第07讲一元二次方程(练习)(原卷版+解析)

第07讲一元二次方程目录TOC\o"1-2"\n\p""\h\z\u题型01识别一元二次方程题型02由一元二次方程的概念求参数的值题型03一元二次方程的一般形式题型04由一元二次方程的解求参数的值题型05由一元二次方程的解求代数式的值题型06已知一元二次方程的一个根，求另一个根题型07选用合适的方法解一元二次方程题型08错看或错解一元二次方程问题题型09配方法的应用题型10判断不含字母的一元二次方程根的情况题型11判断含字母的一元二次方程根的情况题型12由方程根的情况确定字母的值或取值范围题型13应用根的判别式证明方程根的情况题型14与根的判别式有关的新定义问题题型15由根与系数的关系直接求代数式的值题型16由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值题型17由方程两根满足关系求字母或代数式的值题型18与根与系数有关的新定义问题题型19构造一元二次方程求代数式的值题型20根与系数的关系和根的判别式的综合应用题型21分裂（传播）问题题型22碰面（循环）问题题型23增长率问题题型24营销问题题型25与图形有有关的问题题型01识别一元二次方程1．（2023泸县一诊）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x2=5x−1C．x−3x+1=x2．（202.无为市一模）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2−2x+1xC．x2−1=0 题型02由一元二次方程的概念求参数的值1．（2022上·湖南长沙·九年级统考期末）若关于x的方程m−3x2+x−m=0是一元二次方程，则mA．m≠3 B．m=3 C．m≥3 D．m≠02．（2023·山东青岛·统考二模）关于x的方程x|a|−1−3x+2=0是一元二次方程，则a的值为3．（2022西咸新区五模）若方程(m−1)x2+题型03一元二次方程的一般形式1．（2023株洲市三模）一元二次方程2x2+1=3xA．3 B．−3 C．1 D．−12．（2022上·福建泉州·九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）一元二次方程2y2−7=3yA．2，﹣3，﹣7 B．2，﹣7，﹣3 C．2，﹣7，3 D．﹣2，﹣3，73．（2022上·广西柳州·九年级统考期中）一元二次方程x2−3x−2题型04由一元二次方程的解求参数的值1．（2022·广东广州·统考一模）若关于x的一元二次方程（a-1）x2-ax+a2=1的一个根为0．则a=．题型05由一元二次方程的解求代数式的值1．（2022·浙江金华·统考一模）已知a是方程2x2−3x−5=0的一个解，则−4A．10 B．－10 C．2 D．－402．（2022上·福建泉州·九年级期末）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（）A．62 B．63 C．64 D．653．（2020·江苏泰州·统考一模）已知，m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，则代数式m2题型06已知一元二次方程的一个根，求另一个根1．（2021·山东济南·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+x−a=0的一个根是2，则另一个根是2．（2020高州市一模）已知x=1是方程x2+bx−2=0的一个根，则方程的另一个根是3．（2022·北京顺义·统考一模）已知关于x的一元二次方程mx(1)求m的取值范围；(2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根．4．（2022·北京海淀·校考一模）关于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范围；(2)若方程有一根为4，求方程的另一根．题型07选用合适的方法解一元二次方程1．（2023·河南周口·统考一模）计算：解方程：5x(2x−1)−2(2x−1)=0．57．（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x22．（2023·江西吉安·校考模拟预测）解方程：(1)(2x+1)(2)3x3．（2023·青海·统考一模）提出问题为解方程x2−22−11x2−2+18=0，我们可以将x2−2视为一个整体，然后可设当y1=2时，x2−2=2，当y2=9时，x2−2=9，∴原方程的解为x1=2，x2=−2，以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．解决问题（1）运用上述换元法解方程x4延伸拓展（2）已知实数m，n满足m+3nm+3n−2=2m+6n−4，求题型08错看或错解一元二次方程问题1．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程x2方法如下：xx2−2x−x+2=0x2−2x=x−2xx−2=x−2x=1

第④步老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为（填序号）．2．（2023·浙江杭州·统考二模）以下是圆圆解方程的具体过程：x−32=2x−3的具体过程，方程两边同除以x−3，得x−3=23．（2023·福建泉州·统考一模）小明在解方程x2解：∵a=1，b=−5∴b∴x=5±∴x(1)问：小明的解答是从第________步开始出错的；(2)请写出本题正确的解答．题型09配方法的应用1．（2023·江苏扬州·统考一模）已知y2−2x+4=0，则x2A．8 B．−8 C．−9 2．（2021·安徽马鞍山·统考二模）已知a,b,c为实数，且b+c=5−4a+3a2,c−b=1−2a+a2A．a<b≤c B．b<a≤c C．b≤c<a D．c<a≤b3．（2023·浙江台州·统考一模）已知点A(a,b)在一次函数y=2x−1图象上，则a2+b+3的最小值为4．（2023·浙江嘉兴·统考一模）设x，y都是实数，请探究下列问题，(1)尝试：①当x=−2，y=1时，∵x2+y2②当x=1，y=2时，∵x2+y2=5，③当x=2，y=2.5时，∵x2+y2=10.25④当x=3，y=3时，∵x2+y2=18，2xy=18(2)归纳：x2+y(3)运用：求代数式x2题型10判断不含字母的一元二次方程根的情况1．（2023殷都区一模）一元二次方程x2−3x+1=0的根的情况（A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定2．（2023秦皇岛开发区一模）不解方程，判别方程2x2﹣32x＝3的根的情况（）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无实数根题型11判断含字母的一元二次方程根的情况1．（2022·河南商丘·统考三模）关于x的方程2x2−mx−3=0A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定2（2022·广东广州·统考一模）若16m+2＜0，则关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根3．（2022·云南玉溪·统考一模）对于任意的实数m，关于x的方程x2−mx−1A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．无法确定题型12由方程根的情况确定字母的值或取值范围1．（2023·广东肇庆·统考二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（A．0 B．1 C．2 D．32．（2021·山东泰安·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程kx2−A．k>−14 C．k>−14且k≠0 D．k<3．（2023武鸣区二模）关于x的一元二次方程(k+1)x2−2x+1=0有两个实数根，则kA．k≥0 B．k≤0 C．k<0且k≠−1 D．k≤0且k≠−1题型13应用根的判别式证明方程根的情况1．（2023·北京昌平·统考二模）关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于0，求k的取值范围．2．（2021上·北京·九年级北京市十一学校校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于−4，求m的取值范围．3．（2020·湖北孝感·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x14．（2023·江苏扬州·统考二模）已知关于x的一元二次方程x(1)求证：该方程总有两个实数根．(2)若该方程两个实数根的差为3，求m的值．5．（2023·北京大兴·统考二模）已知关于x的方程x2(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根小于1，求m的取值范围．题型14与根的判别式有关的新定义问题1．（2023·河南信阳·统考一模）定义新运算：a◎b=ab−b2，例如1◎2=1×2−22=2−4=−2A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根3．（2022·河北·校联考一模）新定义运算：a※b=a2−ab+b，例如2※1=22A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根3．（2023·山东烟台·统考二模）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2−b，若关于x的方程1题型15由根与系数的关系直接求代数式的值1．（2021·江苏泰州·统考中考真题）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为．2．（2021·江西·中考真题）已知x1，x2是一元二次方程x2−4x+3=03．（2023上·四川成都·九年级统考期末）若a，b是方程x2+2x−4=0的两个实数根，则4.（2023上·全国·九年级专题练习）若方程x2−3x+1=0的两个实数根为a，b，则A．﹣9 B．9 C．﹣7 D．7题型16由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值1（2021·山东济宁·统考中考真题）已知m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，则代数式m2A．2019 B．2020 C．2021 D．20222．（2023·广东广州·统考一模）已知方程x2−2023x+1=0的两根分别为m、n，则m2A．1 B．−1 C．2023 D．−20233.（2021上·江西南昌·九年级校联考阶段练习）设m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，则m2+3m+n的值为．题型17由方程两根满足关系求字母或代数式的值1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）关于x的一元二次方程x2−2m+1x+mA．−2或0 B．2或0 C．2 D．02．（2019·广东广州·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根x1,x2，x1A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．23．（2021上·贵州遵义·九年级统考阶段练习）已知关于x的方程x2－2x＋2k－1＝0的两根分别是x1、x2，且x2x1+x1x2=x4．（2020·湖北鄂州·中考真题）已知关于x的方程x2（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且题型18与根与系数有关的新定义问题1．（2021·河南洛阳·统考三模）定义a★b=a2+ab−2+4，例如3★7=32A．−2 B．−3 C．−4 D．−52．（2022·四川宜宾·校考一模）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则nm+m3．（2022·湖南湘西·校考模拟预测）对于实数m、n，定义运算“※”：m※n=mn(m+n)．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若x1,x2是关于x的一元二次方程x2−5x+4=0的两个实数根，则题型19构造一元二次方程求代数式的值1．（2023·河南新乡·河南师大附中校考三模）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m=4，n2+n=4，那么代数式A．19 B．18 C．16 D．152．（2021·浙江丽水·统考中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数a,b同时满足a2+2a=b+2, 结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当a=b时，a的值是．（2）当a≠b时，代数式ba+a3．（2023·湖北襄阳·统考一模）阅读材料，解答问题：材料一：已知实数a，ba≠b满足a2+3a−1=0，b2+3b−1=0，则可将a材料二：已知实数a，bab≠1满足2a2−3a+1=0，b2−3b+2=0，将b2−3b+2=0两边同除以b2，得1−请根据上述材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题：(1)已知实数a，ba≠b满足a2−7a−2=0，b(2)已知实数a，b满足3a2−5a+1=0，b2−5b+3=0题型20根与系数的关系和根的判别式的综合应用1．（2022·北京大兴·统考一模）已知关于x的方程x2(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为x1,x2，若2．（2012·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．（1）求m的取值范围．（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0．求m的值.3．（2023·北京石景山·统考二模）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)若m>1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值．题型21分裂（传播）问题1．（2019·黑龙江伊春·统考中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4 B．5 C．6 D．72．（2022上·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（

）A．1+x2=43 B．1+x+x2=433．（2023·安徽六安·统考三模）春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．题型22碰面（循环）问题1．（2020·广西河池·统考中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）A．6 B．7 C．8 D．92．（2022·黑龙江鸡西·鸡西市第一中学校校考一模）毕业前夕，九年级（11）班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为珍贵的纪念，全班共增出1980件礼物，那么这个班级共有学生（

）A．40人 B．42人 C．44人 D．45人3．（2022·广西柳州·统考模拟预测）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72家，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（

）A．12x(x+1)=72 B．12x(x−1)=72 C．题型23增长率问题1．（2022·广西河池·统考中考真题）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为(

)A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝502．（2020·浙江衢州·统考中考真题）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）

A．180（1﹣x）2=461 B．180（1+x）2=461C．368（1﹣x）2=442 D．368（1+x）2=4423．（2023·广东广州·统考二模）我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加到12.1万人．(1)求这两个月游客人数的月平均增长率；(2)若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？题型24营销问题1．（2023·山东潍坊·统考一模）某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元．(1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？(2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应为多少？2．（2023·广西桂林·统考一模）小王计划经营某种时尚产品的专卖店，已知该产品的进货价为70元/件，售价不能低于80元/件，专卖店每月有800元的固定成本开支，根据市场调研，产品的销售量y（件）随着产品的售价x（元/件）的变化而变化，销售量y与售价x之间的部分对应关系如表：售价x（元/件）80828486…销售量y（件）500490480470…(1)求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；(2)小王预计每月盈利8200元，为尽可能让利于顾客，则该产品的售价每件应定为多少元？题型25与图形有有关的问题1．（2022·山东德州·统考二模）如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为48cm2，则该有盖纸盒的高为（A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）2023亚洲花卉产业博览会于2023年5月10至12日，在中国进出口交易会展馆举办，为了迎接盛会的到来，组委会想利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52m，宽为28m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m3．（2023·福建泉州·统考一模）我国古代数学家梅鼓成在其著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖笔过去，亦长二尺无疑两隅斜去恰方齐，请问三色各几？意思是；今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度比长竿小4尺；将长竿直立过门，门的高度比长竿小2尺．将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和长竿各是多少尺？1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则kA．k<13 B．k≤13 C．k<13且2．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，则mA．m≥−1 B．m≤1 C．m≥−1且m≠0 D．m≤1且m≠03．（2023·天津·统考中考真题）若x1,x2是方程A．x1+x2=6 B．x14．（2023·北京·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（A．−9 B．−94 C．95．（2023·新疆·统考中考真题）用配方法解一元二次方程x2−6x+8=0，配方后得到的方程是（A．x+62=28 B．x−62=28 C．6．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2−8x+m=0两根为x1、x2，且A．4 B．8 C．12 D．167．（2023·吉林·统考中考真题）一元二次方程x2−5x+2=0根的判别式的值是（A．33 B．23 C．17 D．178．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则b2A．－2 B．2 C．－4 D．49．（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a+b)n1

(a+b)1

1

(a+b)1

2

1

(a+b)1

3

3

1

(a+b)当代数式x4−12x3+54A．2 B．−4 C．2或4 D．2或−410．（2023·内蒙古·统考中考真题）若实数m，n是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，且m<n，则点m,n所在象限为（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m

A．5m B．70m C．5m或7012．（2023·湖南娄底·统考中考真题）若m是方程x2−2x−1=0的根，则m13．（2023·湖南怀化·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+mx−2=0的一个根为−1，则m的值为，另一个根为14．（2023·江苏镇江·统考中考真题）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m的值为15．（2023·四川达州·统考中考真题）已知x1,x2是方程2x2+kx−2=016．（2023·重庆·统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．17．（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是尺．18．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a，b，若2a+ba+2b=20，求19．（2023·四川遂宁·统考中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a,b]∗[c,d]=ac−bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2]∗[5,1]=3×5−2×1=13．(1)求[−4,3]∗[2,−6]的值；(2)已知关于x的方程[x,2x−1]∗[mx+1,m]=0有两个实数根，求m的取值范围．20．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其中一组①b=2,c=1；②b=3,c=1；③b=3,c=−1；④b=2,c=2．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．21．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为a cm、b cm、c cm

1．（2023·安徽·统考中考真题）【观察思考】【规律发现】请用含n的式子填空：(1)第n个图案中“”的个数为；(2)第1个图案中“★”的个数可表示为1×22，第2个图案中“★”的个数可表示为2×32，第3个图案中“★”的个数可表示为3×42，第4个图案中“★”的个数可表示为4×5【规律应用】(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+⋯+n等于第n个图案中“”的个数的2倍．2．（2023·浙江·统考中考真题）如图，分别以a,b,m,n为边长作正方形，已知m>n且满足am−bn=2，an+bm=4．

（1）若a=3,b=4，则图1阴影部分的面积是；（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是．3．（2023·湖北黄石·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx−1=0，当(1)求黄金分割数；(2)已知实数a，b满足：a2+ma=1,b2−2mb=4(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np−1=q,q

第07讲一元二次方程目录TOC\o"1-2"\n\p""\h\z\u题型01识别一元二次方程题型02由一元二次方程的概念求参数的值题型03一元二次方程的一般形式题型04由一元二次方程的解求参数的值题型05由一元二次方程的解求代数式的值题型06已知一元二次方程的一个根，求另一个根题型07选用合适的方法解一元二次方程题型08错看或错解一元二次方程问题题型09配方法的应用题型10判断不含字母的一元二次方程根的情况题型11判断含字母的一元二次方程根的情况题型12由方程根的情况确定字母的值或取值范围题型13应用根的判别式证明方程根的情况题型14与根的判别式有关的新定义问题题型15由根与系数的关系直接求代数式的值题型16由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值题型17由方程两根满足关系求字母或代数式的值题型18与根与系数有关的新定义问题题型19构造一元二次方程求代数式的值题型20根与系数的关系和根的判别式的综合应用题型21分裂（传播）问题题型22碰面（循环）问题题型23增长率问题题型24营销问题题型25与图形有有关的问题题型01识别一元二次方程1．（2023泸县一诊）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x2=5x−1C．x−3x+1=x【答案】A【分析】利用一元二次方程的定义，即可找出结论．【详解】解：A．方程2xB．方程x+1C．原方程整理得2x−2=0，该方程为一元一次方程，选项C不符合题意；D．3x−y=5是二元一次方程，选项D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．2．（202.无为市一模）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2−2x+1xC．x2−1=0 【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．【详解】解∶A、分母含未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、是一元二次方程，故本选项符合题意；D、含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．题型02由一元二次方程的概念求参数的值1．（2022上·湖南长沙·九年级统考期末）若关于x的方程m−3x2+x−m=0是一元二次方程，则mA．m≠3 B．m=3 C．m≥3 D．m≠0【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义，方程二次项系数不等于零，求解即可．【详解】解：由题意，得m-3≠0，∴m≠3，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的概念，一般地，形如ax2+bx+c=0，a，b，c是常数，且a≠0的方程是一元二次方程．2．（2023·山东青岛·统考二模）关于x的方程x|a|−1−3x+2=0是一元二次方程，则a的值为【答案】±3【分析】根据一元二次方程的定义得出a−1=2，再求出a【详解】解：∵关于x的方程x|a|−1∴a−1=2解得：a=±3．故答案为：±3．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，是一元二次方程必须同时满足三个条件：①时整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．3．（2022西咸新区五模）若方程(m−1)x2+【答案】m≠1且m≥0【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．【详解】∵方程(m−1)x∴m-1≠0且m≥0，∴m≠1且m≥0.故答案是：m≠1且m≥0.【点睛】考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．题型03一元二次方程的一般形式1．（2023株洲市三模）一元二次方程2x2+1=3xA．3 B．−3 C．1 D．−1【答案】B【分析】先把方程化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可．【详解】解：2x2x所以一次项系数是−3，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c2．（2022上·福建泉州·九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）一元二次方程2y2−7=3yA．2，﹣3，﹣7 B．2，﹣7，﹣3 C．2，﹣7，3 D．﹣2，﹣3，7【答案】A【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a【详解】解：一元二次方程2y2−7=3y∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2,−3,−7，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式ax3．（2022上·广西柳州·九年级统考期中）一元二次方程x2−3x−2【答案】x【分析】根据去括号，移项，合并同类项的步骤求解即可．【详解】解：x2x2x2故答案为：x2【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0(a≠0)．其中a是二次项系数，b题型04由一元二次方程的解求参数的值1．（2022·广东广州·统考一模）若关于x的一元二次方程（a-1）x2-ax+a2=1的一个根为0．则a=．【答案】-1【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到a2【详解】∵关于x的一元二次方程（a-1）x2-ax+a2=1的一个根为0∴∴a=−1故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．题型05由一元二次方程的解求代数式的值1．（2022·浙江金华·统考一模）已知a是方程2x2−3x−5=0的一个解，则−4A．10 B．－10 C．2 D．－40【答案】B【分析】将a代入方程得到2a【详解】∵a是方程的一个解，∴有2a2−3a−5=0∴−4a故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，此类题的特点是利用方程的解的定义找到相等关系，再将其整体代入所求代数式，即可快速作答，盲目解一元二次方程求a值再代入计算，此方法耗时费力不可取．2．（2022上·福建泉州·九年级期末）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（）A．62 B．63 C．64 D．65【答案】B【分析】把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值．【详解】∵a是一元二次方程x2∴a∴a∴a故选：B【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的等式，利用等式对代数式进行化简并求出代数式的值．3．（2020·江苏泰州·统考一模）已知，m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，则代数式m2【答案】2020【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m=2021，则m2+2m+n=2021+m+n，再利用根与系数的关系得到m+n=-1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m是一元二次方程x2+x-2021=0的实数根，∴m2+m-2021=0，∴m2+m=2021，∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2021+m+n，∵m，n是一元二次方程x2+x-2021=0的两个实数根，∴m+n=-1，∴m2+2m+n=2021-1=2020．故答案为：2020．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=c题型06已知一元二次方程的一个根，求另一个根1．（2021·山东济南·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+x−a=0的一个根是2，则另一个根是【答案】-3【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程x222+2−a=0，解得：∴原方程为x2解方程得：x1∴方程的另一个根为-3；故答案为-3．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键．2．（2020高州市一模）已知x=1是方程x2+bx−2=0的一个根，则方程的另一个根是【答案】x=−2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：设另外一个根为x，由根与系数的关系可知：1⋅x=−2，即x=−2．故答案为：x=−2．【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．若x1，x2是一元二次方程3．（2022·北京顺义·统考一模）已知关于x的一元二次方程mx(1)求m的取值范围；(2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根．【答案】(1)m＞−(2)另一个根为3【分析】（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可．（2）将x=0代入原方程，求出m，再解方程即可．【详解】（1）解：∵mx∴m≠0，∵一元二次方程mx∴Δ即：−(2m−1)2整理得：4m+1＞∴m＞综上所述：m＞−1（2）∵方程有一个根是0，将x=0代入方程得：m−2=0，∴m=2，则原方程为：2x解得：x1∴方程的另一个根为32【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根，Δ=0⇔方程有两个相等的实数根，Δ＜4．（2022·北京海淀·校考一模）关于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范围；(2)若方程有一根为4，求方程的另一根．【答案】(1)m≤1(2)-2【分析】（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）将x＝4代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程，利用十字相乘法解一元二次方程，即可得出方程的另一个根．（1）解：∵关于x的一元二次方程x2∴其根的判别式Δ≥0，即(−2)解得：m≤1．（2）解：将x=4代入x2−2x+3m−2=0，得：解得：m=−2，∴该一元二次方程为x2即(x−4)(x+2)=0，∴x1∴方程的另一根为-2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程．（1）掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式Δ=b2题型07选用合适的方法解一元二次方程1．（2023·河南周口·统考一模）计算：解方程：5x(2x−1)−2(2x−1)=0．【答案】x1=【分析】方程去括号，因式分解求解即可．【详解】解：去括号，得：10x因式分解，得：(2x−1)(5x−2)=0，解得：x1=1【点睛】本题主要考查解一元二次方程，按照解方程的步骤求解即可．57．（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2【答案】x1=【分析】用配方法解方程，首先移项，把常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可使左边变形成完全平方式，右边是常数，直接开方即可求解；用公式法解方程，首先找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．【详解】解：配方法，移项得x2配方得：x2+2x+1=1+1开方得：x+1=±解得：x1=2公式法：∵a=1，∴b2∴x=−2±2∴x1=2【点睛】此题考查了解一元二次方程－公式法和配方法，解题时要注意解题步骤的准确应用．2．（2023·江西吉安·校考模拟预测）解方程：(1)(2x+1)(2)3x【答案】(1)x(2)x【分析】（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【详解】（1）解：∵(2x+1)∴2x+12∴2x+1+x−32x+1−x+3=0，即∴3x−2=0或x+4=0，解得x1（2）解：∵3x∴a=3，∴Δ=∴x=−b±解得x1【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．3．（2023·青海·统考一模）提出问题为解方程x2−22−11x2−2+18=0，我们可以将x2−2视为一个整体，然后可设当y1=2时，x2−2=2，当y2=9时，x2−2=9，∴原方程的解为x1=2，x2=−2，以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．解决问题（1）运用上述换元法解方程x4延伸拓展（2）已知实数m，n满足m+3nm+3n−2=2m+6n−4，求【答案】（1）x1=−2，x【分析】（1）根据材料提示，利用换元法解方程即可求解；（2）按整式的乘法，先展开，再合并同类项，利用完全平方公式以及材料中换元法解方程即可求解．【详解】解：解决问题：（1）设x2∴原方程变形为a2−3a−4=0，解得，a1当a=−1时，x2当a=4时，x2=4，解得，x1综上所示，原方程的解为x1=−2，延伸拓展：（2）m+3n∴(m+3n)(m+3n−2)=m∴原式变形为m2∴(m+3n)2−4(m+3n)+4=0，设∴P2−4P+4=0，则(P−2)2=0，解得，∵4m+12n−3=4(m+3n)−3，∴4m+12n−3=4(m+3n)−3=4×2−3=5∴4m+12n−3=5．【点睛】本题主要考查解方程的运用，掌握整体思想，换元思想解方程，完全平方公式的变形是解题的关键．题型08错看或错解一元二次方程问题1．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程x2方法如下：xx2−2x−x+2=0x2−2x=x−2xx−2=x−2x=1

第④步老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为（填序号）．【答案】④【分析】由xx−2=x−2，x−1x−2=0，解得【详解】解：xx−2x−1x−2解得x=1或x=2，∴第④步错误，故答案为：④．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的解一元二次方程．2．（2023·浙江杭州·统考二模）以下是圆圆解方程的具体过程：x−32=2x−3的具体过程，方程两边同除以x−3，得x−3=2【答案】错误，见解析【分析】利用因式分解法解方程可判断圆圆的解答过程是否有错误．【详解】解：圆圆的解答过程有错误；正确的解答过程为：移项得，xx−3利用因式分解法整理：x−3x−2解得：x−3=0或x−2=0，所以x1=3或【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．3．（2023·福建泉州·统考一模）小明在解方程x2解：∵a=1，b=−5∴b∴x=5±∴x(1)问：小明的解答是从第________步开始出错的；(2)请写出本题正确的解答．【答案】(1)一(2)见解析【分析】（1）根据等式的性质，移项需要改变移动的项的符号可得出答案；（2）先移项，再利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：∵移项需要变号，∴c=3，故答案为：一；（2）解：x2∵a=1，b=−5∴b2∴x=−∴x1【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．题型09配方法的应用1．（2023·江苏扬州·统考一模）已知y2−2x+4=0，则x2A．8 B．−8 C．−9 【答案】A【分析】由已知得y2=2x−4，注意x的取值范围，代入【详解】解：∵y2∴y2=2x−4，且2x−4≥0即∴x==x+2∵x+22≥0∴当x=2时，x2+y故选：A．【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x的取值范围是解决问题的关键．2．（2021·安徽马鞍山·统考二模）已知a,b,c为实数，且b+c=5−4a+3a2,c−b=1−2a+a2A．a<b≤c B．b<a≤c C．b≤c<a D．c<a≤b【答案】A【分析】先根据已知等式求出b=a2−a+2,c=2【详解】∵b+c=5−4a+3a∴b=a∴b−a=a=a=(a−1)∴a<b，又∵c−b=1−2a+a∴b≤c，∴a<b≤c，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．3．（2023·浙江台州·统考一模）已知点A(a,b)在一次函数y=2x−1图象上，则a2+b+3的最小值为【答案】1【分析】将点A(a,b)代入一次函数解析式得出，b=2a−1，代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵点A(a,b)在一次函数y=2x−1图象上，∴b=2a−1∴a2+b+3==故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2023·浙江嘉兴·统考一模）设x，y都是实数，请探究下列问题，(1)尝试：①当x=−2，y=1时，∵x2+y2②当x=1，y=2时，∵x2+y2=5，③当x=2，y=2.5时，∵x2+y2=10.25④当x=3，y=3时，∵x2+y2=18，2xy=18(2)归纳：x2+y(3)运用：求代数式x2【答案】(1)=(2)x2(3)代数式x2【分析】（1）求得x2+y2=18（2）结合完全平方的非负性即可解答；（3）利用归纳的结论即可求解．【详解】（1）解：当x=3，y=3时，∵x2+y∴x故答案为：=；（2）解：x2∵x2∴x2（3）解：∵x2∴x2∴代数式x2【点睛】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．题型10判断不含字母的一元二次方程根的情况1．（2023殷都区一模）一元二次方程x2−3x+1=0的根的情况（A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【答案】B【分析】根据判别式Δ=【详解】解：由题意可知：a=1,b=−3,c=1，∴Δ=∴方程x2故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当2．（2023秦皇岛开发区一模）不解方程，判别方程2x2﹣32x＝3的根的情况（）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无实数根【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，Δ=0时，方程有两个相等的实数根，Δ＜0时，方程没有实数根，进而确定根的情况即可.【详解】解：∵2x2﹣32x＝3，∴2x2﹣32x﹣3＝0，∵Δ＝（﹣32）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＝42＞0，∴有两个不相等的实数根，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式判断根的情况，熟练地掌握该知识是解决问题的关键.题型11判断含字母的一元二次方程根的情况1．（2022·河南商丘·统考三模）关于x的方程2x2−mx−3=0A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定【答案】A【分析】根据根的判别式的判断方程根的数量即可．【详解】解：△=(−m)故方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的数量，能够熟练应用根的判别式是解决本题的关键．2（2022·广东广州·统考一模）若16m+2＜0，则关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】A【分析】先计算出m的范围，判断出方程为二次方程，再计算判别式的范围即可得出答案．【详解】解：由已知16m+2＜0，解得m<−1判别式Δ=∵m<−1∴8m+1<0，∴关于x的方程没有实数根；故选：A．【点睛】本题考查一次不等式的解法，二次方程根的判断，熟悉公式准确计算是解题的关键．3．（2022·云南玉溪·统考一模）对于任意的实数m，关于x的方程x2−mx−1A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．无法确定【答案】B【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号即可.【详解】解：∵a=1，b=−m，c=−1∴Δ=b2−4ac=m2+2＞0∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．题型12由方程根的情况确定字母的值或取值范围1．（2023·广东肇庆·统考二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得Δ=4−4m>0，解出m【详解】解：根据题意，得Δ=4−4m>0解得m<1，∵0<1，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键．2．（2021·山东泰安·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程kx2−A．k>−14 C．k>−14且k≠0 D．k<【答案】C【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．【详解】解：由题可得：k≠0−解得：k>−14且故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．3．（2023武鸣区二模）关于x的一元二次方程(k+1)x2−2x+1=0有两个实数根，则kA．k≥0 B．k≤0 C．k<0且k≠−1 D．k≤0且k≠−1【答案】D【分析】根据一元二次方程ax2进行计算即可．【详解】解：根据一元二次方程一元二次方程k+1x2解得：k≤0，根据二次项系数k+1≠0,可得：k≠−1.故选D．【点睛】考查一元二次方程ax2+bx+c=0当Δ=当Δ=当Δ=题型13应用根的判别式证明方程根的情况1．（2023·北京昌平·统考二模）关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于0，求k的取值范围．【答案】(1)见解析(2)k<1【分析】（1）先求出判别式，利用配方法Δ=（2）利用求根公式，先求一元二次方程含k的根，让其一根小于0，求出范围即可．【详解】（1）解：Δ==k=k−2∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x=k±∴x=k±∴x∵方程有一根小于0，∴k−1<0，∴k<1．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的范围问题，掌握根的判别式的用途，会用根的判别式解决方程根的情况，会利用求根公式解方程，会用条件利用不等式，会解不等式是关键．2．（2021上·北京·九年级北京市十一学校校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于−4，求m的取值范围．【答案】(1)见解析(2)m<−3【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．【详解】（1）解：b∵(m−2)∴方程总有两个实数根；（2）解：原方程可化为：(x−1)(x−m+1)=0∴x−1=0或x−m+1=0解得：x1=1，由题意可得：m−1<−4解得：m<−3【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．3．（2020·湖北孝感·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1【答案】（1）见解析

（2）0，-2【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案；（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得k与的x1、x【详解】(1)证明：∵Δ=2k+12−4×∵无论k为何实数，2k+1∴Δ=2k+1∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x∵x1∴x1∴x1∴2k+12−4×1解得k=0，−2．【点睛】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题.4．（2023·江苏扬州·统考二模）已知关于x的一元二次方程x(1)求证：该方程总有两个实数根．(2)若该方程两个实数根的差为3，求m的值．【答案】(1)证明见解析(2)0或6【分析】（1）由x2−m−1x+m−2=0，可知a=1，b=−m−1（2）由x2−m−1x+m−2=0，可得x1+x2=−【详解】（1）证明：x2a=1，b=−m−1，c=m−2∴△=b∴该方程总有两个实数根；（2）解：∵x2∴x1+x∵该方程两个实数根的差为3，∴x1∵x1∴m−12解得m=0或m=6，∴m的值为0或6．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．5．（2023·北京大兴·统考二模）已知关于x的方程x2(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根小于1，求m的取值范围．【答案】(1)见解析(2)m<1【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ=（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=4，x2【详解】（1）解∶∵Δ==∴方程总有两个实数根．（2）解：由求根公式，得x=∴x1=4，依题意可得m<1．【点睛】本题考查了根的判别式、公式法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程表示出方程的两个根，熟练掌握当Δ≥0题型14与根的判别式有关的新定义问题1．（2023·河南信阳·统考一模）定义新运算：a◎b=ab−b2，例如1◎2=1×2−22=2−4=−2A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根【答案】C【分析】先根据定义得到关于x的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解．【详解】方程2◎x=5化为2x−x一元二次方程化为一般式为x2∵Δ∴方程没有实数根．故选：C．【点睛】本题考查新定义下的方程应用，熟练掌握所给定义的应用、一元二次方程根的判别式的计算及应用是解题关键．3．（2022·河北·校联考一模）新定义运算：a※b=a2−ab+b，例如2※1=22A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】D【分析】根据新定义，列出方程x2【详解】解：根据题意得：x2整理得：x2∴Δ=∴方程x※2=5有两个不相等的实数根．故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，当Δ=3．（2023·山东烟台·统考二模）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2−b，若关于x的方程1【答案】k>−14【分析】根据新定义得到x2−x−k=0，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到【详解】解：∵a※∴1※整理得x2∴Δ=解得k>−1故答案为：k>−1【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2题型15由根与系数的关系直接求代数式的值1．（2021·江苏泰州·统考中考真题）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为．【答案】2．【分析】先根据根与系数的关系得到x1【详解】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，∴x1∴x1+x2﹣x1•x2=1-（-1）=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1,x2为一元二次方程2．（2021·江西·中考真题）已知x1，x2是一元二次方程x2−4x+3=0【答案】1【分析】直接利用根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程∴x1+x∴x1故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0(3．（2023上·四川成都·九年级统考期末）若a，b是方程x2+2x−4=0的两个实数根，则【答案】4【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到a+b=−2，ab=−4，再将a−2b−2计算得a−2【详解】解：∵a，b是方程∴a+b=−2，ab=−4，∴a−2=ab−2a−2b+4=ab−2=−4−2×=−4+4+4=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1、x2是一元二次方程ax4.（2023上·全国·九年级专题练习）若方程x2−3x+1=0的两个实数根为a，b，则A．﹣9 B．9 C．﹣7 D．7【答案】D【分析】先根据分式的加减运算、完全平方公式可得ba+a【详解】解：ba＝b2=a+b∵方程x2−3x+1=0的两个实数根为a，∴a+b=3，∴a+b2故选：D．【点睛】本题主要考查了异分母分式加法、完全平方公式、一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活运用完全平方公式和根与系数的关系是解答本题的关键．题型16由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值1（2021·山东济宁·统考中考真题）已知m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，则代数式m2A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】B【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m=2021，则m2【详解】解：∵m是一元二次方程x2∴m2∴m2∴m2∵m、n是一元二次方程x2∴m+n=−1，∴m2故选：B．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x2．（2023·广东广州·统考一模）已知方程x2−2023x+1=0的两根分别为m、n，则m2A．1 B．−1 C．2023 D．−2023【答案】B【分析】由题意得mn=1，m2【详解】解：∵方程x2−2023x+1=0的两根分别为m、∴mn=1，m2−2023m+1=0，∴m∴m====−1．故选：B．【点睛】本题考查根的定义及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=03.（2021上·江西南昌·九年级校联考阶段练习）设m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，则m2+3m+n的值为．【答案】11【分析】由m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，推出m+n=-2，m2+2m=13，由此即可解决问题．【详解】解：∵m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，∴m+n=-2，m2+2m=13，则原式=m2+2m+m+n=m2+2m+（m+n）=13-2=11．故答案为：11．【点睛】本题考查根与系数关系，解题的关键是记住x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=c题型17由方程两根满足关系求字母或代数式的值1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）关于x的一元二次方程x2−2m+1x+mA．−2或0 B．2或0 C．2 D．0【答案】C【分析】先利用根与系数的关系得到a+b=2m+1，ab=m2+2【详解】解：设该方程的两个实数根分别为a和b，∴a+b=2m+1∵1a∴2m+1∴m1检验：m1∵Δ≥0，∴m=0不成立，∴m=2，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，涉及到了根与系数的关系和解分式方程，解题关键是要记得检验．2．（2019·广东广州·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根x1,x2，x1A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2【答案】D【详解】解：由根与系数的关系，得：x1+x2＝由x1x1即x1所以，k−12化简，得：k2解得：k＝±2，因为关于x的一元二次方程x2所以，△＝k−12−4(−k+2)＝k＝－2不符合，所以，k＝2故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．3．（2021上·贵州遵义·九年级统考阶段练习）已知关于x的方程x2－2x＋2k－1＝0的两根分别是x1、x2，且x2x1+x1x2=x【答案】−52【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根得到Δ＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范围即可，再根据根与系数的关系得出方程解答即可．【详解】解：∵原方程有实数根，∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0∴k≤1∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：

x1+x2＝2，x1•x2＝2k﹣1又∵x2∴x∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝（x1•x2）2∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2解之，得：k1=5经检验，都符合原分式方程的根∵k≤1∴k=−5故答案为：−【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．4．（2020·湖北鄂州·中考真题）已知关于x的方程x2（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且【答案】（1）k≤3；（2）k=−3．【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝−42（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2∴△≥0，即−42解得：k≤3，故k的取值范围为：k≤3．（2）由根与系数的关系可得x1+由3x1+代入x1＋x2和x1x2的值，可得：12解得：k1=−3，经检验，k=−3是原方程的根，故k=−3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．题型18与根与系数有关的新定义问题1．（2021·河南洛阳·统考三模）定义a★b=a2+ab−2+4，例如3★7=32A．−2 B．−3 C．−4 D．−5【答案】C【分析】根据题中的新定义化简，计算即可得到结果．【详解】解：∵x★m=∴x∵方程x2+(m−2)x+4=0的一个根是−1×t=4解得，t=−4故选：C【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握根的定义是解本题的关键．2．（2022·四川宜宾·校考一模）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则nm+m【答案】−8.6【分析】根据新定义运算列出一元二次方程，根据根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵a*b＝a2+2ab﹣b2，∴（x+2）*3＝x+2∴x+22+6即x∵m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，∴mn=7,m+n=−10∴nm+故答案为：−8.6【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．3．（2022·湖南湘西·校考模拟预测）对于实数m、n，定义运算“※”：m※n=mn(m+n)．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若x1,x2是关于x的一元二次方程x2−5x+4=0的两个实数根，则【答案】20【分析】根据新定义表示出x1※x【详解】解：∵x1,x2是关于∴x1∴x1※x故答案为：20．【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．题型19构造一元二次方程求代数式的值1．（2023·河南新乡·河南师大附中校考三模）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m=4，n2+n=4，那么代数式A．19 B．18 C．16 D．15【答案】A【分析】根据题意，m，n可以看作一元二次方程x2+x−4=0的两根，则m+n=−1，【详解】解：∵m2+m=4，∴m，n可以看作一元二次方程x2∴m+n=−1，mn=−4，∵n2∴3=12−3n−mn−3m=12−3=12−3×=19，故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解的定义以及一元二次方程两根之和为−ba，两根之积为2．（2021·浙江丽水·统考中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数a,b同时满足a2+2a=b+2, 结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当a=b时，a的值是．（2）当a≠b时，代数式ba+a【答案】−2或17【分析】（1）将a=b代入a2+2a=b+2解方程求出a，b的值，再代入（2）当a≠b时，求出a+b+3=0，再把ba【详解】解：已知a2+2a=b+2①b2+2b=a+2②①-②得，a2∴(a−b)(a+b+3)=0∴a−b=0或a+b+3=0①+②得，a（1）当a=b时，将a=b代入a2a2解得，a1=1，∴b1=1，把a=b=1代入b把a=b=−2代入∴当a=b时，a的值是1或-2故答案为：1或-2；（2）当a≠b时，则a+b+3=0，即a+b∵a∴a∴(a+b)∴ab=1∴b故答案为：7．【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．3．（2023·湖北襄阳·统考一模）阅读材料，解答问题：材料一：已知实数a，ba≠b满足a2+3a−1=0，b2+3b−1=0，则可将a材料二：已知实数a，bab≠1满足2a2−3a+1=0，b2−3b+2=0，将b2−3b+2=0两边同除以b2，得1−请根据上述材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题：(1)已知实数a，ba≠b满足a2−7a−2=0，b(2)已知实数a，b满足3a2−5a+1=0，b2−5b+3=0【答案】(1)20(2)5【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解；（2）根据材料二，采用换元法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：∵实数a，ba≠b满足a2−7a−2=0∴可将a，b看作方程x2∴a+b=7，ab=−2，∴2a+2b−3ab=2=2×7−3×=14+6=20；（2）解：在方程b2−5b+3=0的两边同时除以b2又∵实数a满足3a2−5a+1=0∴可将a，1b看作方程3∴a+1b=∴3ab+3【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，换元法解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．题型20根与系数的关系和根的判别式的综合应用1．（2022·北京大兴·统考一模）已知关于x的方程x2(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为x1,x2，若【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据根的判别式即可验证；（2）利用根与系数的关系可得x1【详解】（1）证明：根据题意可知：Δ=∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：由题意得：x∴x1解得m=3【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键．2．（2012·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．（1）求m的取值范围．（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0．求m的值.【答案】（1）m≤134（2）m=-3.【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=3，x1x2=m-1．再代入等式2（x1+x2）+x1x2+10=0，即可求得m的值．【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．∴⊿≥0．即32-4（m-1）≥0，解得,m≤134（2）由已知可得x1+x2=3x1x2=m-1又2（x1+x2）+x1x2+10=0∴2×（-3）+m-