《备考指南一轮·数学·》课件-第2章 第3讲

不等式第二章第3讲一元二次不等式高考要求考情分析1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式一元二次不等式及分式不等式的解法与集合运算、函数的定义域或值域问题结合在一起考查．含参数的一元二次不等式、一元二次不等式的恒成立问题常与函数、导数等知识交汇命题，考查分类讨论、数形结合思想，体现了直观想象和数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏1三个“二次”间的关系R

{x|x1＜x＜x2}

∅

∅

1．(2019年广州学业考试)一元二次不等式x2－7x＜0的解集是(

)A．{x|0＜x＜7} B．{x|x＜0或x＞7}C．{x|－7＜x＜0} D．{x|x＜－7或x＞0}【答案】A【解析】不等式x2－7x＜0可化为x(x－7)＜0，解得0＜x＜7，所以不等式的解集是{x|0＜x＜7}．故选A．3．(2019年青岛三模)若关于x的不等式ax2＋ax－1≤0的解集为实数集R，则实数a的取值范围为(

)A．[0,4]

B．(－4,0)C．[－4,0)

D．[－4,0]【答案】D4．(2019年蚌埠期末)已知关于x的不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为(2,3)，则a＋c＝________.【答案】－75．(2019年赤峰期末)若存在实数x∈[2,5]，使关于x的不等式x2－2x＋5－m＜0成立，则实数m的取值范围是________．【答案】(5，＋∞)【解析】存在实数x∈[2,5]，使不等式x2－2x＋5－m＜0成立，等价于x∈[2,5]，m＞(x2－2x＋5)min.令f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，易知f(x)min＝f(2)＝5，所以m＞5.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)若关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(

)(2)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集．(

)(3)若不等式ax2＋bx＋c≥0对x∈R恒成立，则其判别式Δ≤0.(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×重难突破能力提升2一元二次不等式的解法【规律方法】(1)解一元二次不等式的一般步骤①化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．②判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅)．③求：求出对应的一元二次方程的根．④写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．(2)求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(3)含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用．(2)(2019年清远一模)关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(

)A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B．(1,3)C．(－1,3)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)【答案】(1)D

(2)C一元二次不等式恒成立问题【考向分析】一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的考向：(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围；(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数的范围；(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围．【规律方法】一元二次不等式恒成立问题的三大破解方法：追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年重庆模拟)已知函数y＝lg[(a2－1)x2－2(a－1)x＋3]的值域为R，则实数a的取值范围是(

)A．[－2,1] B．[－2，－1]C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)【考查角度】一元二次不等式及其应用．【考查目的】考查应用意识，体现逻辑推理和数学运算的核心素养．【思路导引】根据题意，应使对数函数的真数取到所有的正数，由此讨论真数的值域即可．【拓展延伸】1．分类讨论和转化思想(1)分类讨论思想：含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论．在判断方程根的情况时，判别式是分类的标准；需要表示不等式的解集时，根的大小是分类的标准．(2)转化思想：不等式在指定范围的恒成立问题，一般转化为求函数的最值或值域问题．2．解含参数不等式应注意的问题(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数为零的情况．(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能分解因式，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．【真题链接】

1．(2019年新课标Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝(

)A．{x|－4<x<3}

B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2}

D．{x|2<x<3}【答案】C【解析】由x2－x－6<0，解得－2<x<3，故N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}．又M＝{x|－4<x<2}，所以M∩N＝{x|－2<x<2}．故选C．2．(2015年重庆)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是(

)A．[－3,1]

B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【答案】D【解析】由题意得x2＋2x－3＞0，即(x－1)(x＋3)＞0，解得x<－3或x>1，所以定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．故选D．3．(2015年广东)不等式－x2－3x＋4＞0的解集为________．(用区间表示)【答案】(－4,1)【解析