第5章 代 数 结 构 (Algebraic Structure )

第5章代数结构(AlgebraicStructure)

5・1代数系统(AlgebraicSystems)

5・2二元运算(BinaryOperation)

5・3半群(Semigroups)

5・4群与子群(GroupsandSubgroups)

5.5阿贝尔1£(AbeHan(commutative)

GroupsandCyclicGroups)

5.6代数系统的同态与同构

5.7环和域

这，大号J

[■第5章代数结构(AlgebraicStructure)

，■本章在集合、关系和函数等概念基础上，研

究更为复杂的对象——代数系统，研究代数系统

的性质和特殊的元素，代数系统与代数系统之间

的关系。如代数系统的同态和同构，这些概念较

为复杂也较为抽象，是本课程中的难点。它们将

集合、集合上的运算以及集合间的函数关系结合

在一起进行研究。

前两章内容是本章的基础，熟练地掌握集合、

关系、函数等概念和性质是理解本章内容的关键。

第5章代数结构(AlgebraicStructure)

5」代数系统(AlgebraicSystems)

5.1.1n元运算(n-aryoperations)

5.1.2代数系统的概念(AlgebraicSystems)

(曲)

5.1代数系统(AlgebraicSystems)

5・1・1n元运算(n-aryoperations)

先考察下面的例子:

【例（1）在Z集合上（或©或火），则

於）=・式是将*映为它的相反数。4是由X唯一确定的，

它是对一个数施行求相反数运算的结果。

/：Z—Z是函数。

^卜5.1代数系统(AlgebraicSystems)

(2)在力={0,1}集合上，加尸F,

—»表示否定。则加尸F是将p映为它的否定。

F是由?唯一确定的，它是对Z中的一个元素

施行否定运算的结果。是函数。

5.1代数系统(AlgebraicSystems)

（3）在A+集合上，则/任尸1A是将*映为它的

倒数。1A是由x唯一确定的，它是对A+中的一个数

施行倒数运算的结果。（但在火上，倒数不是一元运

算，因为0无像）。/：甯一叱是函数。

（4）设凡则仙乃）=〃+以4也〃X力）是将两个数用

〃映为火中的唯一的一个数，它是对火中的两个数施行

加（减，乘）法运算的结果。/：火2一火是函数。

、j.l代数系统(AlgebraicSystems)

(5)设偈4贝!1/3仇c)=a+〃Xc是将R中

的三个数。乱c映为K中的唯一的一个数。

了:炉一&是函数。

上述例子都是我们熟悉的数与数的运算,

它们有一个共同特征，就是其运算结果都在

原来的集合中且运算结果是唯一的，它们都

是函数。

.1代数系统(AlgebraicSystems)

我们把这种数集中的代数运算,抽象概括推广，可

得到一般集合上代数运算的概念。集合中的代数运算

实质上是集合中的一类函数。

定义5.1.1设4人是集合，函数r力〃一上称为

集合力上的H元运算(n-aryoperation),整数〃

称为运算的阶(order)。若£⑦或5=4则称该

n元运算是封闭的，封闭的〃元运算又称为〃元代

数运算。

代数系统(AlgebraicSystems)

当〃=1时，/：/»称为集合力中的一元代数运算。

当〃=2时，称为集合力中的二元代数

运算。

一般地，二元运算用符号“。”，

“*”66."66A”

嚎等援示：并将其写于两个元素之间，如

ZXZ—Z的力口法：

代〈2,3〉)=+(〈2,3〉)=2+3=5

通常我们将A〈2,3〉)写成/(2,3)或2+3.

代数系统(AlgebraicSystems)

从〃元代数运算的定义可知它有三点涵义:

(1/中任意〃个元素都有运算结果；

(2)运算是封闭的，即运算结果仍在/中；

(3)结果是唯一的。

.1代数系统(AlgebraicSystems)

«5.1.2］下面均是二元运算的例子。

(1)4为集合，2.为其塞集。/:2，X2，T2/。

/可以是n、U、-o

(2)4={0,1}。/:力义/一力。/可以是八、V、一、一。

A4

(3)A={f\f:A-^A}9“。”(复合)是4上的二元运算。

当力是有穷集合时，运算可以用运算表给出。

如/={01234,5},二元运算。的定义见表5.1・1。

5」代数系统(AlgebraicSystems)

表5.1.1

o012345

0000000

1012012

2021021

3000000

4012012

5021021

、澄J；卜留和利•堂匕拈大，

，、丫,，、r1JFp*J/L3'*|J~U’1、

代数系统(AlgebraicSystems)

表5.1.2

*01

000

101

事实上，对于表5.1.1,我们可观察看出其运算为

(〈W〉)=xp(mod3)

其中"・"是普通乘法。

代数系统(AlgebraicSystems)

而对于表5.1.2,此时的“*”运算应是在集合｛0,1｝上

的八(逻辑合取运算符)。

下面是非代数运算的例子。

【例5.1・3】

(1)A中的普通除法不是代数运算.

(2)N中的普通减法不是代数运算.

*5.1代数系统(AlgebraicSystems)

5.1.2代数系统的概念(AlgebraicSystems)

定义5.1.2一个非空集合S和定义在该集合上的一个或

多个代数运算。1，。2/一，。〃所组成的系统称为代数

系统。用记号(S；。］,。2,…，。〃〉表示，其中

腌为该代数系统的基集。各运算组成的集合成为

运算集，代数系统也称为代数结构。

匕【例5.1.41

(1)以实数集R为基集，加法运算”+”为二

元，运算组成一代数系统，记为〈X,+〉。

(2)以全体〃X〃实数矩阵组成的集合拉为基

集，矩阵加“+”为二元运算，组成一代数系统，

记为〈陷+〉o

(3)设邑={"力是集合A上的关系},’6"

是求复合关系的运算。它们构成代数卷/,。〉

统。

Q.5.1代数系统(AlgebraicSystems)

(4)以集合力的塞集2%为基集，以集合并、交、补

为其二元运算和一元运算，组成一代数系统，记为

〈2",U,n,-〉。有时为了突出全集/及空集。在2"中

的特殊地位，也可将这一代数系统记为〈2",u,n,-,

A,)o这个系统就是常说的募集代数系统。以上

的(1),(2),(3),(4)均称为具体代数系统。

5.1代数系统(AlgebraicSystems)

(5)设S为一非空集合，*为S上满足结合律、交

换律的二元运算，那么〈S,*〉为代数结构，称为一个

抽象代数系统，即一类具体代数结构的抽象。例如

〈A,+〉，<M,+>,〈24,U〉,〈2”,n〉都是

〈5,*〉的具体例子。

(6)</?,+,-,X>,<Z,+,-,X>均是代数系统，但

〈Z,+〉，〈R,+〉，〈N,-〉不是代数系统，它们的运

算不封闭。

54代数系统(AlgebraicSystems)

定义5.1.3设*是S上的〃元运算(〃=1,2,...),

7GS,如果对任意元素a，x2,xn"

*(a，x2,xn)GT,称*运算对T封闭(closed)

或T关于*运算封闭。

【例5.1.5】设E为非负偶数集，M为非负奇数集，那

么定义于N上的通常数的加法运算对E封闭，对M不

封闭，乘法运算对E和M都封闭。

5.1代数系统(AlgebraicSystems)

尾义5.2.3设〈S,*〉是代数系统，如果有非空集合

磁足：

(1)I

(2)运算*对T封闭

则称〈丁,*〉为代数系统〈S,*〉的子代数系统，或

子代数(subalgebra)。

根据定义，子代数必为一代数系统，*运算所

满足的性质显然在子代数中仍能得到满足。

5.1代数系统(AlgebraicSystems)

【例5.1.6】在例5.1・5中,对〈N,+〉而言,

〈E,+〉为其子代数，〈N,+〉，＜{0},+〉

为其平凡子代数，〈M,十〉不构成其子代数。

小结：本节介绍了n元运算、n元代数运算及代数

系统的概念。

作业：Pgl34：1,2,5,6

<Back

5.2二元运算(BinaryOperation)

5.2.1二元运算的性质(PropertiesofOperations)

5.2.2集合中关于二元代数运算的特殊元素

(Specialelementsinasetwithbinaryoperation)

5.2.3利用运算表判断代数运算的性质

TOT

J漆球•大考二

15.2.1二元运算的性质(PropertiesofOperations)

定义521设“*”，“。”均为集合S上的二元运

打。VVV

(1)若xyzxj,z£Sfc*(p*z)=(B7)*NI则称

运算满是结合律(associativity)。

(2)若xyx^yGS^x^y=y*x,则称运算

满足交换律(commutativity)。

5.2.1二元运算的性质(PropertiesofOperations)

(3)若vA：vyvz

Xy,z)=(x*j)o(x*z),

则称“*”运算对“。”运算满足左分配律；

若V*”VZ

MMzWS-&。z)*x=(j*x)o(z*x),

则称运算对“。”运算满足右分配律。

若二者均成立，则称运算对“。”运算满足分

配律_______

(distributivity)。

二元运算的性质(PropertiesofOperations)

嗫)设…,”均可交捻若V*，*4

有

x*(xoy)=x

Xo(**7)=x

则称运算“*”和“。〃运算满足吸收律

(absorptive)o

(5)若X^A9廿l双则称运算满足幕等律

(idempotence)。

[5.2.1二元运算的性质(PropertiesofOperations)

【例5.2.1】加法、乘法运算是自然数集上的

二元代数运算，减法和除法便不是。但是减法是

有理数集、实数集上的二元运算，除法却仍不是。

加法、乘法满足结合律、交换律，乘法对加法、

减法满足分配律，但减法不满足这些定律。加法

对乘法“。“运算不满足分配律。

.5.2.1二元运算的性质(PropertiesofOperations)

【例5.2.2】设/是集合，在N的募集2%上的二元代

数运算并U、交n满足交换律、结合律、吸收律、

幕等律且彼此满足分配律。

【例5.2.3］设/={a/},月上的运算“*”、

分别如表5.2.1、5.2.2所示。

表5.2.1

*ab

aab

bba

从运算表可知，是可交换的。因为

(a*d)*b=a*b=ba女(a女b)=a女b=b

(a*b)*b=b*b=aa*(b佻b)=a*a=a

所以是可结合的。

从“。”运算表可知，”是可交换的。因为

（4。a）Qb=aQb=aao（a。b）=aoa=a

（a。b）。b=aQb=aao（bob）=aob=a

所以“。”是可结合的。

5.2.1二元运算的性质(PropertiesofOperations)

(1)bo(a*b)=bob=b(boa)*(bob)=a*b=b

(2)Uo(4*〃尸4。b=a,(a。a)*(aob)=a*a=a

bo(a*d)-boa=a,(boa)*(boa)=a*a=a

bo(b女b)=b。a=a,(boby(bob)=b"=a

Uo(a*a)=aoa=a,(aoa)*(aoa)=a*a=a

ao(b*b)=aoa=a,(a。b)*(aob)=a*a=a

所以”对是可分配的。（由于“。”运

算满足交换律成立,因此右分配也成立。）

5.2.1二元运算的性质(PropertiesofOperations)

(3)b*(aob)=b*a=b(b*a)o(b*b)=boa=a

故“*”对”是不可分配的。

又由〃*(〃。〃尸〃*”=“可知"和“*”不

满足吸收律。由运算表可知，“。〃满足幕等

律，而不满足塞等律。

下面我们来定义与集合力中的二元运算有关

的集合力中的特异元素。

5.2.2集合中关于二元代数运算的特殊元素

1.单位元(或幺元)

定义5.2.2设4”是集合S中的一种二元代数运算，对任意

元素

⑴如果存在元素昨5使e*x=x,则称元素。/为S关于运算

的左幺元或左单位元。

(2)如果存在元素,VS使Be尸，则称元素”为S关于运算

的右幺元或右单位元。

(3)如果存在元素使x*e=e*x=x,则称元素。为S关于运算

“*”的幺元或单位元(identityelement)。

5.2.2集合中关于二元代数运算的特殊元素

~~---------------

定理5.2.1设*是S中的二元代数运算，且4.与分别是S对于的

右

幺元和左幺元，则/=e/=e,使对任意元素x£S^x*e=e*x=x9

即元素。为S关于运算的幺元且S关于运算的幺元是唯一

的。

证明因为/和g分等整*用右幺元和左幺元，故有

e^e=ePe^e=er9所以e=eP

令其为有，x*e=e*x=x

设另有一幺元为一,那么

e=e*ef=ef

5.2.2集合中关于二元代数运算的特殊元素

【例5.2.4］在实数集A中，对加法运算,0是幺元;

在实数集A中，对乘法"X”运算，1是幺元；

对于全集E的子集的并“U，，运算，0是幺元；

对于全集E的子集的交W运算，E是幺元；

在命题集合中，对于吸取"V"运算，矛盾式是幺元；

在命题集合中，对于合取"A"运算，重言式是幺元；

在/'=，1/：力—/｝中，对于复合明“运算，〃是幺元。

强调:幺元是针对于哪个运算的。

2.零元

凫义5.2.3设是集合S中的一种二元代数运算，对任

息兀素

⑴如果存在元素，/使，/*x=d,则称元素，/为S关于

运算的左零元。

(2)如果存在元素么£S,使,则称元素，，为S关于

运算的右零元。

⑶如果存在元素，WS使x*〃=，*x=〃，则称元素，为S关于

运算的零元(zeroelement)。

区迫设*是S中的二元代数运算且%与%分别是S关于

;零元和左零元，则4=，尸仇使对任意元素X£S有

%*，=，嘘=仇即元素，是S中关于运算*的零元且是唯一的。

证明因为，，和，,分别是S关于的右零元和左零元，故有

，/*玲=，〃夕所以外=为。

令其为仇有廿，=，嘘=仇所以，为S关于的零元.

设另有一零元夕，那么

夕=，*夕=夕

故夕是S关于运算的唯一零元。证毕

同样，需强调零元是针对于哪个运算的。

5.2.2集合中关于二元代数运算的特殊元素

【例5.2.51

在实数集A中，对加法“+”运算，没有零元；

在实数集A中，对乘法“X“运算，。是零元；

对于全集石的子集的并“U“运算，石是零元；

对于全集E的子集的交“n”运算，0是零元；

在命题集合中，对于吸取“V”运算，重言式是零元;

在命题集合中，对于合取“人”运算，矛盾式是零元。

5.2.2集合中关于二元代数运算的特殊元素

定理523设*是S上的二元代数运算,e为幺元,

，为零元，并且|S|22,那么分

证明:用反证法.设Qe,则对任意〃£S,有

0=O*a=e*a=a

与|$之2矛盾，故分《得证。

【例526］设5={%儿c},S上*运算由运算表

|（如表5.2.3所示）确定，那么〃是右零元，a是幺元。

'我们注意到，关于同一运算可能同时有幺元和零元，甚

至可能有这样的元素，它关于同一运算既是左（右）幺元，

又是右（左）零元，例如表5.2.3第一行（不计表头）改为三

个。时，那么运算有左零元。和右幺元服

表5.2.3

*abc

aabc

bbbc

ccbb

3.元素的逆元

定义5.2.4设*是集合S中的一种二元代数运算，且e为S关于

的幺元，对S中的元素2

⑴如果存在元素。尸££使*a=e,则称a关于是左

可逆的，且称元素ar为〃(关于运算的)左逆元。

⑵如果存在元素叫"WS,使〃*〃丁=«,则称〃关于是右

可逆的，且称元素〃/为以关于运算的)右逆元。

(3)如果存在元素aIWS,使a*a1=a1*a=e,则称。关于

是可逆的，且称元素J为以关于运算的)逆元(inverse

element)。

5.2.2集合中关于二元代数运算的特殊元素

显然对于二元代数运算若是可交换的,

贝！1

任何左（右）可逆的元素均可逆。G的逆元通常

记为、七但当运算被称为“加法运算（记为+）时,

硬瓣元-由〃利〃/不一定都存在，若存在不

一定唯一，且不一定有。例如，在P182例9

=7

中，，〃不存在，P>6均为丫的右逆元；6Z-=Y，

6/=po

&522集合中关于二元代数运算的特殊元素

定理5.2.4设是集合S中的一个可结合的二元代数运

算，e为S关于“*”的幺元，若S的每一个元素都左可逆,

贝好的任何一个元素”的左逆元必定也是该元素的右逆

元，并且“是可逆的，"尸=且元素”对运算

的逆元是唯一的。

证明：

5.2.2集合中关于二元代数运算的特殊元素

证明:对任意〃《S,存在〃£S，使〃而对于存

在c《S,使c*力=4则由于*可结合，于是

k

a*b=e'a*b=c^b俣a*b=c*(A女研女b=c*e*b=c*A=e

故〃也是Q的右逆元，从而〃是”的逆元.

设瓦。是”的任意两个逆元，那么

b=b*e=b女(a女c)=(b女研女c=e*c=c

故〃对运算的逆元是唯一的。

5.2.2集合中关于二元代数运算的特殊元素

定理525设*是集合S中的一个可结合的二元运算,

且《为S关于的幺元，x有逆元厂1,则

(XJ)-1=Xo

证明：住“)-1=住“)”

k

=(•¥/)/*(x“*x)=((x/)”快x"yx=e'x=xQ

A

注意：(1)e=eo

(2)并非每个元素均可逆。

5.2.2集合中关于二元代数运算的特殊元素

【例5.2.71

(1)在自然数集合N上，对于乘法“•“运算，只有数

1有逆元1,对于数加“+”运算，只有数0有逆元0。总

之，任何代数结构其幺元恒有逆元，逆元为其自身。

(2)在整数集合/上(+,•的定义同上)，/上每个

元素均有加法逆元，对任意x的逆元是-x。但除

1以外的数都没有乘法逆元。

5.2.2集合中关于二元代数运算的特殊元素

II

™（3）在有理数集合Q上（+,•的定义同上），。上每个

元素X,都有加法逆元文,除0以外的每个元素X都有乘法逆

TUx"1=l/xo

（4）在2/中，对于U运算，其幺元为0,每个元素5

（B丰0）均无逆元；对于n运算，其幺元为4每个元素5

（为以）均无逆元。

（5）在集合上（其中4={/|/：A^A}）中，”

为函数的合成运算，恒等函数右为幺元，从而力中所有双

射函数都有逆元，所有单射函数都有左逆元，所有满射函

数都有右逆元。

5.2.2集合中关于二元代数运算的特殊元素

定理526设*是S上的二元运算遂为幺元，，为零

元，并且|5伫2,那么，无左（右）逆元。

证明首先，由定理523知，伪他

再用反证法证。无左（右）逆元，即可设夕有左

（右）逆元X,那么

O=x^0=e（O=e*x=e）

与存e矛盾，故步£左（右）逆元。得证。

5.2.2集合中关于二元代数运算的特殊元素

【例528】有理数集合。上的加法运算与乘法

，，・，，运算J0的加法逆元是-10,乘法逆元是1/10;

而-10的加法逆元是10,乘法逆元是-1/10。

当一个集合中每一元素都有逆元时，可以认

为该集合上定义了一个一元求逆运算。与逆元概

念密切相关的是可约性概念。

定义525设*是集合S中的一个二元运算，存仇

|如果a满足:对任意均有

1(1)a*x=a*y^x=y

(2)x*a=y'ka^x=y

则称元素a对*是可约(可消去)的(cancelable),当a满

足⑴式时，也称a是左可约(左可消去)的，当仅满足(2)

式时，也称〃是右可约(右可消去)的。

特别地，若对任意有

(x*y=x*z)/\x^3产z

(y*x=z*x)j^z

则称运算*满足消去律(可约律)。

5.2.2集合中关于二元代数运算的特殊元素

定理527若*是S中满足结合律的二元运算，且元素〃

有逆元(左逆元，右逆元)，则4必定是可约的(左可约的,

右可约的)。

证明设4的逆元为小,对任意元素XJ£S,设4**=〃*7

及可得

a1^(a*x)=a-1(**〃)*〃“=(y*a)*〃“

-1

即(a-i*〃)*x=(4i*〃)*7x女(a女a/)

均可推得k可。因此，〃是可约的。

523利用运算表判断代数运算的性质

a-----------

当S是有穷集合时,其上的二元运算常可用运算

表给出，运算的一些性质可直接由运算表看出。

⑴二元运算满足可交换性的充分必要条件是

运算表关于主对角线对称。

⑵二元运算满足塞等性的充分必要条件是运

算表主对角线上的每个元素与它所在行、列的表

头元素相同。

5.2.3利用运算表判断代数运算的性质

(3)二元运算有幺元的充分必要条件是该元素

对应的行和列依次与该表表头的行、列相一致。

(4)二元运算有零元的充分必要条件是运算表

中该元素所对应的行、列元素均与该元素相同。

(5)二元运算中"与〃互为逆元素的充分必要条

件是运算表中位于“所在行、〃所在列的元素及〃

所在行、”所在列的元素都是幺元。

n.5.2.3利用运算表判断代数运算的性质

【例5.2.9】e是整数中模4同余关系产生的等价类

集合,N4={[0],[1],[2],[3]},

M上运算+4,X’定义为

\_m_\+4\_n~\=L(/w+n)mod41

\_m~\X4[n]=[(m-n)mod41

其中{0J23},运算表如表5.2.4、5.2.5所示。

5.2.3利用运算表判断代数运算的性质

表5.2.4

大

5.2.3利用运算表判断代数运算的性质

表5.2.5

X，[0]Ell⑵⑶

Lo][。][03[0][0]

[0]⑴⑵[3]

[0][2ZC0]⑵

[0]二3]⑵[1]

TOT

5.2.3利用运算表判断代数运算的性质

解由表524可知，[0]为幺元，

[1]4=[3],[2]/=[2],无零元。

由表5.2.5可知，[1]为幺元，

⑶“=[3],[0],[2]无逆元，[0]为零元。

5.2二元运算(BinaryOperation)

小结：本节介绍了二元（代数）运算的性质（交换、结

合性、分配、吸收、塞等性等），集合A关于二元

运算的特异性元素。重点理解和掌握吸收律、塞等

律和（左、右）幺元，（左、右）零元，（左、右）逆元及

其性质。

作业：Pgl44:1,2,57

<Back

TOT

一大.以，火屏二

5.3半群(semigroups)

5.3.1半群及其性质(semigroupanditsproperties)

5.3.2含幺半群及其性质(monoidanditsproperties)

TOT

计算机矛

.5・3半群(semigroups)

半群与群都是具有一个二元运算的代数系统，群是半群的

特殊例子。事实上，群是历史上最早研究的代数系统，它比

半群复杂一些，而半群概念是在群的理论发展之后才引进的。

群论在各种不同的领域(如量子力学、结晶学)中都有应用。

它有半群、含幺半群与群三个基本类型。在计算机科学的不

同领域，它们的应用越来越广泛。

半群和含幺半群，在自动机理论、形式语言等方面的应用

已卓有成效。

群的概念在自动机理论、编码理论和快速加法器的设计等

方面都有广泛的应用。它们的逻辑关系见图531。

含幺半群

半群

图

5.3.1半群及其性质(semigroupanditsproperties)

下L半群的概念

定义531设〈S,*〉是代数系统，S#0,*是5

上的二元代数运算，如果*运算满足结合律，则称〈S,

*〉为半群(semigroups)。

换言之，非空集合S及其上的二元运算*构成半群

必须满足：

(1)*是S上的封闭运算；

5.3半群(semigroups)

许多代数系统都是半群。例如，〈N,+〉，〈Z,X〉，

〈2%|J>,3°>(SS={/|/:SfS),。是复合运

算)均是半群。但〈ZQ不是半群。

再如，设N是有限字母表，》是力中的字母

串?={乃U型，其中幺是不含字母的空串，运算

工是字母串的“连接”运算，则〈二户〉是半群。

如Com£E*,puter£2*,经工运算后，得

Computer仍是字母串。

\(ab\

【例5.3.1]S=1a/w凡awO，

.K0°Jf—

则〈凡・〉是半群。这里•代表普通的矩阵乘法运算。

证明对任意的

%勺£邑卜2

因为

0000

4。2“2a{a2。也

oo0000且4次2#°，所以

22

axa2

e5，因此“♦”运算封闭。

00

(a

【例5.3.2]S={\a.beR.a^O}

!■_______——'I。oJ.

，则〈丛+〉不是半群。这里+代表普通的矩阵加法运算。

证明对任意的彳jeS,£”S取畋=4则

b[+b

2且仅1+〃2=0,所以

0

a+2h+4

xes因此*运算不封闭。

00

所以〈丛+〉不是半群。

(ab、

|【例5.3.3]S={a.b.c£&

c

则〈£・〉不是半群。这里•代表普通的矩阵乘法运算。

证明：取

(\1A(\1V11A(2n

£S,£S，则—

U°)人」U°川oju1)

(2

所以]]",

因此*运算不封闭。

所以〈凡・〉不是半群。

【例5.3.4】设3=｛虢"｝上的二元运算如下表:

*ab

aba

bab

则〈■*〉为半群。

证：只需验证满足结合律，由于"满足交换律

所以仅需要考虑以下两种情况：

(a*d)*b=b*b=b=a*a=a*(a*b)

(a*b)*b=a*b=a=a女b=a女(b女b)

故〈s,*〉为半群。

【例5.3.5］设S为任意非空集合,对任意

〃乃WS,规定〃则〈£*〉为半群。

证明：Pa,b,cGS,有

=4*c=6q*(b*c)=a*b=a

所以(〃*力)*c=.

故〈S,*〉为半群。

【例5.3.6】对任意〃乃£凡规定〃?=（〃+方）/2,则〈R产）

「是半群。

证明：对于1,2,3£尺有

~+3

「小。1+2。29

(1*2)*3=-----*3=—-----

224

15

—、12+31+?7

1*(2*3)=1*------=———=—

224

所以不满足结合律.

故6*〉不是半群。

【例537】S力也**运算的定义如表5.3.1

*所示，判断〈£*〉的代数结构?

解⑴是S上的二元代数运算，因为*运算

关于S集合封闭。

(2)从运算表中可看出见仇c均为左幺元

X*(F*Z)=**Z=Z

(x^y)*z=y*z=z

故*运算满足结合律，从而〈S*〉为一半群.

5.3半群(semigroups)

表5.3.1

*abc

aabc

•4

babc

cabc

大

5・3半群(semigroups)

2.半群的性质

定义5.3.2设〈S,*〉为一半群，若51S,*在£中封闭，

则〈£,*〉也是一个半群，称之为〈S,*〉的子半群。

例如，如果•表示乘法，代数系统〈［0,1］,•〉、

〈［0,1),・〉和〈2・〉都是半群,且都是〈凡・〉的子半

群。

5.3半群(semigroups)

对于半群中的元素，我们有一种简便的记法。

设半群〈S,*〉中元素〃(简记为的〃次然记

为递归定义如下：

a1=a仅"+1=。"*〃1Z+

即半群中的元素有时可用某些元素的事表示出来。

因为半群满足结合律，所以可用数学归纳法证明

mnm+nmnmn

a*a=a9(a)=ao

普通乘法的塞、关系的塞、矩阵乘法的塞等具体

的代数系统都满足这个塞运算规则。如果有。2=心则

称。为半群中的等塞元。

定理5.3.1若〈S,*〉是半群，S是有限集合，贝！JS中

必含有等塞元。

*证明因为⑸*〉是半群，V。£丛有*炉,

因为S是有限集合，所以必定存在/＞北使得浦=〃。

令P=/乜便有所以对任意qR有

〃q=/*妙,=qP女@女qq"=qP女a40

因为夕发,所以可找到后1,使得切R

akp=ap*akp—ap女（础*qkp）

=〃20*〃仞=〃2A*。3）==4切*4切

即在S中存在元素〃使得〃*〃=瓦

।.5.3.2含幺半群及其性质(monoidanditsproperties)

口下面介绍一些特殊半群。

1.含幺半群的概念

定义5.3.3如果半群〈S,*〉中二元运算*是可交换的，则称〈SJ

是可交换半群(commutativesemigroups)。如〈Z,+〉，

<Z,X,〉，〈25,㊉〉均是可交换半群。但S,。〉，〈型力

不是可交换半群。

定义5.3.4含有关于*运算的幺元的半群(S,*〉，称它为独异

点(monoid),或含幺半群，常记为(°是幺元)。

【例5.3・8】

〈Z,+〉是独异点，幺元是0,〈片+,0〉；

<Z,X>是独异点，幺元是1,〈Z,XJ〉；

〈25,㊉〉是独异点，幺元是（p,〈25,①（p〉；

（卒而是独异点，幺元南（空串），〈2*开工〉；

（SS,〉是独异点，幺元是人，〈SS，4〉；

但〈ZE，X〉不是独异点，因为无幺无，

E

（IZE,Z：偶数集）。

史

12.含幺半群的性质

定义5.3・5

设〈S,*〉为一独异点，若T在7中封闭，

且幺元则〈T,*«〉也是一个独异点，称之

为〈S,*〉的子独异点。

我们前面提过，对于有穷集合的二元运算,

可用运算表来给出

।5.3半群(semigroups)

%理5.3.2一个有限独异点〈S,*,e〉的运算表中任

何两行或两列元素都不会相同。

证明设S中关于运算*的幺元是e。因为对于任意

的心力es且斫幼时，总有

e*a=a*b=e*b和心e=a*b=b*e。所以，在*的运算

表中不可能有两行或两列是相同的。

该定理容易理解，因为幺元所在的行、列均

与表头相同，所以不会出现两行(列)元素完全

相同的情况。

I5.3半群(semigroups)

W5.3.9]<Z4,+4>24={[0],[1],[2],[3]}=Z/A(A是

Z上的模4同余关系)，上运算+"定义为V[阳],

\_m~\+4[〃]=L(/w+H)(/wod4)],它由表5.3.2给出。判

断〈ZQ+4〉的代数结构。

表5.3.2

+4m[2]

[0]工⑵

工[2][3]Lo]

[2][3]Eo]［口

[3][0]工⑵

］■解：⑴+4运算显然封闭。

「■.(2)由+4的定义可知+4可结合。

(3)从运算表中可知［0］是幺元，所以〈24，+4〉

是独异点。但在该表中没有两行(列)元素完全相同。

定理5.3.3设〈区*H〉是独异点，对Va,beS,且见〃均

有逆元，则

(a)(a/)/=〃

(b)(〃*b)-i=bA*a'1

证明：

5.3半群(semigroups)

证明：

(1)(a1)1=(a-i)“*e

=(〃-i)-i*(〃/*〃)=((〃-i)/*a/)*〃=«*〃=%得证。

1

(2))=a*(b*b")*〃"=a女e*a』a*a=e

11

(b^a)*(〃*〃)=b"女(a"女a)女b=b*e*b=b"*b=e

1AA

故(a*b)'=b*a。

5.3半群(semigroups)

小结：本结介绍了半群与独异点的概念及其性质。

Pgl49:126,7,12

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TOT

一大.以，火屏二

^色群与子群(groupsandsubgroups)

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

5.4.2群的基本'性质(Thepropertiesofgroups)

5.4.3子群(Subgroups)

TOT

J漆球•大考二

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

独异点中含有幺元。前面曾提到，对于含有幺元的

运算可考虑元素的逆元，并不是每个元素均有逆元的，

这一点引出了一个特殊的独异点群。

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

定义5.4.1如果代数系统〈G,*〉满足

(1)〈G,*〉为一半群；

(2)〈G,*〉中有幺元e；

(3)〈G,*〉中每一元素都有逆元xL

则称代数系统〈G,*〉为群(groups)。或者说，

群是每个元素都可逆的独异点。群的基集常用字

母G表示，因而字母G也常用于表示群。

.【例541】

I)〈z,+〉，〈0+〉，〈凡+〉，C+〉均为群(加群)，数o

为其幺元。

(2)〈凡・〉，〈Z,・〉，〈0・〉都不是群。因为0没有逆元。

(3)5・{0},・〉，〈。-{0},・〉，〈Q+U〉(正有理数与数乘)

均为群，1为其么元。但＜z-{o},-＞不是群。

(4)〈NQ+P为一4阶群，数0为其么元。

⑸A#0(2A,U)是半群，幺元为0,非空集合无逆元,

所以不是群。

]5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

(6)A#0,<2A,n>是半群，幺元为任意A的真子集无逆

元，所以不是群。

⑺A#0,〈23④的幺元为0\/Se2AySe2A.

S㊉①二(S—①)u(①—S)=①㊉S)，s的逆元

是s(S㊉S=(S—S)u(S—S)=①)，所以

〈2%㊉〉是群。

因为零元无逆元，所以含有零元的代数系统(除，〈｛**〉

外)就不会是群。

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

【例5.4.21设且={〃也c/}/为G上的二元运算,

它由表541给出，不难证明G是一个群。且e是G

中的幺元；G中任何元素的逆元就是它自己，

在见仇c三个元素中，任何两个元素运算的结果

都等于另一个元素，这个群称为左加加四元群。

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

表5.4.1

*eabc

e1eabc

aaecb

bjb.cea

ccbae

大

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

B--------------

【例546】设尹{见仇c/},*为G上的二元运算，它由

表5.4.2给出，不难证明G是一个群，且e是G中的幺元;

G中元素力的逆元就是它自己，。与c互逆。在见仇c三

个元素中，任何两个元素运算的结果都等于另一个

元素，这是除了A加加四元群外的另一个四阶群。

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

表5.4.2

*eabc

eeabc

aabce

bbcea

cceab

大

【例543】设〈G*)是一个独异点，并且每个

*元素都有右逆元，证明〈a*〉为群。

证明设e是〈&*〉中的幺元。每个元素都有右

逆元，即3y£G使得**y=«,而对于

此了，又使得y*z=e。由于均有

x女。=e女x=e,因此

即x*y=e=y*z=y*x=e

丁既是*的右逆兀，又是x的左逆兀，故

均有逆元，〈&*〉为群。

■5.4.2群的基本性质（Thepropertiesofgroups）

・对群〈G,*〉的任意元素”,我们可以同半

群一样来定义它的塞：

n1=n

a°=e,对任何正整数"a^a^a9群的幕

运算有下列性质：

定理5.4.1对群（G,*〉的任意元素a,〃，有

（1）（优1尸=4

（2）（4*。尸=。-1*〃/

（3）⑷尸=（/）〃（记为叱）（〃为整数）

5.4.2群的基本性质(Thepropertiesofgroups)

一

(1)因为〃”的逆元是即所以

(4"尸=4。

(2)因为

(b-i*屋)*(a女b)=b-i*(屋*a)*b=e

所以4*〃的逆元为尸*4“，即（〃*力尸=尸*4-1

(3)对〃进行归纳。群首先是独异点，所以

n+in〃

=a*aQ=1时命题显然真。设〃=4时(a")”是/

的逆元为真，即(/尸=(〃")3那么

4*+1*(〃-1)九+1=/*(4*〃-1)*(4-1)〃

=/*(〃")"=«

=(aA)k*ak=e

故/+i的逆元为(a,)A+i,即(〃A+i)-i=(〃")A+io归

纳完成，得证。

5.4.2群的基本性质（Thepropertiesofgroups）

题5.4.2当Gr{e}时，群〈G,*〉中不可能有零元.

证明：由GW{e}知，|G}1,反设〈G,*〉中有零元，，则对

（见定理5.1.3）.

故夕无逆元，与〈G,*〉是群矛盾.

（注意，G={e}时,e既是幺元，又是零元。）

5.4.2群的基本性质(Thepropertiesofgroups)

定理5.4.3对群〈G,*〉的任意元素及任

何整数股，?有

(1)amMn=am+n

(2)(am)n=amn

证明留给读者。

群的下列性质是明显的。

5.4.2群的基本性质(Thepropertiesofgroups)

定理5.4.4设〈G,*〉为群，则对任意的

方程a*x=〃，都有解且有唯一解。

.证明：

免证小力是方程4气=〃的解。将小林代入方程左边

的心得

a*(a4*b)=(a*a")*b=e*b=b

所以小*方是该方程的解。下面证明唯一性。

假设C是方程=〃的解，必有4*c=〃,从而有

c=e*c=(4・i*a)*c=〃-i*(a*c)=4-i*A

唯一^性得证。同理可证〃是方程=〃的唯一k

解。

5.4.2群的基本性质(Thepropertiesofgroups)

定理5.4.5设〈G,*〉为群，则G的所有元素都

是可约的。因此，群〈G,*〉满足消去律，

即对任意即¥JWS

a*x=a*yQx=y

x*a=y*a=>x=y

注:上述蕴涵式等价于对任意“Kj£S,若xWy

则有心x*心y

x*a*y快a

5.4.2群的基本性质(Thepropertiesofgroups)

飞义5.4.2设〈G,*〉是一个群，

(1)若G是一个有限集合，则称〈G,*〉为一个有限

群(finitegroup)，且称\G\为群〈G,*〉的阶

(order)。

(2)若G是一个无限集合，则称〈G,*〉为一个无限

群(infinitegroup)。

例如，〈Z,+〉，〈凡+〉是无限群I加加四元群是

有限群。

]|_5.4.2群的基本'性质(Thepropertiesofgroups)

由定理5.4.5可知，特别地，当G为有限群时,

*运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一

个全排列。对于有限群，运算可用表给出,称为群

表。从而有限群〈G,*〉的运算表中没有一行

（列）上有两个元素是相同的。因此，当G分别为

L2,3阶群时「运算都只有一个定义方式（即不计

元素记号的不同，只有一张定义*运算的运算表，分

别如表543、544和5.4.5所示），于是可以说,1,2,3阶

的群都只有一个。

表5.4.5

*:eab

eeab

aabe

bbea

【例5.4.4］在下表的空白处填入适当的元素，使

〈{见仇c},*〉构成群。

【例544】在下表的空白处填入适当的元素，使

〈｛〃•**〉构成群。

*

abc

aca_b

bab_c

cbca

K例545】设〈G,*〉为有限独异点，适合消去律，证

'■明〈G,*〉为群。

证明设《是〈a*〉中的幺元。由〈G,*〉适合消去律，

即W%b,c£G均有

a女b=a*c=b=c

b*a=c*a^/)-c

又由于〈G,*〉为有限独异点，所以

3正整数〃使得

an=e,^a'kanA=e=anA*a

故V"£G,三型-l£G是4的逆元，故〈G,*〉为群。

5.4.2群的基本性质(Thepropertiesofgroups)

定理5.4.6设〈G,*〉为群，则幺元是G的

唯一的等塞元素。

证明：设G中有等塞元r,那么廿又

x=x*e9所以

由定理5.4.5得x=e。故得证。

设〈G,*〉为群，如果我们用“G和G”分别表

示下列集合

aG={a^g\g£G}Ga={g^a\g£G}

那么我们有以下定理。

I5.4.2群的基本性质(Thepropertiesofgroups)

置理5.4.7设〈G,*〉为一群，”为G中任意元素，

那么aG=G=G〃。

特别地，当G为有限群时，*运算的运算表

的每一行(列)都是G中元素的一个全排列。

证明：aG是显然的。

设那么从而

即因此G=〃G。〃G=G得证。

G〃=G同理可证。

5.4.2群的基本性质(Thepropertiesofgroups)

对群还可以引入元素的阶的概念。

为群，满足等式

a1l=e的最小正整数"称为a的阶(order),记作同。

若不存在这样的正整数名称〃是无限阶。

【例547】

⑴任何群G的幺元e的阶为1,且只有幺元e的阶为1。

(2)〈Z,+〉中幺元0的阶为1,而整数Q=10时,“有无限阶。

(3)<Z4,+4>中［口的阶是4,［2］的阶是2,［3］的阶

TIITA是4。

关于元素的阶有以下性质:

定理5.4.8有限群G的每个元素都有有限阶，且

其阶数不超过群G的阶数|G|。

证明：设。为G的任一元素，考虑斫劭八%…/®这13+1个

G中元素，由于G中只有|G|个元素，它们中至少有两个

是相同的,不妨设

m=相0<s<t<|(7|

于是，-s=G因此仅有有限阶，且其阶数至多是静，不超过群

G的阶数|G|。

5.4.2群的基本'性质(Thepropertiesofgroups)

*定理5・4.9设〈G,*〉为群,G中元素。的阶为r,那

么M〃=e当且仅当r整除〃。

证明先证充分性。

设歹整除〃，那么设〃=切（A为整数），因为社

=e,所以a〃=i="）"=M=e。再证必要性。

设=n=mr+k,其中阳为〃除以r的商，A为余数，

因此OWAVr。于是

nmr+k

e=a=a=册女qk=ak

因此，由，的最小性得仁0,一整除〃。

i定理5.4.10设〈G,*〉为群，。为G中任一元素,

・个口么同=依1|。

证明设。的阶为/由他”)〃=便尸=/1=6可知4”的阶

是存在的。只要证。具有阶〃当且仅当小具有阶〃。由

于逆元是相互的，即(。-1尸=%因此只需证：当〃具有

阶〃时，也具有阶〃。

设4的阶是〃，小的阶是，。由于

Ann11

(a)=(a)-=e=e9故也〃。又因为

■=(“1力1=/1=«,故旧。因此，

〃=，，即同=依1|。

【例5.4.8】设G是〃阶有限群，证明:

*(1)G中阶大于2的元素个数一定是偶数；

(2)若〃是偶数，则G中阶等于2的元素个数一定

是奇数。

证明

(1)设，={x|x£G,x的阶大于2},则

ar'*a,否则解=«与a^A矛盾。

因为4与小的阶相同，且小相对于〃是唯一的，所

以小与〃成对出现，故G中阶大于2的元素个

数一定是偶数。

.5.4.2群的基本性质(Th