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文档简介

云南省澜沧县第一中学2025届高三二模考试(针对性训练)数学试题试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.双曲线x2a2A.y=±2x B.y=±3x2.若,,,则()A. B.C. D.3.已知向量,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.4.若双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.5.抛物线的焦点为,点是上一点,,则()A. B. C. D.6.体育教师指导4个学生训练转身动作,预备时,4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时,每次都让3个学生“向后转”,若4个学生全部转到面朝正北方向,则至少需要“向后转”的次数是()A.3 B.4 C.5 D.67.公差不为零的等差数列{an}中,a1+a2+a5=13,且a1、a2、a5成等比数列,则数列{an}的公差等于()A.1 B.2 C.3 D.48.小明有3本作业本,小波有4本作业本,将这7本作业本混放在-起,小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为()A. B. C. D.9.集合的真子集的个数是()A. B. C. D.10.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1),充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平,也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意图,图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计),夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角.由历法理论知,黄赤交角近1万年持续减小,其正切值及对应的年代如下表:黄赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息,通过计算黄赤交角,可估计该骨笛的大致年代是()A.公元前2000年到公元元年 B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年 D.早于公元前6000年11.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如图,白圈为阳数,黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数,则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为()A. B. C. D.12.集合,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知是定义在上的偶函数,其导函数为.若时,,则不等式的解集是___________.14.展开式中的系数为_________.15.图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽图案,它是由一串直角三角形演化而成的(如图(2)),其中,则的值是______.16.根据如图所示的伪代码,若输出的的值为,则输入的的值为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,已知点,若以线段为直径的圆与轴相切.(1)求点的轨迹的方程;(2)若上存在两动点(A,B在轴异侧)满足,且的周长为,求的值.18.(12分)已知各项均为正数的数列的前项和为,且是与的等差中项.(1)证明:为等差数列,并求;(2)设,数列的前项和为,求满足的最小正整数的值.19.(12分)已知函数,.(1)若函数在上单调递减,且函数在上单调递增,求实数的值;(2)求证:(,且).20.(12分)记数列的前项和为,已知成等差数列.(1)证明:数列是等比数列,并求的通项公式;(2)记数列的前项和为,求.21.(12分)本小题满分14分)已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数),求直线被曲线截得的线段的长度22.(10分)如图,在四边形中,,,.(1)求的长;(2)若的面积为6,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析:根据离心率得a,c关系,进而得a,b关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果.详解:∵e=因为渐近线方程为y=±bax点睛:已知双曲线方程x2a22、C【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系,进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的增函数,则,即;指数函数为上的增函数,则;指数函数为上的减函数,则.综上所述,.故选:C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较,一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较,考查推理能力,属于基础题.3、A【解析】

投影即为,利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量与向量的夹角为,由题意,得,,所以,向量在向量方向上的投影为.故选:A.【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算,难度不大,属于基础题.4、C【解析】

利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.【详解】由已知,双曲线的渐近线方程为,故圆心到渐近线的距离等于1,即,所以,.故选:C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法,求双曲线离心率问题,关键是建立三者间的方程或不等关系,本题是一道基础题.5、B【解析】

根据抛物线定义得,即可解得结果.【详解】因为,所以.故选B【点睛】本题考查抛物线定义,考查基本分析求解能力,属基础题.6、B【解析】

通过列举法,列举出同学的朝向,然后即可求出需要向后转的次数.【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示,利用列举法,可得下表,原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次数为4次.故选:B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数,一般这类题型构造较为巧妙,可通过列举的方法直观感受,属于基础题.7、B【解析】

设数列的公差为.由,成等比数列,列关于的方程组,即求公差.【详解】设数列的公差为,①.成等比数列,②,解①②可得.故选:.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,属于基础题.8、A【解析】

利用计算即可,其中表示事件A所包含的基本事件个数,为基本事件总数.【详解】从7本作业本中任取两本共有种不同的结果,其中,小明取到的均是自己的作业本有种不同结果,由古典概型的概率计算公式,小明取到的均是自己的作业本的概率为.故选:A.【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.9、C【解析】

根据含有个元素的集合,有个子集,有个真子集,计算可得;【详解】解:集合含有个元素,则集合的真子集有(个),故选:C【点睛】考查列举法的定义,集合元素的概念,以及真子集的概念,对于含有个元素的集合,有个子集,有个真子集,属于基础题.10、D【解析】

先理解题意,然后根据题意建立平面几何图形,在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角,即可得到正确选项.【详解】解:由题意,可设冬至日光与垂直线夹角为,春秋分日光与垂直线夹角为,则即为冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角,将图3近似画出如下平面几何图形:则,,.,估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年.故选:.【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力,运用了两角和与差的正切公式,考查了转化思想,数学建模思想,以及数学运算能力,属中档题.11、C【解析】

先根据组合数计算出所有的情况数,再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况,由此可求解出对应的概率.【详解】所有的情况数有:种,3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有:,共种,所以目标事件的概率.故选:C.【点睛】本题考查概率与等差数列的综合,涉及到背景文化知识,难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析;当情况数较多时,可考虑用排列数、组合数去计算.12、D【解析】

利用交集的定义直接计算即可.【详解】,故,故选:D.【点睛】本题考查集合的交运算,注意常见集合的符号表示,本题属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

构造,先利用定义判断的奇偶性,再利用导数判断其单调性,转化为,结合奇偶性,单调性求解不等式即可.【详解】令,则是上的偶函数,,则在上递减,于是在上递增.由得,即,于是,则,解得.故答案为:【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.14、【解析】

变换,根据二项式定理计算得到答案.【详解】的展开式的通项为:,,取和,计算得到系数为:.故答案为:.【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.15、【解析】

先求出向量和夹角的余弦值,再由公式即得.【详解】如图,过点作的平行线交于点,那么向量和夹角为,,,,,且是直角三角形,,同理得,,.故答案为:【点睛】本题主要考查平面向量数量积,解题关键是找到向量和的夹角.16、【解析】

算法的功能是求的值,根据输出的值,分别求出当时和当时的值即可得解.【详解】解:由程序语句知:算法的功能是求的值,当时,,可得:,或(舍去);当时,,可得:(舍去).综上的值为:.故答案为:.【点睛】本题考查了选择结构的程序语句,根据语句判断算法的功能是解题的关键,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】

(1)设,则由题设条件可得,化简后可得轨迹的方程.(2)设直线,联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简并求得,结合焦半径公式及弦长公式可求的值及的长.【详解】(1)设,则圆心的坐标为,因为以线段为直径的圆与轴相切,所以,化简得的方程为.(2)由题意,设直线,联立得,设(其中)所以,,且,因为,所以,,所以,故或(舍),直线,因为的周长为所以.即,因为.又,所以,解得,所以.【点睛】本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算,还涉及到向量的数量积.一般地,抛物线中的弦长问题,一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程,再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式,该关系中含有或,最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.18、(1)见解析,(2)最小正整数的值为35.【解析】

(1)由等差中项可知,当时,得,整理后可得,从而证明为等差数列,继而可求.(2),则可求出,令,即可求出的取值范围,进而求出最小值.【详解】解析:(1)由题意可得,当时,,∴,,当时,,整理可得,∴是首项为1,公差为1的等差数列,∴,.(2)由(1)可得,∴,解得,∴最小正整数的值为35.【点睛】本题考查了等差中项,考查了等差数列的定义,考查了与的关系,考查了裂项相消求和.当已知有与的递推关系时,常代入进行整理.证明数列是等差数列时,一般借助数列,即后一项与前一项的差为常数.19、(1)1;(2)见解析【解析】

(1)分别求得与的导函数,由导函数与单调性关系即可求得的值;(2)由(1)可知当时,,当时,,因而,构造,由对数运算及不等式放缩可证明,从而不等式可证明.【详解】(1)∵函数在上单调递减,∴,即在上恒成立,∴,又∵函数在上单调递增,∴,即在上恒成立,,∴综上可知,.(2)证明:由(1)知,当时,函数在上为减函数,在上为增函数,而,∴当时,,当时,.∴∴即,∴.【点睛】本题考查了导数与函数单调性关系,放缩法在证明不等式中的应用,属于难题.20、(1)证明见解析,;(2)【解析】

(1)由成等差数列,可得到,再结合公式,消去,得到,再给等式两边同时加1,整理可证明结果;(2)将(1)得到的代入中化简后再裂项,然后求其前项和.【详解】(1)由成等差数列,则,即,①当时,,又,②由①②可得:,即,时,.所以是以3为首项,3为公比的等比数列,,所以.(2),所以.【点睛】此题考查了数列递推式,等比数列的证明,裂列相消求和,考查了学生分析问题和解决问题的能力,

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