电大《工程数学》期末考试答案小抄考试必过

电大《工程数学》期末考试答案小抄考试必过摘要：本文档旨在为电大工程数学课程期末考试提供全面且实用的答案小抄，涵盖了工程数学课程的主要知识点，包括线性代数、概率论与数理统计等方面。通过对重点题型的详细解答和总结，帮助考生更好地理解和掌握考试要点，提高考试通过率，顺利通过工程数学期末考试。一、线性代数部分（一）行列式1.行列式的计算二阶行列式：对于二阶行列式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=adbc\)。三阶行列式：可通过对角线法则计算，即\(\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}=a_{1}b_{2}c_{3}+b_{1}c_{2}a_{3}+c_{1}a_{2}b_{3}a_{3}b_{2}c_{1}b_{3}c_{2}a_{1}c_{3}a_{2}b_{1}\)。\(n\)阶行列式：可利用行列式的性质进行化简计算，如换行（列）、倍加、倍乘等性质。例如：计算行列式\(\begin{vmatrix}2&1&1\\3&2&1\\1&1&2\end{vmatrix}\)解：按照三阶行列式对角线法则展开：原式\(=2\times2\times2+1\times1\times1+(1)\times3\times(1)1\times2\times(1)2\times3\times2(1)\times1\times1\)\(=8+1+3+212+1\)\(=3\)2.行列式的性质性质1：行列式与它的转置行列式相等，即\(D=D^T\)。性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。性质3：行列式中某一行（列）的所有元素都乘以同一数\(k\)，等于用数\(k\)乘此行列式。性质4：若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零。性质5：若行列式中有一行（列）的元素全为零，则此行列式的值为零。性质6：若行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式的值为零。性质7：行列式某一行（列）的元素加上另一行（列）对应元素的\(k\)倍，行列式的值不变。（二）矩阵1.矩阵的概念与运算矩阵的加法：设\(A=(a_{ij})\)，\(B=(b_{ij})\)是同型矩阵（行数和列数分别相同），则\(A+B=(a_{ij}+b_{ij})\)。矩阵的数乘：设\(A=(a_{ij})\)，\(k\)为常数，则\(kA=(ka_{ij})\)。矩阵的乘法：设\(A=(a_{ij})\)是\(m\timess\)矩阵，\(B=(b_{ij})\)是\(s\timesn\)矩阵，则\(AB=C=(c_{ij})\)，其中\(c_{ij}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}\)。例如：已知\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)计算\(A+B\)：\(A+B=\begin{pmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\)计算\(2A\)：\(2A=\begin{pmatrix}2\times1&2\times2\\2\times3&2\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}\)计算\(AB\)：\(AB=\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5+14&6+16\\15+28&18+32\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)2.矩阵的转置定义：把矩阵\(A\)的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做\(A\)的转置矩阵，记作\(A^T\)。性质：\((A^T)^T=A\)。\((A+B)^T=A^T+B^T\)。\((kA)^T=kA^T\)。\((AB)^T=B^TA^T\)。例如：已知\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(A^T\)解：\(A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\)3.逆矩阵定义：对于\(n\)阶矩阵\(A\)，如果存在\(n\)阶矩阵\(B\)，使得\(AB=BA=E\)（\(E\)为单位矩阵），则称矩阵\(A\)是可逆的，并称\(B\)为\(A\)的逆矩阵，记作\(A^{1}\)。求逆矩阵的方法：伴随矩阵法：对于二阶矩阵\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，其逆矩阵\(A^{1}=\frac{1}{adbc}\begin{pmatrix}d&b\\c&a\end{pmatrix}\)。初等行变换法：对矩阵\((A|E)\)进行初等行变换，当把\(A\)化为单位矩阵\(E\)时，右边的矩阵就化为\(A^{1}\)。例如：求矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩阵解：方法一：伴随矩阵法先求\(adbc=1\times42\times3=2\)则\(A^{1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)方法二：初等行变换法\((A|E)=\begin{pmatrix}1&2&1&0\\3&4&0&1\end{pmatrix}\)第二行减去第一行的\(3\)倍：\(\begin{pmatrix}1&2&1&0\\0&2&3&1\end{pmatrix}\)第二行乘以\(\frac{1}{2}\)：\(\begin{pmatrix}1&2&1&0\\0&1&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)第一行减去第二行的\(2\)倍：\(\begin{pmatrix}1&0&2&1\\0&1&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)所以\(A^{1}=\begin{pmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)（三）线性方程组1.线性方程组的表示与消元法线性方程组可表示为\(AX=b\)的形式，其中\(A\)为系数矩阵，\(X\)为未知数向量，\(b\)为常数向量。消元法：通过对增广矩阵\((A|b)\)进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，进而求解方程组。例如：求解线性方程组\(\begin{cases}x_1+2x_2=3\\3x_1+4x_2=5\end{cases}\)解：增广矩阵\((A|b)=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&4&5\end{pmatrix}\)第二行减去第一行的\(3\)倍：\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&2&4\end{pmatrix}\)第二行乘以\(\frac{1}{2}\)：\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\end{pmatrix}\)第一行减去第二行的\(2\)倍：\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&2\end{pmatrix}\)所以方程组的解为\(x_1=1\)，\(x_2=2\)2.线性方程组解的判定对于线性方程组\(AX=b\)，当\(r(A)=r(A|b)\)时，方程组有解；当\(r(A)\ltr(A|b)\)时，方程组无解。当方程组有解时：若\(r(A)=n\)（\(n\)为未知数个数），方程组有唯一解。若\(r(A)\ltn\)，方程组有无穷多解。例如：已知线性方程组\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+2x_2+3x_3=2\\2x_1+3x_2+4x_3=3\end{cases}\)解：增广矩阵\((A|b)=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&2\\2&3&4&3\end{pmatrix}\)第二行减去第一行，第三行减去第一行的\(2\)倍：\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&1\\0&1&2&1\end{pmatrix}\)第三行减去第二行：\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)可得\(r(A)=r(A|b)=2\lt3\)，方程组有无穷多解。进一步求解：令\(x_3=t\)，由\(x_2+2x_3=1\)得\(x_2=12t\)，由\(x_1+x_2+x_3=1\)得\(x_1=1x_2x_3=1(12t)t=t\)所以方程组的通解为\(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t\\12t\\t\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)，\(t\inR\)二、概率论与数理统计部分（一）随机事件与概率1.随机事件的关系与运算包含关系：若事件\(A\)发生必然导致事件\(B\)发生，则称\(B\)包含\(A\)，记作\(A\subseteqB\)。相等关系：若\(A\subseteqB\)且\(B\subseteqA\)，则称\(A\)与\(B\)相等，记作\(A=B\)。和事件：事件\(A\)与\(B\)至少有一个发生的事件称为\(A\)与\(B\)的和事件，记作\(A\cupB\)。积事件：事件\(A\)与\(B\)同时发生的事件称为\(A\)与\(B\)的积事件，记作\(A\capB\)或\(AB\)。差事件：事件\(A\)发生而\(B\)不发生的事件称为\(A\)与\(B\)的差事件，记作\(AB\)。互斥事件：若\(AB=\varnothing\)，则称\(A\)与\(B\)互斥（互不相容）。对立事件：若\(AB=\varnothing\)且\(A\cupB=\Omega\)（样本空间），则称\(A\)与\(B\)对立，记作\(\overline{A}=B\)。2.概率的定义与性质概率的定义：设\(E\)是随机试验，\(\Omega\)是样本空间，对于\(E\)的每一个事件\(A\)赋予一个实数，记为\(P(A)\)，称为事件\(A\)的概率，如果它满足以下条件：非负性：\(P(A)\geq0\)。规范性：\(P(\Omega)=1\)。可列可加性：对于两两互斥的事件\(A_1,A_2,\cdots\)，有\(P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)。概率的性质：\(P(\varnothing)=0\)。有限可加性：若\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)两两互斥，则\(P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)\)。对于任意事件\(A\)，\(P(\overline{A})=1P(A)\)。若\(A\subseteqB\)，则\(P(BA)=P(B)P(A)\)。\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)P(AB)\)。例如：已知\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(AB)=0.1\)，求\(P(A\cupB)\)解：根据\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)P(AB)\)可得\(P(A\cupB)=0.4+0.30.1=0.6\)3.古典概型古典概型的特点：试验的样本空间只包含有限个元素；试验中每个基本事件发生的可能性相同。古典概型概率计算公式：\(P(A)=\frac{事件A包含的基本事件数}{样本空间包含的基本事件总数}\)例如：从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)这\(5\)个数中任取\(2\)个数，求这\(2\)个数之和为偶数的概率。解：样本空间\(\Omega\)包含的基本事件总数\(n=C_{5}^2=\frac{5!}{2!(52)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\)