山东省藁城市第一中学2025届高三数学试题第二次诊断性测验试题

山东省藁城市第一中学2025届高三数学试题第二次诊断性测验试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件2．已知，满足条件（为常数），若目标函数的最大值为9，则（）A． B． C． D．3．集合，，则=()A． B．C． D．4．己知全集为实数集R，集合A={x|x2+2x-8>0}，B={x|log2x<1}，则等于（）A．[4,2] B．[4,2) C．(4,2) D．(0,2)5．已知复数满足（是虚数单位），则=（）A． B． C． D．6．若复数满足，则()A． B． C． D．7．设，命题“存在，使方程有实根”的否定是()A．任意，使方程无实根B．任意，使方程有实根C．存在，使方程无实根D．存在，使方程有实根8．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8 B． C．4 D．9．已知函数，且)，则“在上是单调函数”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知函数则函数的图象的对称轴方程为（）A． B．C． D．11．函数的图象的大致形状是（）A． B． C． D．12．如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图,在梯形中，∥，分别是的中点，若，则的值为___________.14．已知复数，其中为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是__．15．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则__________.16．某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该部门员工总人数为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求的面积的值（或最大值）．已知的内角，，所对的边分别为，，，三边，，与面积满足关系式：，且，求的面积的值（或最大值）．18．（12分）如图1，与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，，，连接是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图2所示的六面体（1）求证：（2）设若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值；（3）若平面底面，求六面体的体积的最大值.19．（12分）设等比数列的前项和为，若（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）在和之间插入个实数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：.20．（12分）某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：），得到下面的频数表：亮灯时长/频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.（1）试估计的值；（2）设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.①求的数学期望和方差；②若随机变量满足，则认为.假设当时，灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）.附：①某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商；②若，则，，.21．（12分）已知为各项均为整数的等差数列，为的前项和，若为和的等比中项，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求最大的正整数，使得.22．（10分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.【详解】若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选：D【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.2．B【解析】

由目标函数的最大值为9，我们可以画出满足条件件为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数的方程组，消参后即可得到的取值．【详解】画出，满足的为常数）可行域如下图：由于目标函数的最大值为9，可得直线与直线的交点，使目标函数取得最大值，将，代入得：．故选：．【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组，代入另一条直线方程，消去，后，即可求出参数的值．3．C【解析】

先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可．【详解】解得集合，所以，故选C．【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小．4．D【解析】

求解一元二次不等式化简A，求解对数不等式化简B，然后利用补集与交集的运算得答案.【详解】解：由x2+2x-8>0，得x＜-4或x＞2，

∴A={x|x2+2x-8>0}＝{x|x＜-4或x＞2}，

由log2x<1，x＞0，得0＜x＜2，

∴B={x|log2x<1}＝{x|0＜x＜2}，

则，

∴.

故选：D.【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.5．A【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由，得，．故选．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．C【解析】

化简得到，，再计算复数模得到答案.【详解】，故，故，.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.7．A【解析】

只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.【详解】由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是“任意，使方程无实根”.故选：A【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题.8．D【解析】

根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积．【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱底面的四棱锥，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，高为PA=2，∴四棱锥的体积为.故选：D.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.9．C【解析】

先求出复合函数在上是单调函数的充要条件，再看其和的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案.【详解】，且)，由得或，即的定义域为或，（且）令，其在单调递减，单调递增，在上是单调函数，其充要条件为即.故选：C.【点睛】本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.10．C【解析】

，将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.【详解】由已知，，令，得.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.11．B【解析】

根据函数奇偶性，可排除D；求得及，由导函数符号可判断在上单调递增，即可排除AC选项.【详解】函数易知为奇函数，故排除D.又，易知当时，；又当时，，故在上单调递增，所以，综上，时，，即单调递增.又为奇函数，所以在上单调递增，故排除A，C.故选：B【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，导函数性质与函数图象关系，属于中档题.12．B【解析】

根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式．【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

建系，设设，由可得，进一步得到的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案.【详解】以A为坐标原点，AD为x轴建立如图所示的直角坐标系，设，则，所以，，由，得，即，又，所以，故,,所以.故答案为：2【点睛】本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.14．2【解析】

由题，得，然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案.【详解】由题，得，又复数为纯虚数，所以，解得.故答案为：2【点睛】本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.15．【解析】

根据的展开式中第项与第项的二项式系数相等，得到，再利用组合数公式求解.【详解】因为的展开式中第项与第项的二项式系数相等，所以，即，所以，即，解得.故答案为：10【点睛】本题主要考查二项式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16．60【解析】

根据样本容量及各组人数比，可求得C组中的人数；由组中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C组的总人数，即可由各组人数比求得总人数.【详解】三组人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，则三组抽取人数分别.设组有人，则组中甲、乙二人均被抽到的概率，∴解得.∴该部门员工总共有人.故答案为：60.【点睛】本题考查了分层抽样的定义与简单应用，古典概型概率的简单应用，由各层人数求总人数的应用，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．见解析【解析】

若选择①，结合三角形的面积公式，得，化简得到，则，又，从而得到，将代入，得．又，∴，当且仅当时等号成立．∴，故的面积的最大值为，此时．若选择②，，结合三角形的面积公式，得，化简得到，则，又，从而得到，则，此时为等腰直角三角形，.若选择③，，则结合三角形的面积公式，得，化简得到，则，又，从而得到，则．18．（1）证明见解析（2）（3）【解析】

根据折叠图形，，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据平面，得到.（2）根据，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，根据，可知，，表示相应点的坐标，分别求得平面与平面的法向量，代入求解.设所求几何体的体积为，设为高，则，表示梯形BEFD和ABD的面积由，再利用导数求最值.【详解】（1）证明：不妨设与的交点为与的交点为由题知，，则有又，则有由折叠可知所以可证由平面平面，则有平面又因为平面，所以....（2）解：依题意，有平面平面，又平面，则有平面，，又由题意知，如图所示：以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系由题意知由可知，则则有，，设平面与平面的法向量分别为则有则所以因为，解得设所求几何体的体积为，设，则，当时，，当时，在是增函数，在上是减函数当时，有最大值，即六面体的体积的最大值是【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化，二面角的向量求法和空间几何体的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.19．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】

（Ⅰ），，两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）由题设可得，可得，利用错位相减法即可得出．【详解】解：（Ⅰ）因为，故，两式相减可得，，故，因为是等比数列，∴，又，所以，故，所以；（Ⅱ）由题设可得，所以，所以，①则，②①－②得：，所以，得证.【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（1）（2）①，,②72【解析】

（1）将每组数据的组中值乘以对应的频率，然后再将结果相加即可得到亮灯时长的平均数，将此平均数除以（个小时），即可得到的估计值；（2）①利用二项分布的均值与方差的计算公式进行求解；②先根据条件计算出的取值范围，然后根据并结合正态分布概率的对称性，求解出在满足取值范围下对应的概率.【详解】（1）平均时间为（分钟）∴（2）①∵，∴，②∵，，∴∵，，∴∴即最佳时间长度为72分钟.【点睛】本题考查根据频数分布表求解平均数、几何概型（长度模型）、二项分布的均值与方差、正态分布的概率计算，属于综合性问题，难度一般.（1）如果，则；（2）计算正态分布中的概率，一定要活用正态分布图象的对称性对