浙江专用2025版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图练习含解析

PAGEPAGE5第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图[基础达标]1．下列说法正确的有()①两个面平行且相像，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；③各侧面都是正方形的四棱柱肯定是正方体；④圆锥的轴截面是等腰三角形．A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选A.①中若两个底面平行且相像，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有多数个，所以②不正确；③中底面不肯定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．2．如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则在原图中三条线段AB，AD，AC中()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD解析：选B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC.3．如图所示，上面的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A．①② B．②③C．③④ D．①⑤解析：选D.圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件；故截面图形可能是①⑤.4．(2024·杭州学军中学高三期中)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为()解析：选D.分析三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.5．(2024·宁波十校联考)某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为()A．eq\f(15,2) B．6＋eq\r(3)C．eq\f(3,2)＋3eq\r(3) D．4eq\r(3)解析：选A.侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成，矩形的长为3，宽为2，面积为3×2＝6.等腰三角形的底边为eq\r(3)，高为eq\r(3)，其面积为eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2)，所以侧视图的面积为6＋eq\f(3,2)＝eq\f(15,2).6．(2024·丽水模拟)一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为()A．eq\r(33) B．eq\r(17)C．eq\r(41) D．eq\r(42)解析：选C.依题意，题中的几何体是四棱锥E­ABB1A1，如图所示(其中ABCD­A1B1C1D1是棱长为4的正方体，C1E＝1)，EA＝eq\r(32＋42＋42)＝eq\r(41)，EA1＝eq\r(12＋42＋42)＝eq\r(33)，EB＝eq\r(32＋42)＝5，EB1＝eq\r(12＋42)＝eq\r(17)，AB＝BB1＝B1A1＝A1A＝4，因此该几何体的最长棱的棱长为eq\r(41)，选C.7．有一个长为5cm，宽为4cm的矩形，则其直观图的面积为________．解析：由于该矩形的面积S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积S′＝eq\f(\r(2),4)S＝5eq\r(2)(cm2)．答案：5eq\r(2)cm28．如图所示的Rt△ABC围着它的斜边AB旋转一周得到的图形是________．解析：过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为D，所以Rt△ABC围着它的斜边AB旋转一周后应得到是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．答案：两个圆锥的组合体9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是________．解析：由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥P­ABCD，易知四棱锥P­ABCD的四个侧面都是直角三角形，即此几何体各面中直角三角形的个数是4.答案：410．已知一个正三棱柱的全部棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．解析：由正三棱柱的特征及侧(左)视图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为eq\r(3)，所以正(主)视图的面积为2eq\r(3).答案：2eq\r(3)11.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．(1)依据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6cm的正方形，如图，其面积为36cm2.(2)由侧视图可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2)cm.由正视图可知AD＝6cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(（6\r(2)）2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．12．如图所示，在侧棱长为2eq\r(3)的正三棱锥V­ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求△AEF周长的最小值．解：如图，将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面绽开平铺在一个平面上，则线段AA1的长即为所求△AEF的周长的最小值．取AA1的中点D，连接VD，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°.在Rt△VAD中，AD＝VA·sin60°＝3，所以AA1＝2AD＝6，即△AEF周长的最小值为6.[实力提升]1．(2024·杭州市五校联考)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为()解析：选A.因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为A.2．某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是()A．2 B．2eq\r(2)C．eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：选D.在正方体ABCD­A1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1­BCB1，如图所示，其四个面的面积分别为2，2eq\r(2)，2eq\r(2)，2eq\r(3)，故选D.3．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为()解析：选C.过点A，E，C1的平面与棱DD1相交于点F，且F是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如图所示，则其正视图应为选项C.4．如图，三棱锥V­ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其正(主)视图的面积为eq\f(2,3)，则其侧(左)视图的面积为________．解析：设三棱锥V­ABC的底面边长为a，侧面VAC的边AC上的高为h，则ah＝eq\f(4,3)，其侧(左)视图是由底面三角形ABC边AC上的高与侧面三角形VAC边AC上的高组成的直角三角形，其面积为eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)a×h＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(4,3)＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)5．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试推断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．解：(1)正六棱锥．(2)其侧视图如图：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC＝eq\r(3)a，A