第12讲 相似三角形 （含答案详解）-2023年全国重点高中自主招生大揭秘

相似三角形一、单选题1．（2022·福建·九年级统考竞赛）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M是CD边的中点，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AF⊥ME，G为垂足．若EB=2，BF=1，则四边形BFGE的面积为（

）A． B． C． D．2．（2014·全国·八年级竞赛）已知的三边长分别为2，3，4，为三角形内一点，过点作三边的平行线，交各边于、、、、、（如图），如果，则（

）A． B． C． D．3．（2016·全国·九年级竞赛）如图，在四边形中，，，，对角线的交点为，则（

）A． B． C． D．4．（2016秋·山东泰安·九年级竞赛）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（）A． B．2 C．2 D．35．（2014·全国·九年级竞赛）在中，，D在上，E在上，使得为等腰直角三角形，，则的长为（）A． B． C． D．6．（2015秋·山东泰安·九年级竞赛）△ABC中，D、E、F分别是在AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，那么下列各式正确的是(

).A．= B．= C．= D．=7．（2015秋·山东泰安·九年级竞赛）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是().A．(2,) B．(－2，-)C．(2,)或(－2，) D．(2,)或(－2，-)8．（2015秋·山东泰安·九年级竞赛）如图，直线l和双曲线y=(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为、△BOD的面积为、△POE的面积为，则（

）A． B． C． D．二、填空题9．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图，在四边形设中，，，是等边三角形，且点在上，如果，，的面积为________．10．（2018·全国·八年级竞赛）若，则的值为_____．11．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________．三、解答题12．（2022春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）回答下列问题：(1)如图，当时，，将△PAB绕B点顺时针旋转90°画出旋转后的图形；(2)在（1）中，若，，，求的大小．(3)如图，，，且，，，则△面积是．(4)如图，△ABC中，，，点P在△ABC内，且，，，求△ABC的面积．13．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图1，四边形ABCD和AEFG都是菱形，∠DAB=∠GAE=60°，点G,E分别在边AD，AB上，点F在菱形ABCD内部，将菱形AEFG绕点A旋转一定角度α，点E、F始终在菱形ABCD内部．（1）如图2，求证：△DGA≌△BEA；（2）如图3，点P、Q分别在AB、AD的延长线上，连接AF并延长与∠QDC的平分线交于点H，连接AE并延长与∠PBC的平分线交于K，连接DH、HK、CH、CK．①求证：△ADH∽△KBA；②若AB=2，DH=5，则线段BK的长度为，线段HK的长度为．③菱形AEFG绕点A旋转α度（0°<α<30°），AB=m，△KBC是等腰三角形，则线段HK的长为．14．（2015秋·山东临沂·九年级竞赛）如图，在平行四边形中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于点F．已知，，求△CDF的面积．15．（2013·浙江绍兴·九年级竞赛）如图.AD、AH分别是△ABC（其中AB＞AC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于E，求证∠AEB=90°．16．（2013·全国·七年级竞赛）已知四条直线、、、依次相交于O，过上的任意一点引平行于的直线交于点，过引平行于的直线交于点，过引平行于的直线交于点，过引平行于的直线交于点P．求证：．17．（2018·全国·九年级竞赛）如图，在扇形中，，，点在上，，点为的中点，点为弧上的动点，与的交点为．（1）当四边形的面积最大时，求；（2）求的最小值．18．（2017春·江苏镇江·九年级竞赛）如图，已知：正方形ABCD中，AB=8，点O为边AB上一动点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O交边AD于点E（不与点A、D重合），EF⊥OE交边CD于点F．设BO=x，AE=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）在点O运动的过程中，△EFD的周长是否发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示△EFD的周长；如果不变化，请求出△EFD的周长；（3）以点A为圆心，OA为半径作圆，在点O运动的过程中，讨论⊙O与⊙A的位置关系，并写出相应的x的取值范围．参考答案：1．B【分析】设，得到，．作于，先证明出，利用性质建立等式解出，利用勾股定理求出，再根据，利用相似比求出面积即可．【详解】解：设，则，．作于，则．所以．所以，即，解得．于是，．所以，．又，所以．因此．所以．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定．2．D【分析】首先证得四边形，四边形，四边形均为平行四边形，利用相似三角形的判定和性质可得，易得，利用平行四边形的性质可得，求得，利用相似三角形的性质列方程，解得x．【详解】解：∵，，，∴四边形，四边形，四边形均为平行四边形，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，解得．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质定理和相似三角形的判定及性质定理，能够用x表示出其它边的长是解答此题的关键．3．D【分析】过点作于点，利用有两个角相等的三角形相似判定，根据相似三角形的性质得比例式，设，用含的式子分别表示出、、，再由面积法得出的第二种表示方法，从而得关于的方程，解得的值，则的值可得，然后用勾股定理求得即可．【详解】解：如图，过点作于点，，，，，，设，由于，故，在中，由勾股定理得：，则，显然，化简整理得解得，不符合题意，舍去），故，在中，，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用、面积法及方程思想在几何计算中的应用，本题具有一定的难度．4．B【分析】首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根据平行线分线段成比例可得，再表示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t的值．【详解】解：连接PP′交BC于O，∵若四边形QPCP′为菱形，∴PP′⊥QC，∴∠POQ=90°，∵∠ACB=90°，∴PO∥AC，∴∵设点Q运动的时间为t秒，∴AP=t，QB=t，∴QC=6-t，∴CO=3-，∵AC=CB=6，∠ACB=90°，∴AB=6，∴解得：t=2，故选B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例；等腰直角三角形及菱形的性质．5．A【分析】过点E作，交于点F，证明和全等，得出，设，利用平行线分线段成比例定理，列出比例式，列方程解答．【详解】过点E作，交于点F，∴，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，设，所，∵∴，即，解得，∴．故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．6．C【详解】试题分析：根据题意画出图形，如图：∵DE∥BC，∴，故A、D错误；∵EF∥AB，∴△ABC≌△EFC，∴，故B错误；∵DE∥BC，EF∥AB，∴，∴，故C正确；故选C.考点：1、相似三角形的判定和性质；2、平行线分线段成比例定理.7．D【详解】解：根据位似图形的性质可知，当矩形OA′B′C′在第一象限时，，，此时点B′的坐标为(2,)；当矩形OA′B′C′在第四象限时，点B′的坐标为(－2，-).故选D.【点睛】此题考查了位似变换与坐标与图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握数形结合思想的应用．8．D【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝解答即可．【详解】解：根据双曲线的解析式可得所以可得设OP与双曲线的交点为，过作x轴的垂线，垂足为M因此而图象可得所以故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．9．【分析】作，交于点，过点作，垂足为，证明，可得，设：，则，，，证明，根据相似三角形对应边成比例可得，即可解出，即可求出的面积．【详解】解：如图，作，交于点，过点作，垂足为，∴，∵，∴，∵，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∵在和中，∴，∴，，设：，则，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，解得，∴，，，，∴，，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定及相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质等，熟练掌握全等三角形及相似三角形的性质和判定，并根据题目作出辅助线是解答本题的关键．10．-1或8【分析】设=k，根据比例的性质可得a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，根据等式的性质可得2（a+b+c）=k（a+b+c），分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况，分别求出k值，根据=k3即可得答案．【详解】设=k，∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c），∴（a+b+c）(2-k)=0，当a+b+c=0时，即a+b=-c，∴k===-1，∴==k3=-1，当a+b+c≠0时，则2-k=0，解得：k=2，∴==k3=8，故答案为：-1或8【点睛】本题考查比例的性质，分情况讨论，注意整体代入思想的运用是解题关键．11．3【分析】根据直角三角形的性质得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再说明DE∥AC，得到，即可求出DE．【详解】解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点，∴AB=2CD=10，∵BC=8，∴AC==6，∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC，∴，即，∴DE=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比例式．12．(1)图见详解(2)135°(3)(4)【分析】（1）由，可知点旋转到点，在的下方过点作的垂线，并且在垂线上截取，则为点绕点顺时针旋转以后的对应点，△即为所求；（2）连接，求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，再利用勾股定理逆定理求出，然后计算即可得解；（3）根据全等三角形的面积相等求出与的面积之和等于四边形的面积，然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解，同理求出和的面积的和，和的面积的和，从而求出的面积，然后根据的面积的面积与的面积的和计算即可得解；（4）首先作，使得，，则有，即可得△ABQ与△ACP的相似比为2，继而可得△APQ与△BPQ是直角三角形，根据直角三角形的性质即可求解△ABC的面积．(1)解：如图1所示，△即为所求；(2)解：如图2，连接．将绕点顺时针旋转，与△重合，△，，，，，是等腰直角三角形，，．在中，，，，，△是直角三角形，，；(3)解：如图3①，将绕点逆时针旋转得到△，连接，△，，，，是等边三角形，，，，，，△是直角三角形，，，，；△，；如图3②，同理可求：和的面积的和，和的面积的和，的面积，的面积的面积与的面积的和．故答案为．(4)解：如图，作，使得，，连接PQ，取AQ的中点N，连接PN，∴，∵，∴△ABQ与△ACP的相似比为2，∵，，，∴，，，∵点N是AQ的中点，∴，∴△APN是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，作AM⊥BQ于点M，延长AC，使得AC=CK，即AB=AK，∴△ABK是等边三角形，由，∴，∴，∴，∵△ABK是等边三角形，∴，设△ABK的高为h，则，∴．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键．13．（1）见解析；（2）；（3）或【分析】（1）根据菱形的性质可得，根据旋转角相等，可得，根据边角边即可证明△DGA≌△BEA；（2）①根据菱形的性质以及角平分线的性质可得，根据旋转的性质可得,根据外角的性质可得，进而证明；②根据列出比例式，代入数值即可求得的长；连接,过点作，垂足为,证明四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求得的大小；③分情况讨论，当和时，当时，根据求得，进而勾股定理在中，求得，当时，证明四边形是正方形即可求得的长．【详解】（1）如图，四边形ABCD和AEFG都是菱形，（2）如图，①四边形ABCD和AEFG都是菱形，∠DAB=∠GAE=60°，,，平分∠QDC，平分∠PBC，,为菱形的对角线，,②四边形是菱形如图，连接,过点作，垂足为,是等边三角形，四边形是矩形，在中，故答案为：，7③，△KBC是等腰三角形，当时，如图，过点作，连接,过点作，垂足为,在中,在中当时，如图，四边形是矩形又四边形是正方形综上所述或者故答案为：或【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，综合运用以上知识是解题的关键．14．S△CDF=．【分析】根据平行四边形的性质，可证△BEF∽△CDF，由BE：AB=2：3，可证BE：DC=2：3，根据相似三角形的性质，可得．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，∴△BEF∽△CDF∵AB=DC，BE：AB=2：3，∴BE：DC=2：3∴∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．15．通过三角形相似求得角度的相等，进而进行角度转化【详解】试题分析：如图，连结,∵是斜边的中点∴（5分）∴∵四点共圆∴∴∴（10分）∵,∴∽∴,即（15分）∴,又∵∴∽,∴（20分）∴∴四点共圆，∴.（25分）考点：三角形相似点评：本题属于对三角形相似的考点的，进而运用角度的变换求解16．见解析【详解】证明：延长，分别交、于M、N．延长交于R．设，，，则，．，．．而，得方程，即把上式看作c的二次方程，有．由即得亦即．17．（1）；（2）．【分析】（1）四边形面积最大时，两三角形的高的和等于半径，即可求得EF；（2）延长OB至点G，使BG=OB，连接GE、GC、DE．证明△DOE～△EOG，得到EG=2DE，所以CE+2DE=CE+EG，当C、E、G三点在同一直线上上时，CE+EG最小，此时即CE+2DE有最小值为．【详解】解：（1）分别过、作于，于，∵，∴；此时，、、重合，∵∴，，∴；（2）延长至点，使，连接、、．∴∵点为的中点，，∴，∴，又，∴，，即，∴，当、、三点在同一直线上上时，最小，，，此时，故有最小值为．【点睛】本题考查了圆的相关性质，四边形面积最大值问题，动点中存在性问题．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．18．（1）（2）△EFD的周长不变．理由见解析；（3）当⊙O与⊙A相