° B．100° C．110° D．120°2．（2025•浙江一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连接BD交AC于点E，则S△BEC：S△DEC的值为（）A．43 B．34 C．32 3．（2025•武汉模拟）“MATH”是“数学”的英文，其中是中心对称的字母是（）A． B． C． D．4．（2025•沈阳模拟）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．（2025•天心区校级一模）点M（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标为（）A．（﹣4，3） B．（﹣4，﹣3） C．（4，﹣3） D．（﹣3，4）6．（2025•鹿城区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，设AC＝x，BC＝y，且x+y是定值．点D是AC上一点，点E为AB中点，连接CE，将线段CE沿绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF交AC于点G，若点A关于直线DE的对称点恰为点F，则下列线段长为定值的是（）A．AD B．CD C．CG D．DE7．（2025•西青区校级一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别为D，E．当点D落在边BC上时，DE交AC于点F，若∠BAD＝40°，则∠AFE的大小为（）A．80° B．85° C．90° D．95°8．（2025•西青区校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC边BC的延长线上一点，连接AD，逆时针旋转线段AD得到AE，且∠DAE＝∠CAB，连接BE．则下列结论一定正确的是（）A．AB＝CD B．∠CAB＝∠EBD C．∠ACB＝∠AEB D．AD＝ED9．（2025•苏州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，sin∠ACB=45，BC＝5，点D是斜边AC上的动点，将线段BD绕点B旋转60°至BE，连接CE，DE，则A．15 B．25-15 C．2510．（2025•蠡县一模）一台起重机的工作简图如图所示，吊杆OA1与吊绳的夹角为80°，在同一平面内，将OA1逆时针旋转45°后到OA2的位置，则吊杆OA2与所连吊绳的夹角α为（）A．25° B．30° C．35° D．45°二．填空题（共5小题）11．（2025•长安区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝5，P是线段BC外一动点BP＝3，连接CP，将线段CP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，连接BD，CD，AD，则BD长度的最大值为．12．（2025•武汉模拟）如图，电流表是测量电流必不可少的工具，把指针旋转中心计为O点，针尖计为A点，指针顺时针旋转某一度数，针尖为点B，连接AB，若tan∠OAB=43，AB＝513．（2025•雁塔区校级二模）已知矩形ABCD，AB＝10，BC＝6，将矩形ABCD绕A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、C、D的对应点分别是点G，F，E．连接CF，点P是CF的中点，连接DP，在旋转过程中，线段DP的最大值．14．（2025•乌鲁木齐一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为．15．（2025•灞桥区校级四模）在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝12，点M在边AB上，且BM＝3，点P是AD上一动点，连接MP并将MP绕点M顺时针旋转60°得到MN，连接BN，则线段BN的最小值为．三．解答题（共5小题）16．（2025•南岗区模拟）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB，CD的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出△ABE（点E在小正方形的顶点上），∠BAE为钝角，且△ABE的面积为4；（2）在方格纸中画出四边形CEFD，使四边形CEFD是中心对称图形，并直接写出EF的长．17．（2025•合肥一模）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点A，B，C的坐标分别为（2，1），（6，2），（5，6）．（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）在所给的网格中确定一个格点P，使得BP⊥AC，并写出点P的坐标．18．（2025•蠡县一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=8，tanA=34，D是AC的中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°得线段DQ，连接（1）求AC的长度；（2）当PQ的长度最小时，求t的值；（3）嘉嘉：“在点P由点A运动到点B的过程中，点Q到直线AC的距离逐渐减小．”判断嘉嘉的说法是否正确．并说明理由；（4）连接BD，当点Q在△BCD的内部（包括边界）时，直接写出点P的运动路径长．19．（2025•茄子河区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的位置均在小方格格点上．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出点A1的坐标．（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2并写出点A2的坐标．（3）求在（2）旋转的过程中边AC扫过的面积．20．（2025•武汉模拟）如图，在等边△ABC中过顶点A作AD⊥BC，E为DA上任意一点，连BE，将AE绕点A逆时针旋转60°，点E对应点为点F．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）连接EC，请添加一个与线段相关的条件，使四边形AECF为菱形．（不需要说明理由）

2025年中考数学三轮复习之图形的旋转参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CADDABBBBC一．选择题（共10小题）1．（2025•石家庄一模）如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转一定角度，得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连接CC'，则∠ACC'的度数为（）A．95° B．100° C．110° D．120°【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】由旋转的性质，等边对等角，可得∠A′BC′＝∠BA′A，证明四边形ABC′C是平行四边形，进而可得结果．【解答】解：由旋转的性质可得，∠A′BC′＝∠ABC，A′B＝AB，A′C′＝AC，BC＝BC′，∴∠A＝∠BA′A，∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC，AC＝BC′，∴∠A′BC′＝∠BA′A，∴AC∥BC′，∴四边形ABC′C是平行四边形，∴∠ACC′+∠A＝180°，∴∠ACC′＝110°，故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，等边对等角，平行四边形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．（2025•浙江一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连接BD交AC于点E，则S△BEC：S△DEC的值为（）A．43 B．34 C．32 【考点】旋转的性质；勾股定理；等腰直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】连接AD，过点D作DG⊥AC于点G，由旋转的性质可得AC＝CD，∠ACD＝60°，得到△ACD为等边三角形，由等边三角形三线合一可知AG＝CG=12AC再设AB＝AC＝2a，则AC＝AD＝CD＝2a，AG＝CG＝a，易得DG=3a，△ABE∽△【解答】解：如图，连接AD，过点D作DG⊥AC于点G，∵将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，∴AC＝CD，∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∵DG⊥AC，∴AG＝CG=12设AB＝AC＝2a，则AC＝AD＝CD＝2a，AG＝CG＝a，在Rt△ADG中，DG=AD∵∠BAE＝∠DGE＝90°，∠AEB＝∠GED，∴△ABE∽△GDE，∴BEDE∴S△BEC：S△DEC的值为（BEDE）2＝（23）2故选：A．【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造相似三角形解决问题．3．（2025•武汉模拟）“MATH”是“数学”的英文，其中是中心对称的字母是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】D【分析】中心对称是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°后，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形就关于这个点成中心对称，这个点被称为对称中心，根据中心对称图形的定义，数形结合分析即可求解．【解答】解：A、没有中心对称点，不是中心对称图形，所以此选项错误，不符合题意；B、没有中心对称点，不是中心对称图形，所以此选项错误，不符合题意；C、没有中心对称点，不是中心对称图形，所以此选项错误，不符合题意；D、有中心对称点，是中心对称图形，所以此选项正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义，找出中心对称点是解题的关键．4．（2025•沈阳模拟）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】D【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．【解答】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．5．（2025•天心区校级一模）点M（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标为（）A．（﹣4，3） B．（﹣4，﹣3） C．（4，﹣3） D．（﹣3，4）【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】平面直角坐标系；符号意识．【答案】A【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：由M（4，﹣3）关于原点对称的点N的坐标是（﹣4，3），故选：A．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．6．（2025•鹿城区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，设AC＝x，BC＝y，且x+y是定值．点D是AC上一点，点E为AB中点，连接CE，将线段CE沿绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF交AC于点G，若点A关于直线DE的对称点恰为点F，则下列线段长为定值的是（）A．AD B．CD C．CG D．DE【考点】旋转的性质；直角三角形斜边上的中线；轴对称的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似．【答案】B【分析】连接AF，DF，DE，在AC上取点H，使得CH＝BC，连接BH，作EK⊥AC于K，先根据直角三角形斜边中线的性质以及旋转的性质确定△AEF为等腰三角形，根据三角形内角和定理以及外角的性质求出∠DAF＝45°，再根据对称的性质，求出∠EDC的度数，从而得到DE∥BH，再根据三角形中位线定理用x，y表示出AD，CD，DE，最后根据三角形中位线定理以及平行线分线段成比例用x，y表示出CG，根据x+y为定值即可判断哪条线段为定值．【解答】解：连接AF，DF，DE，在AC上取点H，使得CH＝BC，连接BH，作EK⊥AC于K，如图：∵∠ACB＝90°，E为AB中点，∴AE＝CE＝BE，由旋转的性质可知，EF＝CE，∠FEC＝90°，∴△AEF和△CEB为等腰三角形，∠AEF+∠BEC＝90°，设∠BAC＝α，则∠BEC＝2∠BAC＝2α，∴∠AEF＝90°﹣2α，∴∠EAF=12（180°﹣∠AEF）＝45°+∴∠DAF＝45°，由对称的性质可知，AD＝DF，∠ADE＝∠FDE，∴∠DFA＝∠DAF＝45°，∴∠ADF＝90°，∴DF⊥AC，又∵∠ADE+∠EDF+∠ADF＝360°，∴∠ADE＝∠FDE＝135°，∴∠EDC＝45°，∵CH＝BC，∠HCB＝90°，∴∠BHC＝45°，BH=2BC=2y，AH＝AC﹣BC＝x﹣∴DE∥BH，∵E是AB中点，∴DE是△AHB的中位线，∴DE=12BH=22y，AD∴DE和AD均不是定值，∴CD＝AC﹣AD=x∴CD为定值，∵EK⊥AC，∴DF∥EK∥BC，∴EK=12BC=12y，AK=∴DK＝AK﹣AD=12∵DGGK∴DG=y∴CG＝CD﹣DG=x∴CG不是定值；综上所述，CD为定值．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例、三角形中位线定理以及对称和旋转的性质，通过三角形内角和定理以及直角三角形斜边中线的性质求出∠DAF是本题解题的关键．7．（2025•西青区校级一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别为D，E．当点D落在边BC上时，DE交AC于点F，若∠BAD＝40°，则∠AFE的大小为（）A．80° B．85° C．90° D．95°【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】由∠BAC＝55°，∠BAD＝40°，求得∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝15°，由旋转得AD＝AB，则∠B＝∠ADB＝70°，所以∠ADE＝∠B＝70°，则∠AFE＝∠CAD+∠ADE＝85°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵∠BAC＝55°，∠BAD＝40°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°，由旋转得AD＝AB，∴∠B＝∠ADB=12（180°﹣∠BAD）=12×（180∴∠ADE＝∠B＝70°，∴∠AFE＝∠CAD+∠ADE＝15°+70°＝85°，故选：B．【点评】此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等等知识，求得∠B＝∠ADB＝70°是解题的关键．8．（2025•西青区校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC边BC的延长线上一点，连接AD，逆时针旋转线段AD得到AE，且∠DAE＝∠CAB，连接BE．则下列结论一定正确的是（）A．AB＝CD B．∠CAB＝∠EBD C．∠ACB＝∠AEB D．AD＝ED【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】三角形；平移、旋转与对称；几何直观．【答案】B【分析】由旋转得，AE＝AD，证明△ACD≌△ABE，可得∠ADC＝∠AEB，进而可得∠DAE＝∠EBD，则∠CAB＝∠EBD．【解答】解：由旋转得，AE＝AD，∵∠DAE＝∠CAB，即∠DAC+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，∴∠DAC＝∠BAE．在△ACD和△ABE中，AD=∴△ACD≌△ABE（SAS），∴∠ADC＝∠AEB．设AE与BD相交于点O，则∠AOD＝∠BOE．∵∠AOD+∠ADO+∠DAE＝180°，∠BOE+∠AEB+∠EBD＝180°，∴∠DAE＝∠EBD，∴∠CAB＝∠EBD．故选：B．【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．9．（2025•苏州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，sin∠ACB=45，BC＝5，点D是斜边AC上的动点，将线段BD绕点B旋转60°至BE，连接CE，DE，则A．15 B．25-15 C．25【考点】旋转的性质；解直角三角形；垂线段最短．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】B【分析】过点E作EF⊥BD于点F，过点D作DM⊥BC于点M，先确定出当点C，E，F三点共线时，CE最小，再根据等边三角形的判定与性质、勾股定理可得EF=32BD，根据线段垂直平分线的性质可得CD＝CB＝5，然后解直角三角形可得DM＝4，CM＝3，从而可得BM＝2，利用勾股定理可得BD=2【解答】解：如图，过点E作EF⊥BD于点F，过点D作DM⊥BC于点M，则当点C，E，F三点共线时，CE最小，由旋转的性质得：∠DBE＝60°，BD＝BE，∴△BDE是等边三角形，∴点F是BD的中点，BF=∴EF=又∵CF⊥BD，点F是BD的中点，BC＝5，∴CD＝CB＝5，∵sin∠∴DMCD∴DM=∴CM=∴BM＝BC﹣CM＝2，在Rt△BDM中，BD=∴EF=∵S△∴CF=∴CE=即CE的最小值为25故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确找出当CE的值最小时，点E的位置是解题关键．10．（2025•蠡县一模）一台起重机的工作简图如图所示，吊杆OA1与吊绳的夹角为80°，在同一平面内，将OA1逆时针旋转45°后到OA2的位置，则吊杆OA2与所连吊绳的夹角α为（）A．25° B．30° C．35° D．45°【考点】生活中的旋转现象．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】C【分析】首先根据题意可得：A1B∥A2C，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得∠A2CA1的度数，又由三角形外角的性质，求得答案．【解答】解：如图，设OA1与逆时针旋转45°后的吊绳交于点C，由题意可知：A1B∥A2C，∴∠A2CA1＝∠OA1B＝80°，∵∠A2CA1＝∠α+∠A2OC，∠A2OC＝45°，∴∠α＝∠A2CA1﹣∠A2OC＝80°﹣45°＝35°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2025•长安区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝5，P是线段BC外一动点BP＝3，连接CP，将线段CP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，连接BD，CD，AD，则BD长度的最大值为5+32．【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】5+32．【分析】当点D在BA的延长线上时，BD的长度取得最大值，可得△ABC和△CDP都是等腰直角三角形，可证△BCP∽△ACD，根据对应边成比例解题即可．【解答】解：∵BD≤AB+AD，∴当点D在BA的延长线上时（如图所示），BD的长度取得最大值．由题意可得△ABC和△CDP都是等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠DCP＝45°，∴∠ACB﹣∠ACP＝∠DCP﹣∠ACP，即∠BCP＝∠ACD．∵cos∠ACB=BCAC=22，∴BCAC∴△BCP∽△ACD，∴BP∵BP＝3，∴AD＝32，∴BD长度的最大值为5+32．故答案为：5+32．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．12．（2025•武汉模拟）如图，电流表是测量电流必不可少的工具，把指针旋转中心计为O点，针尖计为A点，指针顺时针旋转某一度数，针尖为点B，连接AB，若tan∠OAB=43，AB＝5【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】256【分析】根据题意可得，OA＝OB，如图所示，过点O作AC⊥AB于点C，得到AC=BC=【解答】解：把指针旋转中心计为O点，针尖计为A点，指针顺时针旋转某一度数，针尖为点B，连接AB，根据题意可得，OA＝OB，如图所示，过点O作AC⊥AB于点C，∴AC=∵tan∠∴OCAC∴OC=∴OA=∴指针的长度是256故答案为：256【点评】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数的计算，勾股定理的运用，掌握锐角三角函数值的计算方法是解题的关键．13．（2025•雁塔区校级二模）已知矩形ABCD，AB＝10，BC＝6，将矩形ABCD绕A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、C、D的对应点分别是点G，F，E．连接CF，点P是CF的中点，连接DP，在旋转过程中，线段DP的最大值234．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力．【答案】234【分析】连接AC，BD相交于O，连接OP，AF，根据矩形的性质和勾股定理可求出AC=BD=234，DO=34，AO＝CO，根据旋转的性质可求出AF=234，根据三角形中位线定理可求出OP=34，则点P在以O为圆心，OP=【解答】解：连接AC，BD相交于O，连接OP，AF，在矩形ABCD，AB＝10，BC＝6，∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°，∴AC=∴DO=由条件可知OP=∴AF=∴OP=∴点P在以O为圆心，OP=∴当点O在DP上时，DP最大，最大值为OP+故答案为：234【点评】本题考查了旋转，矩形的性质，勾股定理，圆的概念等知识．熟练掌握以上知识点是关键．14．（2025•乌鲁木齐一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为3．【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】连接BB′，如图，先根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=3，再根据旋转的性质得到CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BAB′，则可判断△CAA′为等边三角形，所以∠ACA′＝60°，然后判断△CBB′为等边三角形，从而得到BB【解答】解：连接BB′，如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，∴BC=3AC=∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BAB′，∵CA＝CA′，∠A＝60°，∴△CAA′为等边三角形，∴∠ACA′＝60°，∴∠BCB′＝60°，∴△CBB′为等边三角形，∴BB′＝CB=3即点B'与点B之间的距离为3．故答案为：3．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．15．（2025•灞桥区校级四模）在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝12，点M在边AB上，且BM＝3，点P是AD上一动点，连接MP并将MP绕点M顺时针旋转60°得到MN，连接BN，则线段BN的最小值为923【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【答案】92【分析】过点M作ME⊥AD于E，过点N作NF⊥AB于F，由30°直角三角形的性质得出AE=12AM=92，EM=AM2-AE2=923，由旋转的性质得出MP＝MN，已知∠PMN＝60°，可得∠MPE【解答】解：过点M作ME⊥AD于E，过点N作NF⊥AB于F，∴∠PEM＝∠AEM＝∠MFN＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AME＝90﹣∠A＝30°，∵BM＝3，AM＝AB﹣BM＝12﹣3＝9，∴AE=12AM∴ME=A∵MP绕点M顺时针旋转60°得到MN，∴∠PMN＝60°，PM＝NM，∵∠MPE＝180°﹣∠A﹣∠AMP，∠NMF＝180°﹣∠PMN﹣∠AMP，∴∠MPE＝∠NMF，在△EPM和△FMN中，∠PEM∴△EPM≌△FMN（AAS），∴ME＝NF=9∵BN≥NF，∴BN的最小值为92故答案为：92【点评】本题考查了30°直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握30°直角三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2025•南岗区模拟）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB，CD的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出△ABE（点E在小正方形的顶点上），∠BAE为钝角，且△ABE的面积为4；（2）在方格纸中画出四边形CEFD，使四边形CEFD是中心对称图形，并直接写出EF的长．【考点】作图﹣旋转变换；勾股定理；中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．【答案】（1）见解答．（2）画图见解答；25【分析】（1）在点A的右侧取点E，使AE＝2即可．（2）画出平行四边形CEFD即可；利用勾股定理计算EF的长即可．【解答】解：（1）如图，△ABE即为所求．（2）如图，四边形CEFD即为所求．由勾股定理得，EF=2【点评】本题考查作图﹣旋转变换、勾股定理、中心对称图形，熟练掌握勾股定理、中心对称图形是解答本题的关键．17．（2025•合肥一模）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点A，B，C的坐标分别为（2，1），（6，2），（5，6）．（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）在所给的网格中确定一个格点P，使得BP⊥AC，并写出点P的坐标．【考点】作图﹣旋转变换．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】（1）见解答．（2）画图见解答；点P的坐标为（1，5）．【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．（2）利用网格确定点P的位置，即可得出答案．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，点P即为所求．由图可得，点P的坐标为（1，5）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．18．（2025•蠡县一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=8，tanA=34，D是AC的中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°得线段DQ，连接（1）求AC的长度；（2）当PQ的长度最小时，求t的值；（3）嘉嘉：“在点P由点A运动到点B的过程中，点Q到直线AC的距离逐渐减小．”判断嘉嘉的说法是否正确．并说明理由；（4）连接BD，当点Q在△BCD的内部（包括边界）时，直接写出点P的运动路径长．【考点】几何变换综合题．【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．【答案】（1）10；（2）t=（3）嘉嘉的说法不正确，理由见解析；（4）92【分析】（1）根据三角函数求出BC＝AB•tanA＝6，再根据勾股定理进行计算即可；（2）根据题意证明△DPQ是等腰直角三角形，当DP的长度最小时，PQ的长度最小．当DP⊥AB时，DP的长度最小，再根据三角函数计算结果即可；（3）分别过点P，Q作AC的垂线，证明△DEP≌△QFD，当PD⊥AC时，点Q到AC的距离为0，此时AP=ADcosA=254＜8，得到在点P由点（4）分当点Q在BD上时，当点Q在CD上时两种情况进行分类讨论即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝AB•tanA＝6，根据勾股定理可得AC=（2）解：∵D是AC的中点，∴AD=5∵线段DP绕点D逆时针旋转90°得线段DQ，∴△DPQ是等腰直角三角形，∴∠DQP＝∠DPQ＝45°，∴PQ=∴当DP的长度最小时，PQ的长度最小．当DP⊥AB时，DP的长度最小，此时AP＝AD•cosA＝4，∴5t＝4，解得t=（3）嘉嘉的说法不正确；理由：如图，如图，分别过点P，Q作AC的垂线，垂足分别为E，F，∴∠DFQ＝∠DEP＝90°，∴∠EDP+∠EPD＝90°，∵∠PDQ＝90°，DP＝DQ，∴∠EDP+∠FDQ＝90°，∴∠EPD＝∠FDQ，∴△DEP≌△QFD，∴DE＝QF；当PD⊥AC时，点Q到AC的距离为0，此时AP=当0≤AP≤254时，点P∴QF逐渐减小，即点Q到直线AC的距离逐渐减小．当254＜AP≤8时，点P向点∴QF逐渐增大，即点Q到直线AC的距离逐渐增大，即在点P由点A运动到点B的过程中，点Q到直线AC的距离先逐渐减小，再逐渐增大，所以嘉嘉的说法不正确；（4）解：点P的运动路径长为92如图，当点Q在BD上时，∵D是AC的中点，∴BD＝AD＝5，∴∠DBP＝∠A，又∵∠PDQ＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△BDP，∴ACBP解得BP=∴AP=当点Q在CD上时，DP⊥AC，由（3）可得AP=∴254当74≤AP又∵点D到BC的最短距离为4，154∴此时点Q都在△BCD的内部．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查三角函数，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论是解题的关键．19．（2025•茄子河区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的位置均在小方格格点上．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出点A1的坐标．（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2并写出点A2的坐标．（3）求在（2）旋转的过程中边AC扫过的面积．【考点】作图﹣旋转变换；扇形面积的计算；作图﹣轴对称变换．【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．【答案】（1）画图见解答；点A1的坐标为（3，4）．（2）画图见解答；点A2的坐标为（﹣4，﹣3）．（3）234【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．（3）利用勾股定理求出OA，OB的长，再利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．由图可得，点A1的坐标为（3，4）．（2）如图，△A2B2C2即为所求．由图可得，点A2的坐标为（﹣4，﹣3）．（3）由勾股定理得，OA=32+42∴旋转的过程中边AC扫过的面积为S扇形【点评】本题考查作图﹣旋转变换、扇形面积的计算、作图﹣轴对称变换，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、扇形的面积公式是解答本题的关键．20．（2025•武汉模拟）如图，在等边△ABC中过顶点A作AD⊥BC，E为DA上任意一点，连BE，将AE绕点A逆时针旋转60°，点E对应点为点F．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）连接EC，请添加一个与线段相关的条件，使四边形AECF为菱形．（不需要说明理由）【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的判定．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】（1）证明过程见详解；（2）添加条件：AE＝EC（答案不唯一）．【分析】（1）根据等边三角形，旋转的性质得到AB＝AC，∠BAE＝∠CAF，运用边角边即可求证；（2）添加条件：AE＝EC，根据菱形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：由题意可得：AB＝AC，∠BAC＝60°，由题意可得：∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠EAF﹣∠DAC，即∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，AB=∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）解：如图所示，添加条件：AE＝EC，由（1）的证明可得，AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠EAC＝∠FAC，∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠FAC＝∠ECA，∴AF∥EC，且AF＝AE＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴添加条件：AE＝EC（答案不唯一）．【点评】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，掌握等边三角形的性质，全等的三角形的判定和性质，菱形的判定方法是解题的关键．

考点卡片1．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．2．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．3．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．4．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．5．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．6．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．7．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．8．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．9．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．10．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：211．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、12．菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形13．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相