正弦余弦函数的性质（第1课时）-高一上学期数学人教A版

教学设计

课程基本信息学科数学年级高一学期秋季课题函数与函数的周期教学目标1.通过具体函数让学生理解周期函数的概念；通过定义法能熟练地求出简单三角函数的周期，并能用定义法推导一般函数y=f(ωx+φ)的周期．2.理解与掌握函数及周期的求法及周期公式．3.体会从形到数、由特殊到一般、由易到难的认知规律，领悟数形结合的思想．教学重难点教学重点：1.用周期函数的定义求函数及的周期，得到它们的周期公式，并归纳出定义法求周期的一般步骤．

2.推广使用定义法，得到一般函数f(ωx+φ)的周期．

教学难点：1.对周期函数概念的理解；最小正周期的意义；2.定义法的应用．教学过程复习回顾问题1：周期函数、最小正周期的定义是什么?周期函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.问题2：正弦函数是周期函数吗？它的周期和最小正周期分别是什么?（1）正弦函数y=sinx(x∈R)是一个周期函数.oo24−-2yx（2）周期为2π、4π、−2π、−4π、⋯.（3）最小正周期为2π．【设计意图】对前一节课中的知识进行回顾，并用正弦函数直观说明周期函数、周期、最小正周期这三个概念，为本节课的探究作好准备．探究正弦型、余弦型函数的周期例1求下列函数的周期．（1），；（2），；（3），．【预设师生活动】引导学生紧扣定义，一切从定义出发来求．因为3cos（x+2π）=3cosx，根据周期函数的定义可知，原函数的周期为2π．有的学生可能会提出π是不是呢?让学生自己试一试，加深对概念的理解．因为3cos(x+π)=-3cosx≠3sinx，所以π不是周期．引导学生观察2x，可把2x看成一个新的变量u，那么sinu的最小正周期是2π，就是说，当u增加到u+2π时，函数sinu的值重复出现，而u+2π=2x+2π=2(x+π)，所以当自变量x增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现．因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．（3）因为所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π．【设计意图】紧扣周期函数的定义,形成求正弦型、余弦型函数周期的方法.教师引导学生在解题过程中注意归纳周期和表达式中的哪些量有关,在概念的应用中经历严谨论证的思维过程,提升学生逻辑推理能力,培养学生的数学抽象核心素养.问题3：回顾例1的解答过程，思考一下求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么?【预设师生活动】由学生总结阐述，教师点评、补充．1．求解的依据是周期函数的定义.2.求解的步骤:第一步，先用换元法转换；第二步，利用已知三角函数的周期找关系；第三步，根据定义变形；第四步，确定结论．即整体换元利用周期定义变形 确定结论在总结过程中，强调求出函数y=cos2x的周期T，即求出满足cos2(x+T)=cos2x的最小正数T．求出函数的周期T，即求出满足的最小正数T．强调：用定义法求周期要注意：（1）对于定义域中的每一个x，f(x+T)=f(x)恒成立．（2）针对f(x+T)=f(x)中自变量x本身所加的常数T才是周期．【设计意图】让学生通过归纳、概括例题当中函数周期的求法，让知识系统化，体会数学抽象过程，并以此培养学生的数学抽象素养．问题4：例1中的这些函数的周期与解析式中的哪些量有关?【预设师生活动】观察例1中的三个函数的最小正周期与函数解析式中各个量的关系，猜想函数周期与x的系数有关．探究1：函数(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期是什么?【预设师生活动】引导学生用定义法求解．因为y=sinx的周期为2π，所以y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin[ω(x+)+φ]=Asin(ωx+φ)，于是有f(x+)=f(x)，所以其周期为．从而得到正弦型、余弦型函数的周期公式：（1）函数(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期为（2）函数(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期为【设计意图】让学生充分经历由特殊到一般的推广，思维活动层层递进，培养学生的逻辑推理能力，提升数学抽象核心素养．练习1：求下列函数的周期．（1），；（2），；【预设师生活动】引导学生用公式法求解．由公式，（1）中，（2）中，发现前面得到的公式不适用于本道题．利用正弦函数的诱导公式，可得y=sin(−2x−)＝－sin(2x＋)，再根据公式，得到．追问：必须先将ω转化成正数，才能求函数的周期吗?小结：正弦型、余弦型函数的周期公式：（1）函数(A、ω、φ为常数，A≠0，ω≠0，x∈R)的周期为（2）函数(A、ω、φ为常数，A≠0，ω≠0，x∈R)的周期为【设计意图】让学生从试错的过程中，体会正弦型、余弦型函数从ω>0推广到ω≠0时周期公式的变化，激发学生的探索欲望．练习2：口答下列函数的周期．（1），；（2），；（3），．（4），．推广：一般周期函数的周期探究2：如果函数y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx)(ω>0)的周期是什么?【预设师生活动】设y=g(x)=f(ωx)，令ωx+φ=z，z∈R.由已知条件f(z＋T)＝f(z)，即f(ωx+T)＝f(ωx)，从而f[ω(x＋)]＝f(ωx)，即g(x＋)＝g(x)．因此函数y=f(ωx)的周期是．追问：函数y=f(ωx+φ)(ω>0,φ为常数)的周期是什么？函数y=f(ωx+φ)(ω≠0,φ为常数)的周期是什么？【预设师生活动】引导学生用定义法独立探究．通过定义法的四个步骤，可以发现，加φ对周期没有任何影响．这也与前面得到的结论一致：此类函数的周期只与自变量的系数有关．【设计意图】再次让学生用定义法求一般函数的周期，经历数学研究的一般途径．让学生充分经历由特殊到一般的推广，思维活动层层递进，培养学生的逻辑推理能力，提升数学抽象核心素养．问题5：知道一个函数具有周期性，对研究它的图象与性质有什么帮助?【预设师生活动】对于一个周期函数，如果我们把握了它在一个周期内的情况，那么整个函数情况也就把握了.因此，研究周期函数的图象与性质，只需研究一个周期即可．【设