云南省玉溪市峨山县第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含详解)

峨山县第一中学2023—2024学年高二下学期期末考试数学试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若点在圆上运动，，则的最小值为（）A. B. C. D.2.下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（）A. B. C. D.3.若是空间的一个基底，，，，，，则，，的值分别为（）A.，， B.，1， C.，1， D.，1，4.椭圆的焦点坐标是（）A.， B.， C.， D.，5.若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.直线与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.7.已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为（）A. B. C.3 D.8.正方体的棱长为，点在上且，为的中点，则等于（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设等差数列的前项和为，公差为，已知，，.则（）A. B.C.时，的最小值为13 D.最大时，10.设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（）A.1 B.3 C.5 D.411.已知数列满足，且，，则下列说法正确的是（）A.数列可能为常数列B.数列可能为等比数列C.若，则D.若，记是数列的前项积，则的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线（）的焦距为6，则实数的值为______.13.（2023·四川省绵阳市南山中学实验学校期中）已知直线：与直线：互相垂直，则它们的交点坐标为______.14.将数列按“第组有个数”的规则分组如下：，，，…，则第100组中的第一个数是______.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数（）有极小值.（1）试判断，的符号，求的极小值点；（2）设的极小值为，求证：.16.（2023·江苏省泰州中学期中）已知椭圆：（）的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的的标准方程；（2）若直线，的斜率分别为，，且，求的取值范围.17.某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：喜欢统计课程不喜欢统计课程合计男生201030女生102030合计303060下面的临界值表供参考：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中.）（1）判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率.18.如图，正四棱锥中，，正四棱锥的高为，，分别为，的中点.（1）求证：；（2）连结，相交于点，求平面与平面夹角的正弦值.19.已知椭圆：（），右焦点为且离心率为，直线：，椭圆的左右顶点分别为、，为上任意一点，且不在轴上，与椭圆的另一个交点为，与椭圆的另一个交点为.（1）直线和直线的斜率分别记为、，求证：为定值；（2）求证：直线过定点.

峨山县第一中学2023—2024学年高二下学期期末考试数学试卷参考答案一、单选题1.【答案】B【解析】由，设，，得，即点在直线上，由点在圆上运动，则的最小值为.2.【答案】C【解析】由题意，选项A，B表示的双曲线的焦点在轴上，故排除A，B选项；C选项表示的双曲线的渐近线方程为，D选项表示的双曲线的渐近线方程为.3.【答案】A【解析】∴，由空间向量基本定理，得解得故选A.4.【答案】B【解析】根据方程可得，，且焦点在轴，又，所以，所以焦点坐标为，.故选B.5.【答案】D【解析】因为函数的图象上存在与直线的垂直的切线，所以函数的图象上存在斜率为2的切线，故有解.所以，有解，构造函数，的值域为，则实数的取值范围即为函数在上的值域.所以.6.【答案】B【解析】易知直线的斜率为，直线的斜率为，则两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足.7.【答案】B【解析】向量在向量方向上的投影向量的模为.故选：B.8.【答案】A【解析】如图，在正方体中，设，，，则，.由条件知，，∴，∴.二、多选题9.【答案】AC【解析】对于A，由，则，又因为，所以，故A正确；对于B，结合选项A知，，，又，所以，解得，故B错误；对于C，结合选项A知，又，所以时，的最小值为13，故C正确；对于D，结合选项A和B知，当时，，当时，，所以当最大时，，故D错误.故选：AC.10.【答案】BD【解析】设，∵，，∴，，由可得，又∵点在椭圆上，即，∴，要使得成立的点恰好是4个，则，解得.故选：BD.11.【答案】ABD【解析】A.若数列为常数列时则有，故，解得或（舍），即时数列为常数列，故A正确；B.由得（），故，当时，此时，不是等比数列，当时，有，此时数列为公比为2的等比数列，故B正确；C.若，，所以，故C错误；D.若，，故数列是首项为7，公比为的等比数列，，显然数列单调递减，，又因为当时，，当时，，故的最大值为，故F正确.故选：ABD.三、填空题12.【答案】或6【解析】当时，方程化为标准方程形式为.∵，∴，∴.当时，方程化为.∵，∴.综上可知或6.13.【答案】【解析】因为直线：与直线：互相垂直，所以，解得，联立，解得直线和的交点坐标为，故答案为：14.【答案】【解析】在“第个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列.因为前99组中数的个数共有，且第1个数为，故第100组中的第1个数是.四、解答题15.【答案】（1）解由题意得，，.∵函数（）有极小值，∴，，的极小值点为.（2）证明由（1）知，，则令，，设，则.令，得（负值舍去），∴在上单调递减，在上单调递增，∴.∵，∴，∴.16.【答案】解：（1）由椭圆：（）的离心率为，左顶点为，所以，解得，，.所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）得，：，因为直线与椭圆交于，两点，由题可知，直线斜率为0时，，所以直线的斜率不为0，所以设直线：，，联立方程得，所以，，所以，解得，此时恒成立，所以直线的方程为直线，直线过定点，此时，，∴，令，∴，令，∴在上单调递减，所以的取值范围为.17.【答案】解：（1）由公式，所以没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关.（2）设所抽样本中有个男生，则，得人，所以样本中有4个男生，记为，，，个女生，记为，，从中选出3人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，恰有两名男生一名女生的事件数有12种，所以恰有两名男生一名女生的概率为.18.【答案】（1）证明：在正四棱锥中，连接，交于点，连接.因为四棱锥为正四棱锥，所以平面，四边形为正方形，所以，，因为，平面，所以，，所以，，两两垂直，所以以为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.因为，，所以在中，由，得，得，所以，则，，，，，，因为，分别为，的中点，所以，，所以，，所以.所以.（2）解：在，，分别为，的中点，点为，的交点，所以为的重心，则，所以，，设平面的法向量为，则令，则，设平面的法向量为，则，令，则，设平面与平面夹角为，则所以，所以平面与平面夹角的正弦值为.19.【答案】解：（1）由题意，得，解得所以椭圆：，，